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Esercizi di fisica con soluzioni/Cinematica: differenze tra le versioni

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rettilineo smorzato esponenzialmente dato che è caratterizzato da una decelerazione che è pari a:
:<math>-a=b\cdot v\ </math>
:<math>-\frac {dv}{dt}=b\cdot v\ </math>
la velocità più generale che da tale accelerazione è:
Cioè è una equazione differenziale in cui si possono separare le variabili:
:<math>v=Ae^{-bt}\ </math>▼
Dovendosi fermare per :<math>t=\inftyfrac {dv}v=-bdt\ </math>
inoltreChe essendointegrata peril primo membro tra <math>t=0\ v_o</math> (velocità iniziale) e qualsiasi <math>v=v_o\ '</math>, simentre hail chesecondo membro tra <math>0</math> e <math>t'</math>:
:<math>A=\int_{v_o}^{v'}\frac {dv}v=-\int_0^{t'}bdt\ </math>
:<math>\ln \frac {v'}{v_o}=-bt'\ </math>
Cambiando il nome alle variabili, facendo l'esponenziale dei due membri:
:<math>v=v_oe^{-bt}\ </math>
Tale equazione integratapuò diventaessere espressa come:
:<math>x=d\left(frac 1-e{dx}{dt}=v_oe^{-bt} \right)\ </math>
Separando le variabili:
Con:
:<math>d\dot bdx=v_ov_oe^{-bt}dt\ </math>
Che integrata su una distanza generica x':
quindi:
:<math>b\int_0^{x'}dx=0.02\ sint_0^{t'}v_oe^{-1bt}dt\ </math>
DallL'equazione precedentedel moto è:▼
 
per :<math>tx'=t_1\frac {v_o}b\left( 1-e^{-bt'} \right)\ </math>:
:Imponendo che <math>xt'=27\infty</math> m\la distanza sia <math>x'=c</math>
segue che:
▲:<math>vc=Ae^\frac {-btv_o}b\ </math>
:<math>b=\frac {v_o}c=0.02\ s^{-1}\ </math>
Quindi l'equazione del moto è:
:<math>x'=c\left( 1-e^{-bt'} \right)\ </math>
Quindi dopo <math>t_1=10\ s</math> lo spazio percorso sarà:
:<math>x(t_1)=c\left( 1-e^{-bt_1}\right) =27\ m\ </math>
 
b)
Il legame tra la generica velocità e lo spazio eliminando il tempo dall'epressioni della velocità e dello spazio:
 
Per :<math>x=d/2-\frac vb+c\ </math>:▼
▲Dall'equazione precedente
:Per <math>x=-\frac vb+dc/2\ </math>:
▲Per <math>x=d/2\ </math>:
:<math>v=\frac {v_o}2=1.5\ m/s\ </math>
 
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