Utente:BlackEagle~itwikibooks/sandbox: differenze tra le versioni

\%\date{08/01/2005}

risoluzioni. [\$\ldots\$]\\

\partpartial{Formulario}

verità (vero=T=1=\$\top\$; falso=F=0=\$\bot\$). Una proposizone si

\item {\bfseries non} \$\neg\$ (oppure: \$\neg p\equiv\bar{p}\$);

unario; complementare; \$\neg p\$ ha valore vero sse \$p\$ ha valore falso;\\

\item {\bfseries e} \$\wedge\$; binario; intersezione; \$p\wedge q\$

ha valore vero sse \$p\$ e \$q\$ hanno entrambi valore vero;\\

\item {\bfseries o} \$\vee\$; binario; unione; \$p\vee q\$ ha

valore vero se almeno uno tra \$p\$ e \$q\$ ha valore vero;\\

\$\Longrightarrow\$; binario; \$p\Longrightarrow q\$ ha

valore vero se \$p\$ ha valore falso o se sia \$p\$ che \$q\$ hanno valore vero;\\

necessaria e sufficiente (cnes)} \$\Longleftrightarrow\$; binario;

\$p\Longleftrightarrow q\$ ha valore vero se \$p\$ ha lo stesso valore di verità di \$q\$.\\

\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Verita} a pag.\pageref{tab:Verita}

\$p\$ & \$q\$ & \$\neg p\$ & \$p\wedge q\$ & \$p\vee q\$ & \$p\Longrightarrow

q\$ & \$p\Longleftrightarrow q\$\\

\$1\$ & \$1\$ & \$0\$ & \$1\$ & \$1\$ & \$1\$ & \$1\$ \\

\$1\$ & \$0\$ & \$0\$ & \$0\$ & \$1\$ & \$0\$ & \$0\$ \\

\$0\$ & \$1\$ & \$1\$ & \$0\$ & \$1\$ & \$1\$ & \$0\$ \\

\$0\$ & \$0\$ & \$1\$ & \$0\$ & \$0\$ & \$1\$ & \$1\$

\$A\Rightarrow A\$ & legge dell'identità\\

\$A\Leftrightarrow \neg\neg A\$ & legge della doppia negazione\\

\$A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A\$ & commutatività di \$\wedge\$\\

\$(A\wedge B) \wedge C\Leftrightarrow A\wedge (B \wedge C)\$ & associatività di \$\wedge\$\\

\$A\vee B\Leftrightarrow B\vee A\$ & commutatività di \$\vee\$\\

\$(A\vee B) \vee C\Leftrightarrow A\vee (B \vee C)\$ & associatività di \$\vee\$\\

\$A\wedge A\Leftrightarrow A\$ & idempotenza di \$\wedge\$\\

\$A\vee A\Leftrightarrow A\$ & idempotenza di \$\vee\$\\

\$A\wedge B\Leftrightarrow A\$ & eliminazione di \$\wedge\$\\

\$A\Leftrightarrow A\vee B\$ & introduzione di \$\vee\$\\

\$A \wedge(B\vee C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge C)\$ & distributività\\

\$A \vee(B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)\$ & distributività\\

\$A\wedge(A\vee B)\Leftrightarrow A\$ & legge di assorbimento\\

\$A\vee(A\wedge B)\Leftrightarrow A\$ & legge di assorbimento\\

\$\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow\neg A\vee\neg B\$ & legge di de Morgan\\

\$\neg(A\vee B)\Leftrightarrow\neg A\wedge\neg B\$ & legge di de Morgan\\

\$\neg A \vee A \Leftrightarrow \top\$ & legge del terzo escluso\\

\$\neg (A \wedge \neg A)\Leftrightarrow \top\$ & legge di non contraddizione\\

\$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (B \vee \neg A)\$ & definizione di implicazione\\

\$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)\$ & legge di contrapposizione (contronominale)\\

\$A\wedge \neg A\Rightarrow \bot\$ & Lewis (ex falso quodlibet)\\

\$A \Rightarrow (B\Rightarrow A)\$ & affermazione del conseguente\\

\$\neg A \Rightarrow (A\Rightarrow B)\$ & negazione dell'antecedente\\

\$((A\Rightarrow B)\wedge \neg B)\Rightarrow\neg A\$ & legge di riduzione all'assurdo\\

\$(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A\$ & riduzione all'assurdo debole\\

\$(\neg A\Rightarrow A)\Rightarrow A\$ & consequentia mirabilis\\

\$((A\Rightarrow B)\Rightarrow A)\Rightarrow A\$ & legge di Peirce\\

\$((A\Rightarrow B)\vee (B\Rightarrow A))\Rightarrow \top\$ & legge di Dummett\\

\$A\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow B)\$ & modus ponens\\

\$(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow(B\Rightarrow(A\Rightarrow C))\$ & scambio antecedenti\\

\$((A\Rightarrow C)\wedge(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow (A\vee B\Rightarrow C)\$ & distinzione di casi\\

\$((A\Rightarrow B)\wedge(\neg A\Rightarrow B))\Rightarrow B\$ & distinzione di casi\\

\$(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow(A\Rightarrow C))\$ & distributività di \$\Rightarrow\$\\

\$((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))\Rightarrow (A\Rightarrow C)\$ & transitività di \$\Rightarrow\$\\

\$(A\Rightarrow (B\Rightarrow C))\Leftrightarrow ((A\wedge

B)\Rightarrow C)\$ & importazione/esportazione delle premesse

\begin{definizione}[Insieme] \$A=\{x_1, x_2, \ldots,

x_n\}=\{x|\mathcal{P}(x)\}\$.

\begin{definizione}[Intersezione]\$A\cap B=\{x|x\in A \wedge x\in B\}\$

\begin{definizione}[Unione]\$A\cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\}\$

\begin{definizione}[Differenza]\$A\setminus B=\{x|x\in A \wedge \neg (x\in B)\}\$

\$A\Delta B=A\setminus B \cup B\setminus A\$

\begin{definizione}[Complementare]Detto \$\mathcal{U}\$ l'insieme universo,

\$A^c=cA=\bar{A}=\{x|x\in U\setminus A\}=\{x|\neg (x\in A)\}\$

\$\mathcal{P}(A)=2^A=\{E|E\subseteq A\}\\|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\$

\$(x,y)=\langle x,y\rangle =\{\{x\},\{x,y\}\}\$

\$A\times B=\{(x,y)|x\in A \wedge y\in B\}\$\\

\$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in

A_i \forall i=\{1,2,\cdots, n\}\}\$\\

\$(E\cup F)^c=E^c\cap F^c\\(E\cap F)^c=E^c\cup F^c\$

La struttura \$[\mathbb{R},+,\cdot]\$ è un anello. Si definisce una

relazione d'ordine totale \$\leq\$. I primi 4 assiomi definiscono

\$[\mathbb{R},+]\$ come gruppo, \$[\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot]\$

\$\mathbb{R}\$ è quindi definito assiomaticamente da:

\item [S3] esiste l'elemento neutro della somma (zero, \$0\$);\\

\item [S4] ogni elemento (\$x\$) di \$\mathbb{R}\$ ha inverso (opposto, \$-x\$);\\

\item [P3] esiste l'elemento neutro del prodotto (\emph{uno}, \$1\$);\\

\item [P4] ogni elemento (\$x\$) di \$\mathbb{R}\setminus \{0\}\$ ha elemento inverso (reciproco,

\$\frac{1}{x}=1/x=x^{-1}\$);\\

\item [OS] \$x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z \forall z\in\mathbb{R}\$;\\

\item [OP] \$x\leq y\Rightarrow x\dot z\leq y\dot z \forall z\in\mathbb{R}, z\geq 0\$;\\

\item [Dedekind] siano \$A\$ e \$B\$ due insiemi separati, cioè tali

che \$\forall a\in A, \forall b\in B, a\leq b\$; allora \$\exists

c\in\mathbb{R}:a\leq b\leq c\$.\\

\$\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\$ detto

\$\$(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^n

\right) a^{n-k}b^k\$\$

\$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\$;\\

\>\$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\$;\\

\>\$(a\pm b\pm c)^2=a^2\pm 2ab+b^2\pm 2bc+c^2\pm 2ca\$.

\$\$\mathcal{P}(x)=a_n\cdot\prod_{i=0}^n(x-x_i)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i\$\$\\

\$\mathcal{P}(x)=a(x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot\,\cdots\,\cdot(x-x_n)\$\\

\$\forall n\in \mathbb{N}: x^n-y^n=(x-y)\cdot(x^{n-1}+x^{n.2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})\$\\

\$\forall n=2k+1, k\in \mathbb{Z}: x^n+y^n=(x+y)\cdot(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1})\$\\

\$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\$;\\

\>\$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\$.

