Sistema di calcolo per realizzazione di raccordi tondo-poligono: differenze tra le versioni

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arrivare a fare un software da applicare a sistemi cad-cam in grado di eseguire i tagli su
macchine automatiche di taglio.
 
== Ripasso Pitagora ==
Per capire correttamente il principio di funzionamento del metodo di calcolo sono necessari
due concetti di base. Uno è il teorema di pitagora
Ricordiamo quindi che (wikipedia)
 
 
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"In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola)."
 
 
Da qui si capisce che dati due cateti, adottando un calcolo automatico in un foglio di
calcolo è facile ottenere l'ipotenusa.
 
 
Un caso particolare, utile per avere sempre un esempio in mente, è il triangolo 3-4-5
usando l'immagine, dato a = 3, b=4, i quadrati saranno 9 e 16.
9+16=25, la radice quadrata da 5
si noti che non importa se l'unità di misura sia metri o piedi, basta avere una corda,
dividerla in cinque pezzi e tracciare un triangolo di questo tipo per avere un angolo a 90
gradi, il che per i geometri egizi era molto utile.
 
 
Che poi gli schermi a cinescopio dei vecchi televisori fossero tutti con rapporto 4:3, e che
la diagonale (5) fosse quella data in pollici per dire la dimensione, può servire per avere una immagine da ricordare.
 
== Ripasso seno e coseno ==
 
Quando viene insegnato il concetto di seno e coseno in genere si dimentica sempre di
legare il valore reale del diametro, o raggio del cerchio.
Quando parliamo di raccordi in lamiera abbiamo un pezzo reale, con dimensioni fisiche.
Preso il centro del cerchio come riferimento cartesiano 0,0, e dato il raggio del cerchio,
ogni angolo da zero a novanta mi darà due coordinate X ed Y che indicano le distanze dal
centro.
 
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Per comodità di calcolo in genere si utilizzano gli angoli di 15, 30, 45, 60, 75 e 90.
Quindi, se prendiamo ad esempio un cerchio con diametro 100, usando la formula
Rsenalfa e Rcosalfa otterremmo tutte le coordinate X ed Y rispetto al centro.
 
== Il calcolo ==
 
Per semplificare la spiegazione partiamo quindi da un raccordo coassiale quadro – tondo,
che è un caso particolare che richiede davvero pochi calcoli.
 
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Le dimensioni che specificano il raccordo sono qui solo
il diametro, il lato del quadrato e la altezza.
 
Si noti che il quadrato di base crea un angolo di 90
gradi in un punto, mentre il cerchio per fare 90 gradi
richiede un quarto della circonferenza.
 
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Visto da sopra, non considerando l'altezza, l'angolo del quadrato è in un punto che ha delle coordinate ben precise rispetto al centro del cerchio
 
In questo caso X ed Y sono uguali e sono la metà del lato.
 
Tutti i punti della circonferenza hanno invece delle coordinate calcolabili con il sistema visto sopra del seno e coseno.
 
Nella immagine di sopra ho tracciato un triangolino che usa le differenze dei valori numerici delle coordinate.
 
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La differenza fra il mezzo lato, X e il valore Rcosalfa mi da la dimensione di un cateto del triangolo.
 
Y- Rsenalfa mi da l'altro cateto.
 
Abbiamo detto che per semplicità utilizzeremo gli angoli con avanzamento di 15 gradi.
 
Applicando pitagora per definire la ipotenusa, la formula verrà:
 
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si osservi che quindi adottando un avanzamento di 15 gradi, i valori con zero gradi e novanta, di 15 e 75, di 30 e 60, danno lo stesso valore.
 
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Queste misure derivano dalla coassialità ovvero dalla eguaglianza delle coordinate X ed Y.
La semplicità è che facendo i calcoli con alfa a zero, 15, 30 e 45 gradi, si hanno tutte le
quote necessarie per la tracciatura.
Fino a qui abbiamo però visto la cosa solo dall'alto, senza considerare l'altezza.
Ma questa è la distanza di un punto nello spazio rispetto ad un piano , quello dove giace la
circonferenza.
 
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Questa è la misura reale che unisce lo
spigolo della flangia quadrata con il
punto della circonferenza.
 
Questa misura è quella che andrà
tracciata sulla lamiera .
 
La formula generale unisce quindi tutti
questi elementi, il raggio della
circonferenza, gli angoli alfa a crescere,
le coordinate X ed Y di distanza dal
centro, e la altezza.
 
<!-- inserire formula qui -->
 
Questa formula generale può venire facilmente inserita in un calcolo automatico in un foglio elettronico.
 
