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Elettrotecnica/Circuiti con resistenza, capacità, induttanza percorsi da correnti alternate: differenze tra le versioni

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=== Circuiti con resistenza, capacità, induttanza, percorsi da correnti sinusoidali ===
 
==== Circuito con resistenza ede induttanza ====
Sia dato un circuito del tipo in figura, costituito, cioè, dall'aggregato in serie di una resistenza ''R'' e di una induttanza ''L'', al quale sia applicata una ''f.e.m.'' ''e'' comunque variabile nel tempo.
 
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Sappiamo che, con riferimento ai valori istantanei, la ''f.e.m.'' risultante della ''f.e.m.'' effettivamente applicata e della ''f.e.m.'' di autoinduzione che si desta nella induttanza del circuito, è:<br />
{{equazione|id=1|eq=<math>\ e' = e-L{di \over dt }</math>}}<br />
Il segno meno deriva dal fatto, ormai noto, che, per la legge di ''Lenz'' la ''f.e.m.'' di autoinduzione deve essere tale da opporsi alla causa che l'ha generata, ossia alla ''f.e.m.'' applicata al circuito.<br />
''f.e.m.'' applicata al circuito.<br />
Poiché d'altro canto è:<br />
{{equazione|id=2|eq=<math>\ e' = R\ i</math>}}<br />
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la equazione caratteristica del circuito.
 
====Circuito con resistenza, induttanza e capacità====
Si consideri ora un circuito costituito da una resistenza ''R'', una induttanza ''L'', e una capacità ''C'', connesse in serie (vedi figura), sottoposto anch'esso ada una ''f.e.m.'' variabile nel tempo con una legge che supporremo alternativa.
 
[[File:Circuit R C L in AC.png]]
 