\$\mathcal{P}(x)=ax^2+bx+c \$: \= \$\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\$;\\

\> \$\qquad x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-ac}}{a}\mbox{ con }\beta :=\frac{b}{2}\$

\$\sqrt{\mathcal{A}\pm \sqrt{\mathcal{B}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{A}+\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}

\pm \sqrt{\frac{\mathcal{A}-\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}\$

\$\sqrt{f(x)}\geq g(x)\$

\$\$

\$\$\\

\$\sqrt{f(x)}<g(x)\$

\$\$

\$\$

\begin{definizione}[Logaritmo]\$\forall y\geq 0, \forall

n\in\mathbb{N}\$, si definisce la radice \$n\$-esima di \$y\$ come:\\

\$^n\sqrt{y}=y^{1/n}=sup\{x\in\mathbb{R}:x^n<y\}=inf\{x\in\mathbb{R}:x^n>y\}\$

\$

a^{-m}=\frac{1}{a^m}\$

\$\displaystyle a=\log_b c \Leftrightarrow b^a=c\$

\$

\$

\$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+_0=[0,+\infty]\$\\

\$f(x)=|x|=\textsf{mod}(x)=\textsf{max}\{x,-x\}=\sqrt{x^2}\$.

\item [M1] \$\forall a\in\mathbb{R}, |a|\geq 0\$\\

\item [M2] \$|a|=0 \Leftrightarrow a=0\$\\

\item [M3, omogeneità] \$\forall \lambda\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R}, |\lambda\cdot a|=| \lambda|\cdot |a| \$\\

\item [M4, disuguaglianza triangolare] \$\forall a,b\in\mathbb{R}, |a+b|\leq |a|+|b|\$\\

\$\$| \sum^{n}_{i=1}a_i|\leq \sum^{n}_{i=1} |a_i| \$\$

Può essere scritta anche: \$||a|-|b||\leq|a-b|\$.

\begin{definizione}[Fattoriale]\$\$\forall n\in\mathbb{N},

n!=fatt(n)=\prod_{i=1}^{n}i=\$\$\\

\$\$=1\cdot 2\cdot\cdots\cdot (n-1)\cdot n\$\$\\

\$\$\left\{ \begin{array}{l} 0!=1\\n!=n\cdot(n-1)!

\end{array}\right.\$\$

\begin{definizione}[Semifattoriale]\$\forall k\in\mathbb{N},

(2k+1)!!=\prod_{i=0}^{k}(2i+1)\$;\\

\$\$(2k)!!=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }k=0\\

\end{array}\right.\$\$\\

Si definisce inoltre \$(-1)!!=1\$.

\begin{definizione}[Segno] \$\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\},

\textsf{signum}(x)=\textsf{sign}(x)=\textsf{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}=\$

\$\$\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }x>0\\

\end{array}\right.\$\$

\$[x]\stackrel{def}{=}max\{k\in\mathbb{Z}:k\leq x\}\$

\$\{x\}\stackrel{def}{=}x-[x]\$

\begin{definizione}[Parte positiva, \$f^+\$]

\$f^+=\textsf{max}\{f,0\}\$

\begin{definizione}[Parte negativa, \$f^-\$]

\$f^-=\textsf{min}\{f,0\}\$

\$|f|=f^+-f^-\$\\

\$f=f^++f^-\$\\

\$\textsf{max}\{f,g\}=(f-g)^++g\$\\

\$\textsf{min}\{f,g\}=(f-g)^-+g\$

\$\forall a,b\in\mathbb{R}:a<b,\\

b^--a^-\leq b-a\$

\$\$f(x)=

\end{array}\right.\$\$

\$\sinh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$\\

\$\sinh x=\textsf{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\$

\$\cosh:\mathbb{R}\rightarrow[1,+\infty)\$\\

\$\cosh x=\textsf{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\$

\$\sinh^2 x-\cosh^2 x=1\$.

\$\tanh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$\\

\$\tanh x=\textsf{th}x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\$

\$\coth:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}\$\\

\$\coth x=\textsf{cth}x=\frac{\cosh x}{\sinh x}\$

\$\textsf{ash}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$\\

\$\textsf{sett sinh} y=\textsf{ash}y=\log(y+\sqrt{y^2+1})\$

\$\textsf{ach}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$\\

\$\textsf{sett cosh} y=\textsf{ach}y=\log(y+\sqrt{y^2-1})\$

\$\textsf{ath}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$\\

\$\textsf{sett tanh}

x=\textsf{ath}y=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}\$

\subsection{Funzione Esponenziale, \$e^x=\textsf{exp}(x)\$}

\$\exists !\$ la funzione \$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$ che

\item \$\forall x_1, x_2 \in\mathbb{R}, f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)\$;\\

\item \$f(1)=e\$ (dove \$e\$ è il \emph{numero di Nepero});

ed è la \emph{funzione esponenziale} definita \$\forall

x\in\mathbb{R}\$ da \$f(x)=e^x=\textsf{exp}(x)\$.

Si definisce \$f(x)=a^x=e^{x\log a}\$.

\$\$a_n=a_1+(n-1)d\$\$\\

\$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}\$

\$\$a_n=a_1\cdot q^{n-1}\$\$\\

\$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1\$\\

Se \$q=1\$ si ha \$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=n\cdot a_1\$\\

\$\displaystyle S_{k,n}=\sum_{i=k}^{n}a_i=q^k\cdot\frac{1-q^{n-k+1}}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1\$

\item \$\forall x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], |\sin x|\leq |x|\$\\

\item \$\forall n\in\mathbb{N}, \forall a\geq -1, (1+a)^n\geq 1+a\cdot n \$ ({\bfseries disuguaglianza di Bernoulli})\\

\item \$\forall x\in \mathbb{R}, e^x\geq x+1\$\\

\item \$\forall x>-1, \log(x+1)\leq x\$\\

\item \$\forall a,b>0, p,q>1:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, a\cdot b\leq\frac{1}{p}\cdot a^p+\frac{1}{q}\cdot b^q \$ ({\bfseries disuguaglianza di Young})\\

\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\$\\

\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\$\\

\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2\$\\

\$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}

=(1+1)^n=2^n\$\\

\$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} (-1)^i

\$

\$\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\$

\$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\forall x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\$\\

\$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\forall x\neq k\pi\$\\

\$\cot x=\frac{1}{\tan x}\forall x\neq k \frac{\pi}{2}\$

\$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\\

k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} \$

\$\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\\

k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} \$

\$\sin ( \alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\$\\

\$\cos ( \alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\$\\

\$\tan ( \alpha \pm \beta)=\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\$\\

\$\cot ( \alpha \pm \beta)=\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \alpha \pm \cot \beta}\$

\$\sin (2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\$\\

\$\cos (2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\$\\

\$\tan (2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\$\\

\$\sin (3\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\$\\

\$\cos (3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\$\\

\$\tan (3\alpha)=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\$\\

\$\sin (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\$\\

\$\cos (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\$\\

\$\tan (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\$

\$t\stackrel{def}{=}\tan\frac{\alpha}{2}\longrightarrow\left\{

\right.\$

\$\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}\$\\

\$\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}\$\\

\$\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}\$\\

\$\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}\$

\$\cos p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p+q)-\sin (q-p)]\$\\

\$\sin p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p-q)-\cos (p+q)]\$\\

\$\cos p \cdot\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]\$

\%\subsection{Altre Formule}

\%\$\sin\alpha=\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\$\\

\%\$\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\$\\

\%\$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}\$\\

\%\$\cos\alpha=\frac{\cot\alpha}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}\$\\

\%\$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\$\\

\%\$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\$

\$\swarrow\$ & Sin & Cos & Tan\\

\%---- :

\$\sin\alpha\$ & \$\sin\alpha\$ & \$\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}\$ &

\$\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\$\\

\%---- :

\$\cos\alpha\$ & \$\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}\$ & \$\cos\alpha\$ &

\$\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\$\\

\%---- :

\$\tan\alpha\$ & \$\pm\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\$ &

\$\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}\$ &

\$\tan\alpha\$\\

\%---- :

\$\cot\alpha\$ & \$\pm\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}\$ &

\$\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\$ &

\$\frac{1}{\tan\alpha}\$\\

\%---- :

\$\sec\alpha\$ & \$\pm\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\$ &

\$\frac{1}{\cos\alpha}\$ &

\$\pm\sqrt{1+\tan^2\alpha}\$\\

\%---- :

