Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Cinematica"

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=== 6. Caduta conPunti attritomateriali viscosoin verticale===
Un oggetto viene lasciato cadere, da fermo ad una quota <math>h\ </math>, sotto l'azione combinata della accelerazione di gravità e di una decelerazione proporzionale alla velocità (dovuta all'attrito viscoso) secondo la legge <math>b\cdot v\ </math>. La velocità di regime vale <math>v_f\ </math>. Determinare: a)Dopo quanto tempo la decelerazione dovuta all'attrito viscoso vale 0.9 della accelerazione di gravità (ovviamente con segno opposto); b) a quale quota si trova nel caso a); c) il tempo approssimativo di caduta (la formula esatta è non ottenibile semplicemente)
 
(dati del problema <math>h=10\ m</math>, <math>v_f=4.9\ m/s</math>)
 
Due punti materiali A e B sono disposti sulla stessa verticale, A sul pavimento e B sul soffitto, come mostrato in figura. All’istante <math>t = 0\ </math>, A viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale <math>v_{OA}\ </math>, mentre B viene lasciato cadere partendo da fermo. Considerando che la distanza pavimento-soffitto è <math>h\ </math>, si determini la condizione su <math>v_{OA}\ </math>, in funzione di <math>h\ </math>, affinché i due punti materiali si incontrino mentre A è ancora in fase ascendente
 
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=== 7. Moto parabolico ===
 
[[File:Duepunti.gif|thumb|150px|Due punti materiali uno in salita e l'altro in caduta libera]]
 
===19. Punti materiali in verticale===
 
 
Due punti materiali A e B sono disposti sulla stessa verticale, A sul pavimento e B sul soffitto, come mostrato in figura. All’istante <math>t = 0\ </math>, A viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale <math>v_{OA}\ </math>, mentre B viene lasciato cadere partendo da fermo. Considerando che la distanza pavimento-soffitto è <math>h\ </math>, si determini la condizione su <math>v_{OA}\ </math>, in funzione di <math>h\ </math>, affinché i due punti materiali si incontrino mentre A è ancora in fase ascendente
 
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== Soluzioni ==
:<math>T=\frac {2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac {x_0}{a_0}}=3.14\times 10^{-3}\ s\ </math>
 
=== 6. Caduta conPunti attritomateriali viscosoin verticale===
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a)
Da dati del problema (notare che <math>v_f\ </math> è negativo se g è diretto verso il basso):
:<math>v_f=\frac gb\ </math>
Quindi:
:<math>b=\frac g{v_f}=2\ s^{-1}\ </math>
Se chiamiamo <math>t_1\ </math> il tempo per cui;
<math>-bv=0.9 g </math>
Ma essendo:
:<math>v=-\frac gb\left( 1-e^{-bt} \right)\ </math>
segue che:
:<math>g\left( 1-e^{-bt_1} \right)=0.9g\ </math>
Cioè:
:<math>bt_1=\ln 10\ </math>
:<math>t_1=1.15\ s</math>
 
Conviene definire un sistema di riferimento con un asse verticale y, avente origine in corrispondenza del pavimento. Le leggi orarie per le posizioni di A e B in tale sistema di riferimento sono:
b)
:<math>v_fy_A(t)=v_{0A}t-\frac gb12 gt^2\ </math>
 
:<math>h_1y_B(t)=h+-\frac gb\left(12 \frac 1b-t_1-\frac 1begt^{-bt_1} \right)=6.62\ m</math>
Al momento dell'urto <math>t_1\ </math> si ha che <math>y_A(t_1)=y_B(t_1)\ </math>. Da cui:
 
:<math>v_{0A}t_1-\frac 12 gt_1^2=h-\frac 12 gt_1^2 \Rightarrow t_1=\frac h{v_{0A}}\ </math>
c)
ovvero si pone un vincolo al tempo dell’incontro, che in particolare è pari al tempo che impiegherebbe A per coprire la distanza <math>h\ </math> se si muovesse con moto uniforme a velocità <math>v_{0A}\ </math>.
 
L’incontro avviene con A in fase ascendente se la sua velocità al tempo <math>t_1\ </math> è ancora positiva. Nel sistema di riferimento scelto, velocità negative di A indicherebbero infatti un moto discendente. Imponendo questa condizione nella legge oraria della velocità di A al tempo <math>t_1\ </math>:
Il termine esponenziale nell'espressione ha un valore trascurabile per cui:
:<math>h+v_A(t_1)=v_{0A}-gt_i\fracge gb\left(0 \frac 1b-t_2Rightarrow v_{0A}\right)\approxge 0gt_i\ </math>
Sostituendo l'espressione di <math>t_1\ </math> nell'ultima equazione si trova la condizione richiesta nel problema:
Cioè il termine esponenziale è trascurabile.
:<math>t_2=v_{0A}\fracge bgh+g\frac 1b=2.54h{v_{0A}} \Rightarrow v_{0A}\ge \sqrt{gh}\ s</math>
 
Notare che il valore esatto (tenendo conto del termine esponenziale e risolvendo in maniera
numerica per approssimazioni successive) vale:
:<math>t_{2e}=2.5377\ s</math>
 
=== 7. Moto parabolico ===
Lo spessore che arresterebbe la pallottola vale quindi:
:<math>d_x=v_1t_2+\frac 12 at_2^2=\frac {v_1^2 d}{v_1^2 -v_2^2}=0.033\ m\ </math>
 
===19. Punti materiali in verticale===
 
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Conviene definire un sistema di riferimento con un asse verticale y, avente origine in corrispondenza del pavimento. Le leggi orarie per le posizioni di A e B in tale sistema di riferimento sono:
:<math>y_A(t)=v_{0A}t-\frac 12 gt^2\ </math>
:<math>y_B(t)=h-\frac 12 gt^2\ </math>
Al momento dell'urto <math>t_1\ </math> si ha che <math>y_A(t_1)=y_B(t_1)\ </math>. Da cui:
:<math>v_{0A}t_1-\frac 12 gt_1^2=h-\frac 12 gt_1^2 \Rightarrow t_1=\frac h{v_{0A}}\ </math>
ovvero si pone un vincolo al tempo dell’incontro, che in particolare è pari al tempo che impiegherebbe A per coprire la distanza <math>h\ </math> se si muovesse con moto uniforme a velocità <math>v_{0A}\ </math>.
L’incontro avviene con A in fase ascendente se la sua velocità al tempo <math>t_1\ </math> è ancora positiva. Nel sistema di riferimento scelto, velocità negative di A indicherebbero infatti un moto discendente. Imponendo questa condizione nella legge oraria della velocità di A al tempo <math>t_1\ </math>:
:<math>v_A(t_1)=v_{0A}-gt_i\ge 0 \Rightarrow v_{0A}\ge gt_i\ </math>
Sostituendo l'espressione di <math>t_1\ </math> nell'ultima equazione si trova la condizione richiesta nel problema:
:<math>v_{0A}\ge g\frac h{v_{0A}} \Rightarrow v_{0A}\ge \sqrt{gh}\ </math>
 
 
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