In un circuito del genere la l'interruzione della continuità metallica costituita dal condensatore non comporta, ovviamente, la l'interruzione della continuità elettrica, il condensatore, infatti, si caricherà e si scaricherà successivamente in sensi alterni a seconda del senso della ''f.e.m.'' impressa.<br />
Il campo elettrico variabile che si ha in conseguenza nell'interno del condensatore equivale, si è visto, ada una corrente e prende il nome di corrente di spostamento.<br />
Sia ''q'' la quantità di elettricità presente in un determinato istante in una delle armature del condensatore.<br />
Se indichiamo con ''v'' la ''d.d.dp.'' esistente in quell'istante tra le armature del condensatore è:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ q = C\ v</math>}}<br />
essendo ''C'' la c apacitàcapacità del condensatore.<br />
Se a questo punto ''v'' varia di una quantità infinitesima ''dv'', anche ''q'' varia di una quantità ''dq'' data da<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ dq = C\ dv</math>}}<br />
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{{equazione|id=12|eq=<math>\ R\ i+ L{di \over dt}+{1 \over C}\int{}^{}i\ dt = e</math>}}<br />
Si supponga ora che la ''f.e.m.'' ''e'', che sinora abbiamo indicato genericamente come variabile nel tempo, vari in effetti con legge sinusoidale.<br />
E'È allora:<br />
{{equazione|id=13|eq=<math>\ e = E_m \ \sin \omega\ t</math>}}<br />
e pertanto:<br />
{{equazione|id=14|eq=<math>\ R i+L{di \over dt}+{1 \over C}\int_{}^{}i dt = E_m\sin \omega\ t </math>}}<br />
è la equazione risolutiva del più generale circuito ''serie'' che possa essere sottoposto ada una ''f.e.m.'' sinusoidale.<br />
E'È noto che la soluzione di una equazione del genere di quella ora ricavata risulta dalla somma di due termini ''i<sub>1</sub>'' e ''i<sub>2</sub>'' di cui il primo rappresenta la soluzione generale della equazione ausiliaria:<br />
{{equazione|id=15|eq=<math>\ Ri + L{di \over dt}+{1 \over C}\int_{}^{}i dt = 0</math>}}<br />
e il secondo una soluzione particolare della equazione completa.<br />
Sarebbe possibile rendersi conto che il termine ''i<sub>1</sub>'' stàsta a rappresentare il regime transitorio che si stabilisce all'atto della chiusura del circuito.<br />
Esso si smorza nel tempo, divenendoindivenendo in breve, trascurabile rispetto al terrmine ''i<sub>2</sub>'' che, solo, rappresenta la soluzione cercata, con riferimento al regime permanente.<br />
La corrente ''i'' che, in conseguenza della dell'applicazione della ''f.e.m.'' ''e'', circola nel circuito è allora della forma:<br />
{{equazione|id=16|eq=<math>\ i=I_m\sin (\omega t-\phi)</math>}}
di cui è necessario definire ampiezza e fase.<br />
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{{equazione|id=19|eq=<math>\ tg(\phi)={\omega L-{1 \over \omega C} \over R}</math>}}<br />
{{equazione|id=20|eq=<math>\ I_m={E_m \over \sqrt{R^2+(\omega L-{1 \over \omega C})^2}}</math>}}<br />
0O anche:<br />
{{equazione|id=21|eq=<math>\ I_{eff}={E_{eff} \over \sqrt{R^2+(\omega L-{1 \over \omega C})^2}}</math>}}<br />
Alla quantità<br />
{{equazione|id=22|eq=<math>\ \omega L-{1 \over \omega C}</math>}}<br />
si dadà il nome di ''reattanza'' del circuito e la si indica con la lettera ''X''.<br />
Con le posizioni accennate, i risultati dianzi conseguiti sogliono esprimersi nella forma seguente:<br />
{{equazione|id=23|eq=<math>\ I=E</math>}}<br />
{{equazione|id=24|eq=<math>\ tg\phi={X \over R}</math>}}<br />
Quello cui abbiamo accennato ina grandi linee è, ricordiamo, il metodo trigonometrico per il calcolo delle grandezze sinusoidali.<br />
Possiamo eseguire il calcolo della corrente che attraversa un circuito a costanti concentrate sottoposto ada una ''f.e.m.'' sinusoidale con uno qualsiasi degli altri metodi di calcolo a suo tempo citati: giungeremmo in ogni caso ada una espressione del tipo:<br />
tipo:<br />
{{equazione|id=25|eq=<math>\ \vec I={\vec E \over \vec Z}</math>}}<br />
Dove col segno ''' →''' abbiamo voluto contrassegnare le grandezze vettoriali.<br />
Assume perciò carattere di generalità l'affermazione che in un qualsiasi circuito a costanti concentrate cui sia applicata una ''f.e.m.'' sinisoidalesinusoidale di valore efficace ''E'', circola una corrente , anch'essa sinusoidale , di valore efficace:<br />
{{equazione|id=26|eq=<math>\ I = {E \over Z}</math>}}<br />
e la cui differenza di fase col vettore tensione è definita dalla relazione:<br />
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e<br />
{{equazione|id={}|eq=<math>\ Z = \sqrt {R^2-X^2}</math>}}<br />
si nota subito che la corrente , in un circuito che già contenga resistenza ede induttanza, cresce quando si inserisce, in serie con gli anzidetti elementi, una capacità.<br />
In particolare esistono un valore dell'induttanza ede un v alorevalore della capacità per i quali, per una determinata frequenza, si perviene all'annullamento della reattanza.<br />
In queste condizioni il circuito si comporta come puramente ohmicoresistivo, pur non essendolo, e la corrente assume , in relazione alla ''f.e.m.'' applicata, il suo massimo valore, non intervenendo allora, che la sola resistenza a limitarla.<br />
Questa particolare ede importante condizione di funzionamento di un circuito prende il nome di condizione di risonanza.<br />
Tale condizione è analiticamente esprimibile e si dirà che un circuito contenente induttanza, capacità e resistenza si trova in condizioni di risonanza quando per esso vale la relazione:<br />
{{equazione|id={}|eq=<math>\ \omega L - {1 \over \omega C} = 0</math>}}<br />
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sarà anche:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ V = \omega L{E \over R}= {1 \over \omega C}{E \over R}</math>}}<br />
il valore comune delle ''d.d,.p.'' che si localizzano ai capi degli elementi reattivi di un circuito cui sia applicata dall'esterno una ''f.e.m.'' ''E''.<br />
Si vede chiaramente che, per resistenza del circuito trascurabile, è possibile localizzare ai capi degli elementi reattivi notevoli differenze di potenziale, pur applicando dall'esterno ''f.e.m.'' di modesta entità.<br />
Per questa ragione al fenomeno della risonanza in un circuito derldel tipo ''serie'' viene dato comunemente il nome di ''risonanza di tensione''.
 
