Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Dinamica dei sistemi di punti materiali"

 
Se indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza indice quelle del sistema inerziale parallelo, avremo che per il generico elemento del sistema di punti materiali, la relazione tra le coordinate nel sistema inerziale e quella del centro di massa è:
:<math>\vec r_i=\vec r'_i+\vec r_cr_{CM}</math>
Il pedice cCM si riferisce al centro di massa.
 
Ma anche:
:<math>\vec v_i=\vec v'_i+\vec v_cv_{CM}</math>
Ovviamente <math>\vec r'_c_{CM}=0</math> e <math>\vec v'_c_{CM}=0</math>
Quindi essendo l'espressione della velocità del centro di massa (l'espressione è valida in qualsiasi sistema di riferimento):
:<math>\vec v'_c_{CM}=\frac {\sum m_i\vec v'_i}{\sum m_i}</math>
Di conseguenza:
:<math>\sum m_i\vec v'_i=0</math>
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Consideriamo un sistema inerziale qualsiasi e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica nel sistema inerziale è dato da:
:<math>E_k=\frac 12 \sum m_i(\vec v'_i+\vec v_cv_{CM})^2=\frac 12 \sum m_i{v'_i}^2+\frac 12 v_cv_{CM}^2\sum m_i+\vec v_cv_{CM}\cdot \sum m_i\vec v'_i </math>
L'ultimo termine è nullo essendo la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa. Quindi
la relazione in forma più compatta è:
:<math>E_k=E'_k+E_{kckCM}</math>
Avendo definito l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa <math>E_{kckCM}=\frac 12 v_c^2\sum m_i</math>, .
 
Quindi:
:<math>E'_k=E_k-E_{kckCM}</math>
Essendo <math>E_{kckCM}\le 0</math> si ha che sempre <math>E'_k\le E_k</math> come si voleva dimostrare.
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