\$\csc\alpha\$ & \$\frac{1}{\sin\alpha}\$ &

\$\pm\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\$ &

\$\pm\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}\$\\

\$\frac{\pi}{12}\$ & \$15°\$ & \$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\$ & \$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\$ & \$2-\sqrt{3}\$ & \$2+\sqrt{3}\$\\

\$\frac{\pi}{8}\$ & \$22°30'\$ & \$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\$ & \$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\$ & \$\sqrt{2}-1\$ & \$\sqrt{2}+1\$\\

\$\frac{\pi}{6}\$ & \$30°\$ & \$\frac{1}{2}\$ & \$\frac{\sqrt{3}}{2}\$ & \$\frac{\sqrt{3}}{3}\$ & \$\sqrt{3}\$\\

\$\frac{\pi}{4}\$ & \$45°\$ & \$\frac{\sqrt{2}}{2}\$ & \$\frac{\sqrt{2}}{2}\$ & \$1\$ & \$1\$\\

\$\frac{\pi}{3}\$ & \$60°\$ & \$\frac{\sqrt{3}}{2}\$ & \$\frac{1}{2}\$ & \$\sqrt{3}\$ & \$\frac{\sqrt{3}}{3}\$\\

\$\frac{3}{8}\pi\$ & \$67°30'\$ & \$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\$ & \$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\$ & \$\sqrt{2}+1\$ & \$\sqrt{2}-1\$\\

\$\frac{5}{12}\pi\$ & \$75°\$ & \$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\$ & \$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\$ & \$2+\sqrt{3}\$ & \$2-\sqrt{3}\$\\

\$\frac{\pi}{2}\$ & \$90°\$ & \$1\$ & \$0\$ & n.e. & \$0\$

x & \$\sin x \$ & \$\cos x\$ & \$\tan x\$ & \$\cot x\$\\

\$\pi -x \$ & \$\sin x \$ & \$- \cos x\$ & \$-\tan x\$ & \$-\cot x\$ \\

\$\pi +x \$ & \$-\sin x \$ & \$- \cos x\$ & \$\tan x\$ & \$\cot x\$ \\

\$ -x \$ & \$-\sin x \$ & \$\cos x\$ & \$-\tan x\$ & \$-\cot x\$ \\

\$2\pi -x \$ & \$-\sin x \$ & \$\cos x\$ & \$-\tan x\$ & \$-\cot x\$ \\

\$\frac{\pi}{2} -x \$ & \$\cos x \$ & \$\sin x\$ & \$\cot x\$ & \$\tan x\$ \\

\$\frac{\pi}{2} +x \$ & \$\cos x \$ & \$-\sin x\$ & \$-\cot x\$ & \$-\tan x\$ \\

\$\frac{3}{2} \pi -x \$ & \$-\cos x \$ & \$-\sin x\$ & \$\cot x\$ & \$\tan x\$ \\

\$\frac{3}{2} \pi +x \$ & \$-\cos x \$ & \$\sin x\$ & \$-\cot x\$ & \$-\tan x\$

Area: \$S= \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} b c \sin \alpha = \frac{1}{2} a c \sin \beta\$\\

\$S= \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+ \gamma)} =

\frac{1}{2} c^2 \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha +\beta)}\$\\

\begin{teorema}[Formula di Erone] \$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\$

circonferenza) di lati \$a,b,c,d\$ e semiperimetro

\$p=\frac{a+b+c+d}{2}\$, l'area vale \$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

\$; per \$d=0\$, in particolare, si ottiene la formula di Erone per

\begin{teorema}[delle Corde]: \$\bar{AB} =2r \sin \alpha\$

\begin{teorema}[dei Seni]: \$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=2R=\frac{abc}{4S}\$

\$a=b \cos \gamma+c \cos \beta\$;\\

\>\$b=a \cos \gamma+c \cos \alpha\$;\\

\>\$c=a \cos \beta+b \cos \alpha\$.\\

\$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha \$; \\

\$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta \$; \\

\$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \$.

Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di un triangolo rettangolo e \$\alpha\$ , \$\beta\$ e \$\gamma\$ sono le misure degli angoli opposti, sussistono le seguenti relazioni:\\

\$b=a\sin\beta=a\cos\gamma\$\\

\$c=a\sin\gamma=a\cos\beta\$\\

\$b=c\tan\beta=c\cot\gamma\$\\

\$c=b\tan\gamma=b\cot\beta\$

\$r\$: \=\$y=mx+n\$ (forma implicita)\\

\>\$y=ax+by+c\$ (forma esplicita);\qquad \$m=-\frac{b}{a}\$, \$n=-\frac{c}{a}\$\\

\=\$P_1(x_1, y_1)\$\=

\$P_2(x_2, y_2)\$\=\$P_3(x_3, y_3)\$\\

\$r_{P_1}\$: \$(y-y_1)=m(x-x_1)\$\\

\$s \parallel r_{P_1}\$:\$y_1=m_{const} x_1+n\$\\

\$r_{P_1P_2}:\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\$\\

\$m_r=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\$\\

\$r\parallel s\leftrightarrow m_r=m_s\$\\

\$r\perp s\leftrightarrow m_r=-\frac{1}{m_s}\$\\

\$\bar{P_1P_2}=dist(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\$\\

\$dist(P_1,r)=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\$\\

Punto medio di \$P_1P_2= (\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})\$\\

Baricentro del triangolo \$P_1P_2P_3= (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}; \frac{y_1+y_2+y_3}{3})\$

\$\$\gamma:x^2+y^2+ax+by+c=0\$\$\\

\$C(x_0,y_0)\qquad r^2=x_0^2+y_0^2-c\geq 0\$\\

\$P(x',y')\in\gamma\leftrightarrow\overline(PC)=r\$\\

\$\gamma: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\$\\

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$

\$\longrightarrow\$

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$

\$\$\mathcal{P} :y=ax^2+bx+c \$\$\\

\$F(x_0,y_0);\qquad d:y=k\$\\

\$P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)\$\\

\$\left\langle\begin{array}{lcccc}

\end{array}\right.\$\\

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$

\$\longrightarrow\$

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$\\

\$F(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a})\$\\

\$d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})\$\\

\$F(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\$\\

\$a:x=-\frac{b}{2a}\$\\

\$\Delta=b^2-4ac\$

\$\$\mathcal{P} :x=ay^2+by+c \$\$\\

\$F(x_0,y_0);\qquad d:y=k\$\\

\$P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)\$\\

\$\left\langle\begin{array}{ccccc}

\end{array}\right.\$\\

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$

\$\longrightarrow\$

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$\\

\$F(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})\$\\

\$d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})\$\\

\$F(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})\$\\

\$a:y=-\frac{b}{2a}\$\\

\$\Delta=b^2-4ac\$

\$\$\mathcal{E}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\$\$\\

\$c^2=

\end{array}\right.\$\\

\$\mathcal{E}\cap x\equiv\qquad A(-a,0)\quad B(a,0)\$\\

\$\mathcal{E}\cap y\equiv\qquad C(0,-b)\quad D(0,b)\$\\

\$P(x',y')\in\mathcal{E}\leftrightarrow\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a\$

\$\$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\$\$\\

\$c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0\$\\

\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)\$\\

\$F_1(-c,0)\quad F_2(c,0); \qquad F_1,F_2\in x\$\\

\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a\$\\

\$a_1: y=\frac{b}{a}x\$\\

\$a_2: y=-\frac{b}{a}x\$\\

\$e=\frac{c}{a}>1\$

\$\$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\$\$\\

\$c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0\$\\

\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(0,-b)\quad V_2(0,b)\$\\

\$F_1(0,-c)\quad F_2(0,c); \qquad F_1,F_2\in y\$\\

\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a\$\\

\$a_1: y=\frac{b}{a}x\$\\

\$a_2: y=-\frac{b}{a}x\$\\

\$e=\frac{c}{b}>1\$

\$\$\mathcal{I}:x^2-y^2=a^2\$\$\\

\$c=a\sqrt{2}\qquad a=b\$\\

\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)\$\\

\$F_1(-a\sqrt{2},0)\quad F_2(a\sqrt{2},0); \qquad F_1,F_2\in x\$\\

\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a\$\\

\$a_1: y=x\$\\

\$a_2: y=-x\$\\

\$e=\sqrt{2}\$

\$\$\mathcal{I}:x^2-y^2=-a^2\$\$\\

\$c=a\sqrt{2}\qquad a=b\$\\

\$\mathcal{I}\cap y\equiv\qquad V_1(0,-a)\quad V_2(0,a)\$\\

\$F_1(0,-a\sqrt{2})\quad F_2(0,a\sqrt{2}); \qquad F_1,F_2\in y\$\\

\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a\$\\

\$a_1: y=x\$\\

\$a_2: y=-x\$\\

\$e=\sqrt{2}\$

\$\$\mathcal{I}:xy=k\$\$\\

\$\left\{\begin{array}{lcll}

\end{array}\right.\$\\

\$leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a\$\\

\$a_1: x=0\$\\

\$a_2: y=0\$\\

\$e=\sqrt{2}\$

\$\$\mathcal{I}:y=\frac{ax+b}{cx+d}\$\$\\

\$\$\exists\mathcal{I}\leftrightarrow

\end{array}\right.\$\$\\

\$a_1: x=-\frac{d}{c}\$\\

\$a_2: y=\frac{a}{c}\$\\

\$e=\sqrt{2}\$

\$\$\mathcal{C}:a_{11}x^2+a_{22}y^2+a{12}xy+a_{13}x+a_{23}y+a{33}=0\$\$\\

\$\$A=

\end{array}\right ) \$\$\\

\$\$\overline{A}=

\$\$

\$

\$

\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Coniche} a pag.\pageref{tab:Coniche}