== Tracciatura ==
A questo punto restano alcuni punti particolari.
L'arco tracciato da un angolo di 15 gradi è una misura fisica prodotta da una piccola parte
della circonferenza.
Dividendo la circonferenza in 360 gradi, il calcolo da adottare è:
 
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Poi abbiamo i triangoli piani che hanno come base il lato del quadrato, e il vertice nel
punto alfa zero, o novanta.
Attenzione, il punto sta sulla circonferenza e ha quindi non solo l'altezza, ma anche una
distanza dal lato x-r
 
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quindi la tracciatura del
triangolo piano può essere
fatta in almeno due modi.
Uno è quello di calcolare la
reale misura della altezza
applicando di nuovo pitagora
con il quadrato della altezza,
sommata al quadrato di x-r.
 
L'altro è quello di fidarsi dei due valori calcolati per alfa zero e usarli come cateti di un
triangolo isoscele.
 
Ora abbiamo tutti i numeri necessari e possiamo procedere alla tracciatura.
Partiamo quindi dal triangolo piano e tracciamo la linea del lato, tracciando due archi con
misura calcolata del lato con alfa zero.
 
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A questo punto otteniamo un triangolo al
cui vertice siamo in un punto della
circonferenza con alfa zero.
 
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Da quel punto dobbiamo partire con l'arco dei 15 gradi.
 
Dal punto dello spigolo in basso tracciamo ora un arco
con la misura calcolata con alfa 15.
 
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eseguiamo la stessa operazione anche dall'altra parte,
troviamo il punto di intersezione con il cerchio di arco15
e tracciamo una linea di congiunzione con il vertice del
triangolo base.
 
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Proseguiamo con lo stesso metodo.
In pratica per questo caso conviene tracciare
delle circonferenze un pochino più ampie, dato
che la stessa misura è valida per due valori di alfa, avanzando poi con la tracciatura delle
intersezioni di arco15
 
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Nel nostro caso l'operazione va eseguita
uguale anche dall'altra parte.
Otteniamo quindi lo sviluppo della lamiera
che dovrà venire piegata lungo le linee di
tracciatura, impostando la piegatrice a dare
un angolo di 15 gradi , o di 165 che dir si
voglia.
 
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A questo punto avremo ottenuto i due
sviluppi di quelli che potremmo chiamare
“parti di cono”
ci mancano ancora due triangoli per
completare il pezzo, questi sono fatti con
un cateto che è la metà del lato del quadrato di base, mentre l'altro è l'altezza
caratteristica del triangolo piano.
 
Questa misura può venire ricavata o dal calcolo della altezza visto prima, o direttamente
prendendo la misura fra il vertice del triangolo piano centrale e la base
Lo sviluppo completo apparirà con una grafica del tipo:
 
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Ovviamente con questo sviluppo andranno realizzati
due pezzi di lamiera, piegati a specchio.
 
Ogni sviluppo produrrà una semicirconferenza, un lato
della flangia quadrata di base e due triangoli con base grande la metà del lato.
 
Questi pezzi necessitano adesso solo di due righe di
saldatura in piano. Le flange di base possono venire
bloccate con morsetti, ed altrettanto si può fare con la
circonferenza.
 
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Ovviamente il calcolo matematico e la tracciatura
possono essere precise quanto si vuole. Si è visto che
le approssimazioni ai 15 gradi sono più che sufficienti,
mentre gli errori di realizzazione in genere sono dovuti
a imprecisioni nelle operazioni di piegatura per cui ci si
trova con circonferenze ovali o angoli di 90 gradi alla
base deformi.
 
Conviene eseguire delle prove con modellini in carta, in scala ridotta per verifica dei
calcoli, o inventare bordi o sovrapposizioni per semplificare le operazioni di saldatura.
 
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La sedia in lamiera realizzata alle
scuole professionali di bressanone
è un esempio un pochino più
complesso della applicazione del
calcolo, avendo una base che
dietro “sporge” dalla verticale di
circa cinque centimetri.
In pratica sono stati necessari
alcuni calcoli in più, pur essendo
ancora un esempio di coassialità.
 
Per calcoli più complessi, con
flange oblique e fuori asse bisogna
fondamentalmente ricordare solo
che ogni spigolo della flangia è un
punto con una distanza dal piano
della circonferenza, trovare le
coordinate X, Y, e H, ed eseguire il
calcolo con i giusti sensi delle
sottrazioni.
 
Quando X ed Y sono diversi
bisogna eseguire tutti i calcoli per
ogni angolo alfa perché manca la
simmetria, ma state certi che è più
facile far pensare bene i numeri ad
un foglio di calcolo che eseguire
otto saldature.
 
Se qualcuno è in grado di applicare in modo automatico questi calcoli ad un sistema di
taglio laser o ad acqua probabilmente potrà dare un grande sviluppo alla nazione.
Io sono arrivato al punto di definire le quote, ma per la tracciatura non ho ancora trovato
un automatismo che riparta a generare una circonferenza dalla intersezione di altre due
circonferenze, ne ho avuto modo di sperimentare su di una macchina automatica uno
sviluppo tracciato al cad.
 
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