Sistema di calcolo per realizzazione di raccordi tondo-poligono

Questo libro è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarlo secondo le convenzioni di Wikibooks

Sistema di calcolo per realizzazione di raccordi tondo-poligono

Premessa

Lo sviluppo dei raccordi tondo-poligonali è stato sviluppato nel 1987 per realizzare i condotti di adduzione dell'aria per l'inceneritore di Bolzano, quando lavoravo con contratto di formazione presso la Delaiti di Bolzano. Mi rendo conto però che, anche visitando diversi siti online si trovano dei raccordi che vengono realizzati con un numero di saldature assurdo. Divulgo quindi questo metodo di calcolo abbastanza semplice e non brevettabile solo perché ritengo possa essere utile a razionalizzare il metodo di costruzione, sperando che qualcuno più esperto di me nell'uso di sistemi di generazione di disegni al computer possa arrivare a fare un software da applicare a sistemi cad-cam in grado di eseguire i tagli su macchine automatiche di taglio.

Ripasso Pitagora

Per capire correttamente il principio di funzionamento del metodo di calcolo sono necessari due concetti di base. Uno è il teorema di pitagora Ricordiamo quindi che (wikipedia)

"In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola)."

Da qui si capisce che dati due cateti, adottando un calcolo automatico in un foglio di calcolo è facile ottenere l'ipotenusa.

Un caso particolare, utile per avere sempre un esempio in mente, è il triangolo 3-4-5 usando l'immagine, dato a = 3, b=4, i quadrati saranno 9 e 16. 9+16=25, la radice quadrata da 5 si noti che non importa se l'unità di misura sia metri o piedi, basta avere una corda, dividerla in cinque pezzi e tracciare un triangolo di questo tipo per avere un angolo a 90 gradi, il che per i geometri egizi era molto utile.

Che poi gli schermi a cinescopio dei vecchi televisori fossero tutti con rapporto 4:3, e che la diagonale (5) fosse quella data in pollici per dire la dimensione, può servire per avere una immagine da ricordare.

Ripasso seno e coseno

Quando viene insegnato il concetto di seno e coseno in genere si dimentica sempre di legare il valore reale del diametro, o raggio del cerchio. Quando parliamo di raccordi in lamiera abbiamo un pezzo reale, con dimensioni fisiche. Preso il centro del cerchio come riferimento cartesiano 0,0, e dato il raggio del cerchio, ogni angolo da zero a novanta mi darà due coordinate X ed Y che indicano le distanze dal centro.

Per comodità di calcolo in genere si utilizzano gli angoli di 15, 30, 45, 60, 75 e 90. Quindi, se prendiamo ad esempio un cerchio con diametro 100, usando la formula Rsenalfa e Rcosalfa otterremmo tutte le coordinate X ed Y rispetto al centro.

Il calcolo

Per semplificare la spiegazione partiamo quindi da un raccordo coassiale quadro – tondo, che è un caso particolare che richiede davvero pochi calcoli.

Le dimensioni che specificano il raccordo sono qui solo il diametro, il lato del quadrato e la altezza.

Si noti che il quadrato di base crea un angolo di 90 gradi in un punto, mentre il cerchio per fare 90 gradi richiede un quarto della circonferenza.

Visto da sopra, non considerando l'altezza, l'angolo del quadrato è in un punto che ha delle coordinate ben precise rispetto al centro del cerchio

In questo caso X ed Y sono uguali e sono la metà del lato.

Tutti i punti della circonferenza hanno invece delle coordinate calcolabili con il sistema visto sopra del seno e coseno.

Nella immagine di sopra ho tracciato un triangolino che usa le differenze dei valori numerici delle coordinate.

La differenza fra il mezzo lato, X e il valore Rcosalfa mi da la dimensione di un cateto del triangolo.

Y- Rsenalfa mi da l'altro cateto.

Abbiamo detto che per semplicità utilizzeremo gli angoli con avanzamento di 15 gradi.

Applicando pitagora per definire la ipotenusa, la formula verrà:

si osservi che quindi adottando un avanzamento di 15 gradi, i valori con zero gradi e novanta, di 15 e 75, di 30 e 60, danno lo stesso valore.

Queste misure derivano dalla coassialità ovvero dalla eguaglianza delle coordinate X ed Y. La semplicità è che facendo i calcoli con alfa a zero, 15, 30 e 45 gradi, si hanno tutte le quote necessarie per la tracciatura. Fino a qui abbiamo però visto la cosa solo dall'alto, senza considerare l'altezza. Ma questa è la distanza di un punto nello spazio rispetto ad un piano , quello dove giace la circonferenza.

Questa è la misura reale che unisce lo spigolo della flangia quadrata con il punto della circonferenza.

Questa misura è quella che andrà tracciata sulla lamiera .

La formula generale unisce quindi tutti questi elementi, il raggio della circonferenza, gli angoli alfa a crescere, le coordinate X ed Y di distanza dal centro, e la altezza.