& \$ |\overline{A}|>0 \$ & \$ |\overline{A}|=0 \$ & \$ |\overline{A}|<0 \$ \\

\$ |A|=0 \$ & retta immaginaria & rette reali o immaginarie parallele & retta reale\\

\$ |A|\neq 0 \$ & ellisse & parabola & iperbole

\$\mathcal{T}:\$\= \$\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}\$\\

\> \$(x,y)\rightarrow(x',y')\$\\

\$ \left\{

\right.\$

\$\$A=

\$\$

\$\$ |A|\neq 0 \$\$\\

\$\mathcal{T}^{-1}:\$\= \$\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}\$\\

\> \$(x',y')\rightarrow(x,y)\$\\

\$\frac{S'}{S}=|A|\$\\

\$\left\{

\right.\$

\$\$A^{-1}=

\$\$

Il prodotto di due affinità \$\mathcal{T}\$ e \$\mathcal{T'}\$ è una

affinità (indicata con \$\mathcal{T} * \mathcal{T'}\$, dove si

applica per prima \$\mathcal{T'}\$ e successivamente \$\mathcal{T}\$)

\$\left\{

\right.\$

\$\$ A=

\right ) \$\$

\$|A|=1\$

\$\left\{

\right.\$\\

\$\left\{

\right.\$

\$\$A=

\$\$

\$ |A|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \$

\$\$A^{-1}=

\$\$

\$ |A^{-1}|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \$

\$\left\{

\rightarrow a^2+b^2=1 \$\\

\$\left\{\rho:\{}

\right.\$\\

\$\left\{\tau:\{}

\right.\$\\

\$\left\{\tau * \rho :\{}

\right.\$

\$\$\left\{

\right.\$\$

con \$(x_0,y_0)\$ \emph{ centro di simmetria}.

Asse: \$ y=y_0 \rightarrow

\right.\$

\$\$|A|=

\$\$

Asse: \$x=x_0 \rightarrow \left\{

\right.\$

\$\$|A|=

\$\$

Asse: \$ y=mx+q \rightarrow \left\{

\right.\$

\$\$|A|=

\$\$

\$\left\{

\right.\$

\$\$|A|=

\$\$

\$\left\{\begin{array}{l}

\right.\$

\$\$|A|=

\$\$

\$x'=ax+by+p\$\\

\$y'=bx-ay+q\$\\

\$\$|A|=

\$\$

\$ |k|>1\rightarrow \$ dilatazione\\

\$ |k|<1\rightarrow \$ compressione\\

\$\left\{

\right.\$

\subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse \$y\$}

\$\left\{\begin{array}{l}

\right.\$

\$\left\{\begin{array}{l}

\right.\$

\$\left\{\begin{array}{l}

\right.\$

intersecano in un punto \$P\$ allora le rette trasformate si

intersecano in \$\mathcal{T}(P)\$; \item un'affinità trasfrorma

parallele in rette parallele; \item i punti del segmento \$PQ\$

\$\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)\$; \item il punto medio del segmento

\$PQ\$ viene trasformato nel punto medio del segmento

\$\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)\$; \item un triangolo di area

\$\mathcal{S}\$ viene trasformato in un triangolo di area

\$\mathcal{S}\cdot |det(A)|\$; \item un'affinità trasforma coniche

\begin{definizione}[Maggiorante \$\|\$Minorante\$\|\$]\$M \|m\|\$ si dice \emph{maggiorante \$\|\$minorante\$\|\$}

dell'insieme \$A\$ se \$\forall a\in A, M\geq a \|m\leq a\|\$; si

definisce quindi l'insieme \$\mathcal{M}_A=\{M\in\mathbb{R}:\forall

a\}\|\$\end{definizione}

\begin{definizione}[Estremo superiore (sup) \$\|\$ Inferiore (inf)\$\|\$]

Si definisce \emph{estremo superiore (sup))\$\|\$ inferiore (inf)

\$\|\$} di A il più piccolo \$\|\$grande\$\|\$ dei maggioranti

\$\|\$minoranti\$\|\$,

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$\\

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$\\

Per definizione, se \$A\$ è \emph{illimitato superiormente

\$\|\$inferioremente\$\|\$} allora si pone \$sup A=+\infty \|inf

A=-\infty\|\$\end{definizione}

\begin{definizione}[Insieme limitato/illimitato]L'insieme \$A\$ si dice

\emph{limitato superiormente \$\|\$inferiormente\$\|\$} se esiste

l'estremo superiore \$\|\$inferiore\$\|\$; si dice \emph{limitato} se

\emph{illimitato superiormente \$\|\$inferiore\$\|\$} se non è

limitato superiormente \$\|\$inferiore\$\|\$, ossia se \$\forall

\exists a\in A: a\leq x\|\$; si dice \emph{illimitato} se è

\begin{osservazione}Sia \$A\subset\mathbb{R}\$. Allora \$A\$ è limitato sse

\$\exists M\geq 0:\forall x\in A|x|\leq M\$.\end{osservazione}

\begin{definizione}[Massimo (max) \$\|\$minimo (min)\$\|\$] Si

definisce \emph{massimo (max) \$\|\$minimo (min)\$\|\$} l'estremo

superiore \$\|\$inferiore\$\|\$ qualora appartenga all'insieme A.

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$\\

\$\left\{\begin{array}{l}

\end{array}\right.\$\\

\$A\subset\mathbb{R}\$ si dice \emph{intervallo} se, dati \$x, y:

x<y\$, allora \$\forall z: x<z<y, z\in A\$.

Se \$A\$ è un intervallo, è necessariamente di uno dei seguenti

\item [aperto] \$(a,b)=]a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}, \mbox{ con } a,b\in\bar{\mathbb{R}}\$;\\

\item [aperto a sx, chiuso a dx] \$(a,b]=]a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}, \mbox{ con } a\in\bar{\mathbb{R}}, b\in\mathbb{R}\$;\\

\item [chiuso a sx, aperto a dx] \$[a,b)=[a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}, \mbox{ con } a\in\mathbb{R}, b\in\bar{\mathbb{R}}\$;\\

\item [chiuso, compatto] \$[a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}, \mbox{ con } a,b\in\mathbb{R}\$.\\

\begin{notazione}[-\$A\$, \$\lambda\cdot A, A+B\$]

Dato \$A\$ insieme, si definisce \$-A=\{-y\in\mathbb{R}:y\in A\}\$.\\

Dato \$A\$ insieme, \$\lambda\in\mathbb{R}\$, si definisce

\$\lambda\cdot A=\{\lambda\cdot x:x\in A\}\$.\\

Dati \$A\$ e \$B\$ insiemi, si definisce \$A+B=\{x\in\mathbb{R}:x=a+b,

a\in A, b\in B\}\$.

\$

\$

\$\forall a>0, \forall b\in \mathbb{N} \mbox{ non vuoto}, \exists

n\in\mathbb{N}:na>b\$;\\

Sia \$A\subseteq\mathbb{R}\$; allora \$A\$ ammette minimo.

\begin{teorema}[Densità di \$\mathbb{Q}\$] \$\mathbb{Q}\$ è

\emph{denso} in \$\mathbb{R}\$, ovvero:\\

\$\forall a,b\in\mathbb{R}, a<b, (a,b)_{\mathbb{Q}}\neq\emptyset\$,

dove con \$(a,b)_{\mathbb{Q}}\$ si indica l'insieme

\$\{x\in\mathbb{Q}:a<x<b\}\$.

