Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Dimostrazione del teorema di compattezza: differenze tra le versioni

(''Passo induttivo'') Sia <math>A=\neg B</math>. <math>\mathcal{M_V} \models \neg B</math> equivale a <math>\mathcal{M_V} \nvDash B</math>; per ipotesi induttiva, <math>\mathcal{M_V} \nvDash B</math> sse <math>B \not\in \Delta</math>. Siccome <math>\Delta</math> è massimale, <math>B \not\in \Delta</math> sse <math>\neg B \in \Delta</math>. Pertanto, <math>\mathcal{M_V} \models \neg B</math> sse <math>\neg B \in \Delta</math>, che è la tesi.

 

 

 

Sia <math>A=B \to C</math>. Per definizione, <math>\mathcal{M_V} \models B \to C</math> sse <math>\mathcal{M_V} \nvDash B</math> o <math>\mathcal{M_V} \models C</math>; per ipotesi induttiva, <math>\mathcal{M_V} \nvDash B</math> sse <math>B \not\in \Delta</math> e <math>\mathcal{M_V} \models C</math> sse <math>C \in \Delta</math>. Siccome <math>\Delta</math> è massimale, per il lemma 3 (<math>B \not\in \Delta</math> o <math>C \in \Delta</math>) sse (<math>\Delta \nvDash B</math> o <math>\Delta \models C</math>). (<math>\Delta \nvDash B</math> o <math>\Delta \models C</math>) sse, per definizione di implicazione, <math>\Delta \models B \to C</math> e, per il lemma 3, <math>\Delta \models B \to C</math> sse <math>B \to C \in \Delta</math>, che è la tesi.