Fisica classica/Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Bot: ordine degli indici di navigazione |
m piccole modifiche per moto di puro rotolamento |
||
Riga 388:
[[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]]
La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera).
Indichiamo con <math>\vec R</math>
Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa.
In
:<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math>
:<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math>
Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi
:<math>v_{C}=\omega R</math>
cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che
:<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math>
avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare
Vale la pena di studiare alcuni casi particolari:
[[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata
Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>
▲[[File:RuotaF.png|thumb|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sull'asse, (notare che nella figura la massa è definita con la m minuscola nel testo è maiuscola)]]
▲Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>m </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile).
La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo:
la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa;
Line 410 ⟶ 411:
La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse):
:<math>N=Mg</math>
Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è:
:<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}
Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#
:<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math>
Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento:
:<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math>
L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che
:<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math>
Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che:
Line 423 ⟶ 424:
al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo:
:<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math>
Notare che se
:<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math>
La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è
Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito
== Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse ==
[[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento
Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>.
Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile
La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha:
:<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math>
Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento
:<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math>
Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento):
:<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math>
:<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math>
la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che:
:<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math>
e quindi:
Line 452 ⟶ 454:
Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa.
== Moto di puro rotolamento con un momento ed un forza applicata ==
[[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento
<math>Mg\cos \theta\ </math>.
La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano:
:<math>N=Mg\cos \theta\ </math>
Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è:
:<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math>
Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento
:<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math>
Dalla
:<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math>
Imponendo la condizione che:
:<math>
Si ha che per avere moto di puro rotolamento:
:<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math>
Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>.
==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]==
|