====Circuiti derivati contenenti resistenza, induttanza e capacità====
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mentre dalla terza si ricava ''i<sub>2</sub>'', ottenendo<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_2 = {E_m \over \sqrt {R_1^2+({1 \over \omega C})^2}}\sin (\omega t+arctg{1 \over \omega C R_2})</math>}}<br />
Per la prima equazione la somma delle due correnti dadà il valore della corrente erogata.<br />
Si ottiene, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle correnti:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m^2 = I_{1m}^2 + I_{2m}^2 + 2 I_{1m} I_{2m}\cos (\phi_1-\phi_2)</math>}}<br />
A mostrare l'estrema semplicità del metodo simbolico per calcoli di questo tipo, e a conferma di quanto già detto circa la convenienza di avere indiscriminatamente presenti tutti i metodi di calcolo a disposizione per la l'analisi di circuiti sottoposti a grandezze alternative, applichiamo alla risoluzione di questo caso anche il metodo in questione.<br />
Si indichi con la notazione:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Y ={1 \over \vec Z}</math>}}<br />
l'inverso della impedenza di un circuito.<br />
Questa grandezza assume il nome di ammettenza del circuito considerato ed è una grandezza complessa la cui unità di misura è il '''Siemenssiemens'''.<br />
Le tre equazioni precedenti assumono allora la forma,<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I_1 + \vec I_2 = \vec I</math>}}<br />
Line 142 ⟶ 140:
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_1 = R_1 + j\omega L</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_2 = R_2 - j{1 \over \omega C}</math>}}<br />
noti gli elementi costitutivi del circuito, sono facilmente calcolabili le ammettenze dei due rami del circuito e, conserguentementeconseguentemente, i valori delle tre correnti incognite<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec I,\vec I_1,\vec I_2 </math>}}<br />
E'È interessante notare che anche in circuiti del tipo ora esaminato la condizione di risonanza<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \omega^2 L C = 1</math>}}<br />
determina , ove realizzata, una particolare condizione di funzionamento del sistema. Consideriamo, intero, il semplice circuito derivato precedentemente studiato e supponiamo trascurabili le resistenze '''R<sub>1</sub>''' e '''R<sub>2</sub>''' dei duredue rami in parallelo.<br />
E' allora<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{1m} = {E_m \over \omega L} \qquad \phi_1 = {\pi \over 2}</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_{2m} = \omega C E_m \qquad \phi_2 = -{\pi \over 2}</math>}}<br />
Line 161 ⟶ 159:
{{equazione|id=|eq=<math>\ I_m = 0</math>}}<br />
il che significa che in un circuito derivato del tipo in figura la realizzazione della condizione di risonanza comporta la circolazione nei due rami di correnti per quanto intense con una erogazione di corrente, da parte della sorgente di energia, che, al limite (per resistenze trascurabili), può essere nulla.<br />
Al particolare fenomeno si dadà usualmente il nome di risonanza di corrente.<br />
Non ci è possibile soffermarci sulle molteplici considerazioni, soprattutto energetiche, cui i circuiti studiati e le particolari loro condizioni che abbiamo indicato come condizioni di risonanza aprono la via.<br />
Prima di abbandonare l'argomento è necessario, però, almeno notare che non esiste contrasto alcuno tra le condizioni di risonanza e il principio di conservazione dell'energia. Nelle condizioni di risonanza pura ('''R'''='''0''') infatti, il circuito assorbe energia solo nella fase iniziale, immagazzinandola, a seconda dei casi, sotto forma elettromagnetica odo elettrostatica. In seguito, a regime, non si ha che un periodico trasferimento dell'energia immagazzinata dall'una all'altra forma.
 
