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Aritmetica modulare/Polinomi in aritmetica modulare: differenze tra le versioni

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Quando considerati in aritmetica modulare, i polinomi possono presentare proprietà inusuali e controintuitive. Lo stesso piccolo teorema di Fermat ne è un esempio: può essere infatti interpretato dicendo che, dato un primo ''p'', i polinomi <math>x^p</math> e ''x'' (che sono, formalmente, distinti) assumono sempre lo stesso valore quando considerati modulo ''p''. Questo non può avvenire quando sono considerati polinomi a coefficienti reali o razionali, ma permette invece di ridurre il grado di un polinomio, se questo è maggiore di ''p'', senza cambiare i valori che questo assume e, di conseguenza, i valori per cui il polinomio si annulla.
 
Altri fenomeni riguardo ilal rapporto tra il numero di zeri di un polinomio e il suo grado: se infatti in ambienti "usuali" come i polinomi reali o razionali il numero di soluzioni non può superare il grado del polinomio, questo non sempre avviene in aritmetica modulare: un esempio semplice è <math>P(x)=x^2-1</math> che, se considerato modulo 8, ha quattro soluzioni distinte, e cioè 1, 3, 5 e 7. Questo deriva dal fatto che <math>\mathbb{Z}_8</math> non è un dominio d'integrità: infatti normalmente, fattorizzando ''P''(''x'') come <math>(x-1)(x+1)</math>, gli unici zeri del polinomio sarebbero in 1 e -1, cioè (in questo caso) in 1 e 7. Tuttavia, non è necessario che uno dei due fattori sia zero perché sia zero il prodotto: in questo caso, <math>P(3)=2\cdot 4\equiv 0\mod 8</math>.
 
Da quanto detto appare chiaro che, trasferendosi in <math>\mathbb{Z}_p</math>, dove ''p'' è un numero primo, si ottiene la stessa situazione dei razionali o dei reali. La dimostrazione è la stessa che in questi ultimi casi: dato ''P''(''x'') di grado ''n'', se ''P''(''a'')=0, allora (''x'' - ''a'') divide ''P''(''x''); se ora ci fossero ''n'' +1 (o più) radici, il polinomio formato dal prodotto dei vari (''x'' - ''a'') sarebbe di grado ''n'' +1 e dovrebbe dividere ''P''(''x''), il che è impossibile. Quindi possono esistere al massimo ''n'' zeri.
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