Sia \$x_0\in A\$; fissato \$\delta>0\$ si dice intorno di \$x_0\$

l'intervallo \$(x_0-\delta, x_0+\delta)\$, la cui ampiezza vale

\$2\cdot\delta\$.

Sia \$A\subset\mathbb{R}\$ e \$x_0\in A\$; \$x_0\$ si dice \emph{punto

interno di \$A\$} se \$\exists\delta>0:(x_0-\delta,

x_0+\delta)\subset A\$, ovvero se \$(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap

A\neq\emptyset\$.

\begin{notazione}[\${\AA}\$, \$\textsf{int} A\$]

Si pone \${\AA}=int A\subset A\$ l'insieme dei punti interni di \$A\$.

Sia \$A\subset\mathbb{R}\$ e \$x_0\in \mathbb{R}\$; \$x_0\$ si dice

\emph{punto di frontiera di \$A\$} se \$\forall\delta>0,(x_0-\delta,

A^c\neq\emptyset\$.

Sia \$A\subset\mathbb{R}\$ e \$x_0\in \mathbb{R}\$; \$x_0\$ si dice

\emph{punto di accumulazione di \$A\$} se

\$\forall\delta>0,(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap

A\setminus\{x\}\neq\emptyset\$, ovvero se \$\forall r>0, \exists

y\in A: y\neq x:y\in(x-r,x+r)\$.

\begin{notazione}[\$\sigma A\$, frontiera di \$A\$]

Si pone \$\sigma A\$ l'insieme dei punti di frontiera di A, e si

Sia \$A\subset\mathbb{R}\$ e \$x_0\in \mathbb{R}\$; \$x_0\$ si dice

\emph{punto isolato di \$A\$} se \$x_0\$ non è punto di accumulazione

per \$A\$, ossia se \$\exists\delta>0:(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap

A\setminus\{x\}=\emptyset\$.

\begin{notazione}[\$\bar{A}\$, chiusura di A]

Si pone \$\bar{A}=A\cup\sigma A\$ l'insieme dei punti interni o di

L'insieme \$A\$ si dice \emph{aperto} se \$A=\AA\$, ovvero se ogni

elemento di \$A\$ è interno, ovvero se \$\forall x_0\in A\$, \$A\$ è

intorno di \$x_0\$, cioè \$\forall x_0\in A, \exists r>0:

(x_0-r,x_0+r)\subset A\$.

L'insieme \$A\$ si dice \emph{chiuso} se \$A^c\$ è aperto, ovvero se

\$A=\bar{A}\$.

\begin{teorema}\$\forall A\subseteq\mathbb{R}\$, l'insieme \$\bar{A}\$

\$\mathbb{R}\$ e \$\emptyset\$.

\begin{definizione}[Relazione] Dati \$A, B\$ insiemi, si definisce

\$\mathcal{R}\subseteq A\times B\$ e si dice che \$\mathcal{R}\$ è una

\emph{immagine di A}). Se \$\langle x,y\rangle\in\mathcal{R}\$

si dice che \$x\$ è \emph{in relazione} con \$y\$ e si scrive \$x\mathcal{R} y\$.\\

Una relazione \$\mathcal{R}\$ può essere:\\

\item [R1, riflessiva] \$\forall x\in A, x\mathcal{R} x\$;\\

\item [R2, simmetrica] \$\forall x\in A, \forall y\in B, x\mathcal{R} y\Leftrightarrow y\mathcal{R} x\$;\\

\item [R2*, antisimmetrica] \$\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} x) \Leftrightarrow x=y\$;\\

\item [R3, riflessiva] \$\forall x\in A, \forall y\in (A\cup B), \forall z\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} z)\Rightarrow (x\mathcal{R} z)\$;\\

Una relazione \$\mathcal{R}\$ soddisfacente le \texttt{R1},

Una relazione \$\mathcal{R}\$ soddisfacente le \texttt{R1},

\item [R4, ordine totale] \$\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\vee (y\mathcal{R} x)\Rightarrow\top\$\\

\begin{osservazione}[Relazione d'ordine totale \$\leq\$]

Si può definire su \$\mathbb{R}\$ la relazione d'ordine totale

\$\leq\$ definendo un insieme \$P\$ (dei numeri positivi o nulli)

\item \$(x\in P)\vee (-x\in P)\Rightarrow\top\$;\\

\item \$(x, y\in P)\Rightarrow (x+y, x\cdot y\in P)\$;\\

e definendo quindi \$x\geq y\Leftrightarrow x-y\in P\$.\\

Da questa relazione si ricavano le altre relazioni d'ordine \$\leq\$

(\$x\leq y\Leftrightarrow y\geq x \$), \$>\$ (strettamente maggiore,

\$x>y\Leftrightarrow (x\geq y)\wedge (x\neq y)\$) e \$<\$

(strettamente nimore, \$x<y\Leftrightarrow (y\geq x)\wedge (x\neq

y)\$).

\begin{definizione}[Funzione 1] Data \$f\$ relazione da A a

B, \$f\$ si dice \emph{funzione} o \emph{applicazione} da A in B sse

\$\forall a\in A, \exists ! b\in B: a f b\$ e si

\$f: A\rightarrow B\$;\\

\$f: a\in A\rightarrow b\in B\$, f(a)=b.\\

Se \$a f b\$ si dice che \$b\$ è immagine di \$a\$ secondo \$f\$ e si

scrive \$b=f(a)\$, o che \$a\$ è controimmagine di \$b\$ secondo \$f\$ e

si scrive \$a=f^{-1}(b)\$.

oggetti: l'insieme \$A\$ detto \emph{dominio}, l'insieme \$B\$ detto

\emph{codominio} e una legge \$f\$ che associ ad ogni elemento di

\$A\$ uno ed un solo elemento di \$B\$.

\begin{definizione}[Iniettività] Una funzione \$f\$ si dice

\emph{iniettiva} sse \$\forall b\in B, \exists !! a\in A: f(a)=b\$,

ovvero se \$\forall a_1, a_2\in A, f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow

a_1=a_2\$, ovvero se \$\forall a_1, a_2 \in A: a_1\neq

a_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)\$.

\begin{definizione}[Suriettività, Surgettività] Una funzione \$f\$ si dice

\emph{suriettiva} o \emph{surgettiva} sse \$\forall b\in B, \exists

a\in A: f(a)=b\$.

\begin{definizione}[Biiniettività, Bigettività, Biunivocità] Una funzione \$f\$ si dice

\emph{biiettiva} o \emph{bigettiva} o \emph{biunivoca} sse \$f\$ è

sia iniettiva che suriettivà, ovvero sse \$\forall b\in B, \exists

! a\in A: f(a)=b\$. Si parla anche di funzione \emph{invertibile},

in quanto si può definire \$f^{-1}\$ tale che \$f\circ f^{-1}=Id_B,

f^{-1}\circ f=Id_A\$, dove con \$Id_A\$ e \$Id_B\$ si intendono le

funzioni identiche definite rispettivemente su \$A\$ e \$B\$, ovvero

\$Id_A: A\rightarrow A, x\rightarrow x\$ e \$Id_B: B\rightarrow B,

x\rightarrow x\$ .

\begin{definizione}[Monotonia] Una funzione \$f: A\rightarrow B\$ si dice

\item [monotòna crescente in senso stretto] \$\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)<f(y)\$;\\

\item [monotòna crescente in senso debole o largo] \$\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\leq f(y)\$;\\

\item [monotòna decrescente in senso stretto] \$\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)>f(y)\$;\\

\item [monotòna decrescente in senso debole o largo] \$\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\geq f(y)\$.\\

Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$, con \$I\$ intervallo; allora \$f\$ è

\begin{notazione}[\$f+g\$, \$f\cdot g\$, \$\frac{f}{g}\$, \$\lambda\cdot f\$,

\$f\circ g\$] Date \$f\$ e \$g\$ due funzioni definite su

dominio \$A\subseteq\mathbb{R}\$ e codominio \$\mathbb{R}\$, si definiscono:\\

\item \$(f+g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)+g(x)\$;\\

\item \$(f\cdot g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)\cdot g(x)\$;\\

\item \$(\frac{f}{g})(x): \{x\in A:g(x)\neq 0\}\Rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow\frac{f(x)}{g(x)}\$;\\

\item \$\forall\lambda\in\mathbb{R}, (\lambda\cdot f)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow \lambda\cdot f(x)\$.\\

Date \$f: A\rightarrow B\$, \$g: B\rightarrow C\$, si definisce:\\

\item \$(g\circ f)(x): A\rightarrow C, x\rightarrow g(f(x))\$,\\

e si dice che la funzione \$g\circ f\$ è la \emph{composizione}

delle funzioni \$g\$ e \$f\$.