====Circuiti affetti da mutua induzione====
 
Abbiamo sin ora esaminato il caso di circuiti percorsi da correnti alternate e contenenti resistenze, induttanze e capacità.<br />
Dobbiamo ora esaminare il comportamento di quei circuiti che, contenendo gli stessi elementi in precedenza accennati, siano anche affetti da mutua induzione.<br />
La loro importanza risulta chiara non appena si pensi che rientrano in questa categoria di circuiti i così detticosiddetti trasformatori il cui uso nel campo degli impianti elettrici è ben noto.<br />
Trascurando, per necessità, il comportamento di circuiti consimili in fase transitoria all'atto dell'apertura o della chiusura del circuito, consideriamo il caso di due circuiti accoppiati per il tramite di una mutua induzione '''M''' in regime permanente sinusoidale.<br />
Denominiamo '''primario''' il circuito connesso con il generatore di energia; '''secondario''' il circuito con esso induttivamente accoppiato per il tramite della mutua induzione '''M'''.<br />
Line 184 ⟶ 182:
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_1 = I_{1m} sin (\omega t- \alpha_1)</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ i_2 = I_{2m} sin (\omega t- \alpha_2)</math>}}<br />
In tal modo è possibile risolvere il problema di esprimere le correnti in grandezza e fase; infatti sostituendo le espressioni della tensione e delle correntinellecorrenti nelle due equazioni dei circuiti qiestequeste si scindono in due equazioni indipendenti dando luogo ada un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite '''I<sub>1m</sub>''', '''I<sub>2m</sub>''', '''α<sub>1</sub>''', '''α<sub>2</sub>'''.<br />
Più semplice risulta la soluzione del problema per il tramite del metodo simbolico.<br />
Le equazioni dei circuiti possono infatti semplicemente porsi nella forma<br />
Line 198 ⟶ 196:
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec V_1 = \vec Z_{e1} \vec I_1</math>}}<br />
ove alle espressioni in parentesi a graffa si riconoscono le dimensioni di una impedenza.<br />
Si tratta però di una impedenza che contiene a lato degli elementi primari anche gli elementi del circuito secondario, per tale ragione essa assumdeassume il nome di '''impedenza primaria equivalente'''.<br />
Dalla posizione ora fatta risulta chiaramente<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec E_{e1} = A + j B</math>}}<br />
Line 204 ⟶ 202:
{{equazione|id=|eq=<math>\ A = r_1 +{\mu^2 r_2 \over r_2^2+ x_2^2} \qquad B = x_1 - {\mu^2 x_2 \over r_2^2+ x_2^2}</math>}}<br />
Alcune considerazioni interessanti possono farsi sul comportamento dei circuiti mutuamente accoppiati propri a partire dalla espressione della impedenza primaria equivalente.<br />
E'È anzitutto chiaro che la impedenza primaria è nettamente influenzata dalla presenza del circuito secondario, nel senso di un aumento della resistenza e di una diminuizionediminuzione della reattanza, riducendosi la reattanza primaria equivalente alla impedenza primaria quando per assenza o interruzione del circuito secondario possa porsi '''μ''' = 0.<br />
E'È infatti in questo caso<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ A=r_1 \qquad B=x_1</math>}}<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \vec Z_{e10}=r_1+j x_1</math>}}<br />
Line 228 ⟶ 226:
nella ipotesi ora accennata essa risulta:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ \alpha_1-\alpha_2=\pi</math>}}<br />
Si rifletta ora al fatto che la ipotesi di chiara equivalenza della reattanza sulla resistenza complessiva secondaria risulta con fortissima approssimazione soddisfatta nelle condizioni nelle quali la resistenza secondaria si riduca alla sola resistenza propria dell'avvolgimento; vale a dire nelle condizioni di corto circuito secondario.<br />
Potremo allora affermare che: ''inIn tali condizioni le correnti primaria e secondaria di un trasformatore risultano tra loro in opposizione di fase e di ampiezza tale che il loro rapporto è uguale al rapporto inverso del numero delle spire''.<br />
Riprendiamo ora in esame la equaqzioneequazione del circuito secondario in termini simbolici:<br />
{{equazione |id=|eq=<math>\ 0 = (r_2 + j x_2)\vec I_2 + j \mu \vec I_1</math>}}<br />
è chiaro che essa può scriversi:<br />
Line 241 ⟶ 239:
Quanto alla tensione primaria <math>\ \vec V_1=+j x_1 \vec I_1</math><br />
qualora si immagini la resistenza primaria <math>\ r_1</math> trascurabile, in queste condizioni, rispetto alla reattanza primaria <math>\ x_1</math>.<br />
Tutto ciò può esprimersi graficamente alnel modo seguente:
 
[[File:Diagramma vettoriale delle tensioni a circuito aperto.png]]
Line 249 ⟶ 247:
Dalle quali, in concomitanza con le precedenti, risulta:<br />
{{equazione|id=|eq=<math>\ {V_1 \over V_2}={N_1 \over N_2}</math>}}<br />
ciò che può esprimersi dicendo che: '''nelNel funzionamento a vuoto di un trasformatore tensione primaria e secondaria risultano tra loro in opposizione di fase; le ampiezze stanno fra loro nel rapporto diretto del numero delle spire'''.
 
 
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