Questa formula generale può venire facilmente inserita in un calcolo automatico in un foglio elettronico.

Tracciatura

A questo punto restano alcuni punti particolari. L'arco tracciato da un angolo di 15 gradi è una misura fisica prodotta da una piccola parte della circonferenza. Dividendo la circonferenza in 360 gradi, il calcolo da adottare è:

Poi abbiamo i triangoli piani che hanno come base il lato del quadrato, e il vertice nel punto alfa zero, o novanta. Attenzione, il punto sta sulla circonferenza e ha quindi non solo l'altezza, ma anche una distanza dal lato x-r

quindi la tracciatura del triangolo piano può essere fatta in almeno due modi. Uno è quello di calcolare la reale misura della altezza applicando di nuovo pitagora con il quadrato della altezza, sommata al quadrato di x-r.

L'altro è quello di fidarsi dei due valori calcolati per alfa zero e usarli come cateti di un triangolo isoscele.

Ora abbiamo tutti i numeri necessari e possiamo procedere alla tracciatura. Partiamo quindi dal triangolo piano e tracciamo la linea del lato, tracciando due archi con misura calcolata del lato con alfa zero.

A questo punto otteniamo un triangolo al cui vertice siamo in un punto della circonferenza con alfa zero.

Da quel punto dobbiamo partire con l'arco dei 15 gradi.

Dal punto dello spigolo in basso tracciamo ora un arco con la misura calcolata con alfa 15.

eseguiamo la stessa operazione anche dall'altra parte, troviamo il punto di intersezione con il cerchio di arco15 e tracciamo una linea di congiunzione con il vertice del triangolo base.

Proseguiamo con lo stesso metodo. In pratica per questo caso conviene tracciare delle circonferenze un pochino più ampie, dato che la stessa misura è valida per due valori di alfa, avanzando poi con la tracciatura delle intersezioni di arco15

Nel nostro caso l'operazione va eseguita uguale anche dall'altra parte. Otteniamo quindi lo sviluppo della lamiera che dovrà venire piegata lungo le linee di tracciatura, impostando la piegatrice a dare un angolo di 15 gradi , o di 165 che dir si voglia.

A questo punto avremo ottenuto i due sviluppi di quelli che potremmo chiamare “parti di cono” ci mancano ancora due triangoli per completare il pezzo, questi sono fatti con un cateto che è la metà del lato del quadrato di base, mentre l'altro è l'altezza caratteristica del triangolo piano.

Questa misura può venire ricavata o dal calcolo della altezza visto prima, o direttamente prendendo la misura fra il vertice del triangolo piano centrale e la base Lo sviluppo completo apparirà con una grafica del tipo:

Ovviamente con questo sviluppo andranno realizzati due pezzi di lamiera, piegati a specchio.

Ogni sviluppo produrrà una semicirconferenza, un lato della flangia quadrata di base e due triangoli con base grande la metà del lato.

Questi pezzi necessitano adesso solo di due righe di saldatura in piano. Le flange di base possono venire bloccate con morsetti, ed altrettanto si può fare con la circonferenza.

Ovviamente il calcolo matematico e la tracciatura possono essere precise quanto si vuole. Si è visto che le approssimazioni ai 15 gradi sono più che sufficienti, mentre gli errori di realizzazione in genere sono dovuti a imprecisioni nelle operazioni di piegatura per cui ci si trova con circonferenze ovali o angoli di 90 gradi alla base deformi.

Conviene eseguire delle prove con modellini in carta, in scala ridotta per verifica dei calcoli, o inventare bordi o sovrapposizioni per semplificare le operazioni di saldatura.

La sedia in lamiera realizzata alle scuole professionali di bressanone è un esempio un pochino più complesso della applicazione del calcolo, avendo una base che dietro “sporge” dalla verticale di circa cinque centimetri. In pratica sono stati necessari alcuni calcoli in più, pur essendo ancora un esempio di coassialità.

Per calcoli più complessi, con flange oblique e fuori asse bisogna fondamentalmente ricordare solo che ogni spigolo della flangia è un punto con una distanza dal piano della circonferenza, trovare le coordinate X, Y, e H, ed eseguire il calcolo con i giusti sensi delle sottrazioni.

Quando X ed Y sono diversi bisogna eseguire tutti i calcoli per ogni angolo alfa perché manca la simmetria, ma state certi che è più facile far pensare bene i numeri ad un foglio di calcolo che eseguire otto saldature.

Se qualcuno è in grado di applicare in modo automatico questi calcoli ad un sistema di taglio laser o ad acqua probabilmente potrà dare un grande sviluppo alla nazione. Io sono arrivato al punto di definire le quote, ma per la tracciatura non ho ancora trovato un automatismo che riparta a generare una circonferenza dalla intersezione di altre due circonferenze, ne ho avuto modo di sperimentare su di una macchina automatica uno sviluppo tracciato al cad.