Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Dinamica del corpo rigido"

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piccole modifiche per moto di puro rotolamento
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[[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]]
 
UnIn fisica classica il '''moto chedi hapuro notevole importanzarotolamento''' è quello in cui il punto di contatto tra ilun corpo rigido erotola ilsu pianouna disuperficie appoggioma abbiala velocità nulla.istantanea Indel questo caso l'assepunto di rotazione noncontatto è un asse materiale ma geometrico, ovvero si sposta insieme al corpo rigidonulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto con il piano (che rimane fermo) econ quindiil è sottoposto ad una forza di attrito staticopiano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito.
 
La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera).
 
Indichiamo con <math>\vec R</math> è il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore uscentenormale dalal piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa.
Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa.
In generaleparticolare quindi la velocità del punto di contatto è paridescritta dalla arelazione:
:<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math>
perImponendo essereche tale velocità sia nulla occorresi ha che:
:<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math>
Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi
:<math>v_{C}=\omega R</math>
cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che ricordiamo non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche:
:<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math>
avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare
Vale la pena di studiare alcuni casi particolari:
[[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sull'asse,sul (notarecentro che nella figura ladi massa è definita con la m minuscola nel testo è maiuscola).]]
== Moto di puro rotolamento con sola forza applicata al CM ==
Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>mM </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile).
[[File:RuotaF.png|thumb|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sull'asse, (notare che nella figura la massa è definita con la m minuscola nel testo è maiuscola)]]
Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>m </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile).
La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo:
la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa;
La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse):
:<math>N=Mg</math>
Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è:
:<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}mM</math>
Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinaleSeconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia delrispetto all'asse di corporotazione chedel rotolacorpo e scelto il centro di massa come polo:
:<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math>
Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento:
:<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math>
L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che quindi vale:
:<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math>
Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che:
al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo:
:<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math>
Notare che se vienevenisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non èsarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si haavrebbe quindi che il moto diventanon sarebbe di puro rototraslatoriorotolameneto in quanto:
:<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math>
quindiVia piùvia grandeche ècrescesse la forza applicata più il moto diventatraslatorio simileprevalerebbe ad unsul moto traslatoriorotatorio.
 
La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è peril lecaso delle ruote delle automobili non motrici se sgonfie.
 
Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito cambierebbeavrebbe diavuto direzione segnoopposta, quindimatematicamente tutte le equazioni rimarrebberosarebbero rimaste eguali, assieme<math>F_{max} alla</math> condizionesarebbe sullala forza frenante massima applicabile.
 
== Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse ==
[[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento M (nel testo <math>\tau\ </math>) applicato all'asse di rotazione.]]
Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>.
Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile in cui viene applicata una coppia sull'asse delle ruote stesse. Nella figura sono mostrate le forze ed iil momentimomento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito che è opposto al caso precedente. Il caso considerato è quello in cui come in figura si ha un momento motore.
 
La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha:
:<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math>
Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento chein sidirezione opponeopposta:
:<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math>
Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento):
:<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math>
L'unicaDa incognitacui diventasi fricava che <math>f</math> vale:
:<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math>
la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che:
:<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math>
e quindi:
Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa.
== Moto di puro rotolamento con un momento ed un forza applicata ==
[[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento M (nel testo <math>\tau\ </math>) che agisce sul suo asse.]]
IlImmaginiamo casoche quiil studiatomoto si hasvolga quandosu sulun corpopiano agisceinclinato contemporaneamentein unasalita forzacon inclinazione <math>\vec F\ theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\vec \tau\ </math>. e laLa forza dipeso attrito.ha Nella figura, che è un esempio, <math>\vec F\ </math> è launa componente dellatangenziale forza peso nella direzione delal piano inclinato <math>|F|=Mg\sin \theta\ </math>; ipotizziamoe cheuna <math>\vec \tau\ </math> agisca in senso orario.normale
<math>Mg\cos \theta\ </math>.
 
Il caso ha un carattere generale se a <math>mg\sin \theta\ </math> viene sostituita una forza generica con una componente parallela al piano di appoggio. Il moto può essere in salita come nella figura o in discesa quindi con <math>\theta<0\ </math>.
 
La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano:
:<math>N=Mg\cos \theta\ </math>
Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è:
:<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math>
Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento chein sidirezione opponeopposta:
:<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math>
Dalla eguaglianzacondizione delleche dueil ultimemoto espressionisia di puro rotolamento segue che:
:<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math>
Imponendo la condizione che:
Sostituendo nella prima espressione il valore di <math>f\ </math>:
:<math>a_{CM}=f\frac 1Mle \fracmu_s {N=\tau/R-Mgmu_sMg\sincos \theta}{1+I/(MR^2)}\ </math>
Si ha che per avere moto di puro rotolamento:
:<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math>
Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>.
 
NotiamoIn che sediscesa <math>\theta<0\ </math> e <math>\tau /(R)=-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> il valore di f è nullo: cioè è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito, seper poiun opportuno momento motore. sempreSe in discesa <math>\tau/(mRMR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. Anche in questo caso si hanno delle condizioni sul momento massimo applicabile in funzione della pendenza.
 
==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]==