\$f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L>0:\forall x,y\in I,

|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|\$, f è detta \emph{Lipschitziana}. Il

minimo \$L\$ che verifica la definizione è detta \emph{costante di

Lipschitz} e \$f\$ si dice \emph{\$L\$-Lipschitziana}.

\$f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L\geq0:\forall x,y\in I,

|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|^\alpha\$, f è detta

\emph{H\"{o}lderiana} di esponente \$\alpha>0\$. Si scrive: \$f\in

C^{0,\alpha}(I)\$.

\$\$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists\delta_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<

\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon \$\$

\$\$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists\delta_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<

\delta_M}^{\exists\mathcal{I}_M(x_0)} \Rightarrow|f(x)>M\$\$

\$\$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists N_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|>

\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon \$\$

\$\$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists N_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|>

\Rightarrow|f(x)|>M \$\$

vale solo per l'intervallo \$(x_0, x_0+\delta) \|(x_0-\delta,

x_0)\|\$, allora si parla di \emph{limite destro \$\|\$sinistro\$\|\$}.

\$\$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\$\$

\$\frac{0}{0}\$\\

\$\frac{\infty}{\infty}\$\\

\$0\cdot\infty\$\\

\$+\infty-\infty\$\\

\$0^0\$\\

\$\infty ^0\$\\

\$1^\infty\$

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\$\$\\

\$\$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\mathcal{P}(n)}{\mathcal{Q}(n)}=

\end{array}\right. \$\$\\

\$\mbox{dove } \mathcal{P}(n)=a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+\cdots+a_1n+a_0\mbox{ e }

\mathcal{Q}(n)=b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+\cdots+b_1n+b_0\$

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin x}{x}=2\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^2}=0\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{x}=1\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}=1\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^x\frac{1}{x}=e\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{1}{\log a}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+\alpha x)}{x}=\alpha\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x -1}{x}=1\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x -1}{x}=\log a\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha, \alpha\in\mathbb{R}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\alpha^x}{x^\beta}=+\infty \mbox{ se }\alpha>1\mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha \log x=0\mbox{ se } \alpha>0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{n}{x})^x=e^n\mbox{ con }n\in\mathbb{R}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log x}{x^\alpha}=0\mbox{ se }\alpha >0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^x}{x^\alpha}=+\infty\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}\$\$

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^p}=+\infty, \forall p\in\mathbb{R}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{a^n}=+\infty, \forall a\in\mathbb{R}^+_0\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n}=0\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Stirling}}\$\$\\

\$\$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Wallis}}\$\$\\

\subsection{Operazioni su \$\pm\infty\$}

\$+\infty+\infty=+\infty\$\\

\$-\infty-\infty=-\infty\$\\

\$\infty\cdot\infty=\infty\$\\

\$\mbox{Sia } \ell\in\mathbb{R}\mbox{.}\$\\

\$\ell+\infty=+\infty\$\\

\$\ell-\infty=-\infty\$\\

\$\ell\cdot\infty=\infty\mbox{ con }\ell\neq 0\$\\

\$\frac{\ell}{\infty}=0\$\\

\$\frac{\infty}{\ell}=0\mbox{ con }\ell\neq 0\$\\

\$+\infty ^\ell=+\infty\mbox{ se }\ell>0\$\\

\$+\infty ^\ell=0\mbox{ se }\ell<0\$\\

\$\ell^{+\infty}=0\mbox{ se }0<\ell<1\$\\

\$\ell^{+\infty}=+\infty\mbox{ se }\ell>1\$\\

\$\ell^{-\infty}=+\infty\mbox{ se }0<\ell<1\$\\

\$\ell^{-\infty}=0\mbox{ se }\ell>1\$

\$\mbox{Siano: }f: A=(a,b)\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},

\mbox{ tali che } \ell,\ell ',\ell _1,\ell _2\in\bar{\mathbb{R}}\mbox{.}\$\\

\begin{teorema}[dell'Unicità del Limite] \$\ell=\ell '\$, ovvero \$\exists\ell\longrightarrow\exists !\ell \$.

\begin{teorema}[della Permanenza del Segno] Sia \$A=(a,b), x_0\in [a,b]\$.

\$ \mbox{Se }\exists\ell\neq 0 \mbox{ allora esiste }\mathcal{I}(x_0)

(escluso al più }x_0\mbox{).}\$ \end{teorema}

\begin{teorema} \$(\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta,

\Leftrightarrow\exists\ell_1 \wedge \ell=\ell_1)\$.\end{teorema}

\begin{teorema}[del Confronto o dei Carabinieri]\$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\},

f(x)\leq g(x)\leq h(x) \wedge\ell =\ell _2\longrightarrow\ell _1=\ell =\ell _2 \$.

\begin{teorema}[del Confronto]\$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}, f(x)\leq g(x)

\wedge\ell=+\infty \|\ell_1=-\infty\|\longrightarrow\ell _1=+\infty\|\ell=-\infty\|\$.

\$g\circ f\$.Se \$\exists \lim_{y\rightarrow \ell}{g(y)}=\ell_1\$ e

\item \$\exists\delta>0:\forall x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)\neq\ell \$;\\

\item \$g(\ell)=\ell_1 \$ (continuità di \$g\$);\\

allora \$\exists\lim_{x\rightarrow x_0}{g\circ f(x)}=\ell_1\$.

Sia \$f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in[a,b]\$. Siano valide le

\item \$f,g\$ derivabili in \$(a,b)\$;\\

\item \$\forall x\in(a,b)\setminus\{x_0\}, g'(x)\neq 0\$;\\

\item \$f(x_0)=g(x_0)=0\$;\\

\item \$\exists\lim_{x\rightarrow

x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}\$.\\

\$\$ \exists\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\$\$\\

Sia \$f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b \in \bar{\mathbb{R}}\$.

\item \$f,g\$ derivabili in \$(a,b)\$;\\

\item \$\forall x\in(a,b), g'(x)\neq 0\$;\\

\item \$\exists\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty; \exists\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=\pm\infty\$;\\

\item \$\exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}\$.\\

\$\$ \exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\$\$\\

Lo stesso risultato vale per \$x\rightarrow b^-\$.

Siano \$\ell=\lim{x\rightarrow x_0}f(x);\ell _1=\lim{x\rightarrow

x_0}g(x);\ell _2=\lim{x\rightarrow x_0}h(x)\$ tali che

\$\ell,\ell _1,\ell _2\in\mathbb{R}\$.\\

Siano: \$\alpha,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\$; \$a

\in\mathbb{R}_0^+\setminus\{1\}\$; \$b\in\mathbb{R}_0^+;

n\in \mathbb{N}\$.\\

Sia: \$x_0=\alpha\in\mathbb{R}\$ oppure \$x_0=\pm\infty\$. Allora:\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\ell +\ell _1 \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}[\lambda\codt f(x)+\mu\cdot g(x)]=\lambda\cdot\ell+\mu\cdot\ell _1 \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^n=\ell ^n \mbox{ con }\ell>0 \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\ell}\Leftrightarrow \ell\neq 0 \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell}{\ell _1}\Leftrightarrow \ell _1\neq 0 \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}|f(x)|=|\ell | \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}\log_{a}f(x)=\log_{a}\ell \$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}b^f(x)=b^\ell\$\\

\item \$\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^{g(x)}=\ell ^{\ell_1}\$ con \$\ell>0\$\\

\begin{teorema}Sia \$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b

\in\bar{\mathbb{R}}, a<b,\$ una funzione monotòna crescente \$\|\$

decrescente\$\|\$, \$s_0\in(a,b)\$; allora:\\

\$\$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^-}{f(x)}=\textsf{sup}\{f(y):y<x_0\}\|=\textsf{inf}\{f(y):y<x_0\}\|=\\

\textsf{sup} f((a,x_0))\|=\textsf{inf} f((a,x_0))\|\$\$

\$\$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^+}{f(x)}=\textsf{inf}\{f(y):y>x_0\}\|=\textsf{sup}\{f(y):y>x_0\}\|=\\

\textsf{inf} f((x_0,b))\|=\textsf{sup} f((x_0,b))\|\$\$ Se

\$x_0\in\sigma (a,b)\$, allora il teorema è vero per l'unico limite

\begin{definizione}[Infinitesimo] Sia \$x_0\in\bar{\mathbb{R}}\$,

siano \$f, g\$ due funzioni definite in un intorno di \$x_0\$ escluso

al più \$x_0\$ tali che \$\lim_{x\rightarrow

x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=0\$. Si dice che \$f\$ è

\emph{infinitesima di ordine superiore a \$g\$ per \$x\rightarrow

x_0\$} o che \$f\$ è un \emph{"o" piccolo} di \$g\$ per

\$x\rightarrow x_0\$ e si scrive \$f=o(g,x_0)\$ o semplicemente \$f=o(g)\$ se:\\

\$\$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \$\$

\begin{notazione}[Funzioni Infinitesime] Funzioni che hanno limite uguale a \$0\$ per \$x\rightarrow

x_0\$ si dicono \emph{infinitesime} e si indicano con

\$o(1,x_0)\$.\end{notazione}

\begin{definizione}[Infinitesimi di ordine \$\alpha\$] Sia \$\lim_{x\rightarrow

x_0}f(x)=0\$; se \$\exists\alpha>0:\lim_{x\rightarrow

x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\$,

si dice che \$f\$ è un \emph{infinitesimo di ordine \$\alpha\$ per

\$x\rightarrow x_0\$} e che la sua \emph{parte principale} è

\$(x-x_0)^\alpha\$. Analogamente per limite sx e per limite dx.

\begin{osservazione}[Proprietà "o" piccoli] Se \$f_1=o(g,x_0),

f_2=o(g,x_0)\$, allora:\\

\item [1] \$f_1+f_2=o(g,x)\$;\\

\item [2] \$\forall k\in\mathbb{R}, kf=o(kg,x_0)=o(g,x_0)\$.\\

Se \$f_1=o(g_1,x_0), f_2=o(g_2,x_0)\$, allora:\\

\item [3] \$\frac{f_1+g_1}{f_2+g_2}=\frac{g_1}{g_2}\$ in un intorno di \$x_0\$, cioè esiste un limite

\item [4] \$\forall x,l>0, x^k=o(x^l,x_0)=o(x^{l+k},x_o)\$;\\

\item [5] \$f_1\cdot f_2=o(g_1\cdot g_2,x_0)\$;\\

inoltre, se \$f=o(g,x_0), g=0o(h,x_0)\$, allora:\\

\item [6] \$f=o(h,x_0)\$;\\

Sia \$x_0\in\mathbb{R}, f\$ continua in \$x_0\$ e invertibile in un

intorno di \$x_0\$ tale che \$f(x)=f(x_0)+a\cdot

(x-x_0)+o(x-x_o,x_0), a\neq 0\$. Allora

\$f^{-1}(y)=x_0+\frac{1}{a}\cdot (y-y_0)+o(y-y_0,y_0)\$ dove

\$y_0=f(x_0)\$.

Siano \$f,g\$ definite in un intorno di

\$x_0\in\bar{\mathbb{R}}:f,g\neq 0\$ in tale intorno ad eccezione al

più di \$x_0\$. Si dice che \$f\$ è \emph{asintotica} a \$g\$ per

\$x\rightarrow x_0\$ se \$\exists\lim_{x\rightarrow

x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\$ e si indica

con \$f\sim g\$.

\item [1] \$f\sim g\Leftrightarrowg\sim f\$\\

\item [2] \$f\sim g \wedge g\sim h\Rightarrow f\sim h\$\\

\$f\sim g\Rightarrow (\exists\lim_{x\rightarrow

x_0}f(x)\Leftrightarrow\exists\lim_{x\rightarrow x_0}g(x))\$.

\$y=f(x) \mbox{ si dice \emph{continua} in }x_0\mbox{ se }\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\mbox{ o,}\\

x,|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\$

Siano \$f, g\$ continue in \$x_0\$, \$\lambda\in\mathbb{R}\$. Allora

\$f+g,f\cdot g,\lambda\cdot f\$ sono continue in \$x_0\$.\\

Se è definita \$g\circ f\$, anch'essa è continua in \$x_0\$.\\

Se è definita \$f^{-1}\$, anch'essa è continua in \$x_0\$.

\begin{teorema} Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, allora se }f(x_0)>0,\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta,

x_0+\delta)\$ in cui f(x)>0.\end{teorema}

\begin{teorema}[di Weierstrass] Ogni funzione continua in un intervallo chiuso \$[a,b]\$ con

\$a,b\in\mathbb{R}\$ è dotata di massimo e minimo assoluti nell'intervallo, ovvero:\\

\$\$f([a,b])=[\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x),\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)]\$\$

e in particolare \$\exists c_1, c_2\in [a,b]:\$\\

\$\$f(c_1)=\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x), f(c_2)=\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)\$\$

\begin{teorema}[dei Valori Intermed\^i] Una funzione continua in un intervallo \$I\$ assume nell'intervallo tutti i

valori compresi tra il minimo \$m\$ e il massimo \$M\$, ovvero, dati \$x,y:f(x)<f(y), \lambda\in\mathbb{R}:f(x)<\lambda<f(y)\$,

allora \$\forall\lambda, \exists z\in I:f(z)=\lambda\$.\\

segno opposto in due punti \$x-1\$ e \$x_2\$ dell'intervallo, allora

esiste almeno un punto interno all'intervallo \$]x_1,x_2[\$ in cui

\$f(x)=0\$, ovvero, data \$f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}\$, continua in \$[a,b]\$, \$a,b\in\mathbb{R},a<b:f(a)\cdot f(b)<0\$, allora

\$\exists c\in(a,b):f(c)=0\$.\\

Sia \$I\$ intervallo con \$x_0\$ punto interno di \$I\$; si dice

\emph{rapporto incrementale} in \$x_0\$ la funzione:\\

\$\$R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\$\$

definita in \$I\setminus\{0\}\$.

\$f\$ è derivabile in \$x_0\$ se \$\exists\lim{x\rightarrow

x_0}R_{x_0}f(x)\in\mathbb{R}\$ e si denota con:\\

\$\$f'(x)=D[f(x)]=\frac{df}{dx}=\dot{f}(x)=\lim_{h\rightarrow

0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\rightarrow x_0}R_{x_0}f(x).\$\$\\

Se \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ è derivabile in \$x_0\$, allora \$f\$ è

continua in \$x_0\$, ma non viceversa.

\$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}0f')x_0)+o(1,x_0)\$\\

\$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+(x-x_0)\cdot o(1,x_0)\$\\

\$\$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)\$\$

Sia \$f_I\rightarrow\mathbb{R}, x_0\$ punto interno di \$I\$; \$f\$ si

dice \emph{differenziabile} in \$x_0\$ se \$\forall x\in I, \exists

L>0:f(x)=f(x_=)+L\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)\$.

\begin{definizione}[Derivata Seconda, \$k\$-esima]

\$f''(x_0)=\frac{d^2}{dx^2}=\dot{\dot{f}}(x)=\frac{d}{dx}f'(x)\$.

\$f^{(k)}(x_0)=\frac{d^k}{dx^k}=\frac{d}{dx}f^{(k-1)}\$.

\begin{notazione}[Classe \$C^k\$]

\$f\in C^k, k\in\mathbb{N}, k\geq 1\$ sta ad indicare che \$f\$ è

derivabile \$k\$ volte in \$I\$ con derivate continue in \$I\$ (in

particolare, è continua \$f^{(k)}\$.\\

In particolare, \$C^0(I)=C(I)\$ denota lo spazio vettoriale delle

funzioni continue in \$I\$; \$C^{+\infty}(I)\$ denota l'insieme delle

funzioni che ammettono derivate di ogni ordine in \$I\$ e tali che

\$\forall k, \frac{d^k}{dx^k}f\in C(I)\$.

I polinom\^{i} appartengono a \$C{+\infty}(\mathbb{R})\$ con la

proprietà \$\frac{d^k}{dx^k}P=0 \mbox{ se } k>\textsf{deg}P\$.\\

\$e^x\in C^{+\infty}(\mathbb{R})\$.

La funzione \$f:I\rightarrow \mathbb{R}\$ è differenziabile in \$x_0\$

punto interno di \$I\$ sse è derivabile in \$x_0\$ e in tal caso

\$L=f'(x)\$.

Siano \$f,g: I\rightarrow\mathbb{R}, x_0\$ punto interno di \$I\$,

\$f\equiv g\$ in un intorno di \$x_0\$; allora \$f\$ è derivabile in

\$x_0\$ sse lo è \$g\$ e in tal caso \$f'(x_0)=g'(x_0)\$.

Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ derivabile in \$x_0\$ e debolmente

crescente \$\|\$decrescente\$\|\$ in un intorno di \$x_0\$. Allora

\$f'(x_0)\geq 0 \|\leq 0\|\$.

\begin{definizione}[Punto di Massimo \$\|\$Minimo\$\|\$

relativo debole (locale)] Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$

derivabile in \$x_0\in I\$; \$x_0\$ si dice \emph{punto di massimo

\$\|\$minimo\$\|\$ relativo debole (locale)} di \$f\$ se \$\forall x\in

\|\geq f(x_0)\|\$.

\begin{definizione}[Punto di Massimo \$\|\$Minimo\$\|\$ relativo

forte (stretto)] Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ derivabile in

\$x_0\in I\$; \$x_0\$ si dice \emph{punto di massimo \$\|\$minimo\$\|\$

relativo forte (stretto)} di \$f\$ se \$\forall x\in I\cap

f(x_0)\|\$.

\begin{definizione}[Punto di Massimo \$\|\$Minimo\$\|\$ assoluto]

\$x_0\$ di dice \emph{punto di massimo \$\|\$minimo\$\|\$ assoluto} di

\$f\$ se \$\forall x\in I, f(x)\leq \|\geq\| f(x_0)\$.

Se \$x_0\$ è tale che \$f'(x_o)\$ allora \$x_0\$ è detto \emph{punto

stazionario} di \$f\$.

Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ derivabile in \$x_0\$, sia \$x_0\in I\$

estremo relativo, allora \$f'(x_0)=0\$.

Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ continua in \$I\$ e derivabile nei

punti interni di \$I\$, con derivata prima positiva (strettamente

positiva, negativa, strett. negativa) in tali punti. Allora \$f\$ è

Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ continua in \$I\$ e derivabile nei

punti interni di \$I\$, con derivata prima nulla in tali punti.

Allora \$f\$ è costante in tale intervallo.

Se \$\exists\delta>0:f'(x)\leq 0 (\geq) \mbox{ in }

x_0+\delta)\$ allora \$x_0\$ è un punto di minimo (massimo) relativo

di \$f\$. Se le disuguaglianze valgono con i segni forti, allora

\$x_0\$ è punto di minimo (massimo) relativo stretto.

Sia \$f:I\rightarrow\mathbb{R}\in C^2, f'(x_0)=0, f''(x_0)>0 (<),

x_0\$ punto interno di \$I\$. Allora \$x_0\$ è punto di minimo

(massimo) relativo forte di \$f\$, e viceversa condizione necessaria

affinchè \$x_0\$ sia punto di minimo (massimo) relativo forte è che

\$f''(x_0)\geq (\leq) 0\$.

\$f:I\rightarrow\mathbb{R}\$ si dice \emph{convessa} se:\\

\$\forall x_0,x_1\in I: x_0<x_1, \forall t\in[0,1], f(t\cdot

x_0+(1-t)\cdot x_1)\leq t\cdot f(x_0)+(1-t)\cdot f(x_1)\$.

\$f\$ si dice \emph{concava} se \$-f\$ è convessa.

Sia \$f\$ convessa in \$I\$; allora:\\

\$\forall x>x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_+(x_0)\cdot (x-x_0)\$;\\

\$\forall x<x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_-(x_0)\cdot (x-x_0)\$.

\$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}\$, \$x:0\$ punto interno di \$I: f\$

convessa (concava): in \$(a,x_0)\$ e concava (convessa) in

\$(x_0,b)\$. \$x_0\$ si dice \emph{punto di flesso} per \$f\$. \$x_0\$ si

dice \emph{flesso ascendente (discendente)} se \$f\$ è localmente

crescente (decrescente) in un intorno di \$x_0\$.

\$f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}\$ ha \emph{asintoto obliquo} a

\$+\infty\$ se \$\lim_{x\rightarrow +\infty}=\pm\infty\$ e:\\

\$\$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\$\$;\\

\$\$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-a\cdot x=b\in\mathbb{R}\$\$.\\

In questo caso l'asintoto obliquo è \$y:a\cdot x+b\$.

\$f,g\$ convesse in \$I\Rightarrow f+g\$ convessa in \$I\$.

\begin{teorema}[di Rolle] Sia \$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\$ continua in \$[a,b]\$ e derivabile su \$(a,b)\$

e sia \$f(a)=f(b)\$; allora \$\exists x_0\in (a,b)\$ t.c.

\$f'(x_0)=0\$.\\

\begin{teorema}[di Lagrange o del Valor Medio] Sia \$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\$ continua in \$[a,b]\$

e derivabile in \$(a,b)\$; allora \$\exists x_0\in]a,b[\$

t.c. \$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_0)\$.\\

\begin{teorema}[di Cauchy] Siano \$f(x)\$ e \$g(x)\$ due funzioni continue su

\$[a,b]\$ e derivabili su \$]a,b[\$ e sia \$g'(x)\neq 0\forall x\in[a,b]\$;

allora \$\exists x_0\in]a,b[\$ t.c. \$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\$.\\

Sia \$f: I\rightarrow\mathbb{R}\$ convessa; siano \$x_0, x_1\in I:

x_0<x_1\$. Allora \$\forall x\in [x_0,x_1], f(x)\leq

\forall x\not\in[x_0,x_1], f(x)\geq r_{x_0x_1}(x)\$.

Siano \$f: I\rightarrow\mathbb{R}\$ convessa in \$I\$, \$r\$ una retta;

Se \$\exists x_0<x_1<x_2\in I:f(x_j)=r(x_j), j=0,1,2\$ allora

\$\forall x\in[x_0,x_2], f(x)=r(x)\$.

Sia \$f: I\rightarrow\mathbb{R}\$, sia \$x_0\in I\$. Sia:\\

\$R_{x_0}f:I\setminus\{x_0\}\rightarrow\mathbb{R},\\

R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\$,\\

allora \$f\$ è convessa in \$I\$ sse \$R_{x_0}f\$ è crescente in

\$I\setminus\{x_0\}\$. Eventualmente, si considera l'unico rapporto

Sia \$f\$ convessa in \$I\$; allora è continua in tutti i punti

interni di \$I\$ in quanto \$\exists\lim R_{x_0}f(x)\$.

Sia \$f: (a,b)\rightarrow\mathbb{R}\$ derivabile in \$(a,b)\$; \$f\$ è

convessa (concava) in \$(a,b)\$ sse \$f'\$ è crescente (decrescente)

in \$(a,b)\$, è strettamente convessa (concava) se \$f'\$ è str.

\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivate} a pag.\pageref{tab:Derivate}

\$f(x) \$ & \$f'(x) \$\\

\$k \$ & \$0 \$\\

\$x^n \$ & \$nx^{n-1} \$\\

\$\sin x \$ & \$\cos x \$\\

\$\cos x \$ & \$-\sin x \$\\

\$\tan x \$ & \$1+\tan ^2 x \$\\

\$\tan x \$ & \$\frac{1}{\cos ^2 x} \$\\

\$\cot x \$ & \$-1-\cot ^2 x \$\\

\$\cot x \$ & \$-\frac{1}{\sin ^2 x} \$\\

\$e^x \$ & \$e^x \$\\

\$a^x \$ & \$a^x \log a \$\\

\$\log x \$ & \$\frac{1}{x}\$\\

\$\log_{a} x \$ & \$\frac{log_{a}e}{x}\$\\

\$\arcsin x \$ & \$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \$\\

\$\arccos x \$ & \$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \$\\

\$\arctan x \$ & \$\frac{1}{1+x^2} \$\\

\$\textsf{arccot} x \$ & \$-\frac{1}{1+x^2} \$

Siano \$f,g:I\rightarrow\mathbb{R}\$ derivabili in \$x_0\$, \$x_0\$

punto interno di \$I\$, \$\lambda\in\mathbb{R}\$; allora valgono i

\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivazione} a

\$y=f(x)\pm g(x) \$ & \$y'=f'(x)\pm g'(x) \$\\

\$y=k\cdot f(x) \$ & \$y'=k\cdot f'(x) \$\\

\$y=f(x)\cdot g(x) \$ & \$y'=f'(x)\cdot g(x)+f(cx)\cdot g'(x) \$\\

\$y=\frac{f(x)}{g(x)} \$ & \$y'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(cx)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \$\\

\$y=f(g(h(x))) \$ & \$y'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) \$\\

\$y=[f(x)]^{g(x)} \$ & \$y'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\cdot\log f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}] \$

I polinom\^{i} sono derivabili in \$\mathbb{R}\$ e la derivata di un

polinomio di grado \$n\$ è un polinomio di grado \$n-1\$.

Sia \$f\$ strettamente monotòna definita in \$I\$ e ivi continua,

derivabile in \$x_0\$ punto interno di \$I\$ tale che \$f'(x_0)\neq 0\$,

allora \$f\$ è invertibile e la sua inversa è derivabile in

\$f(x_0)\$. Inoltre:\\

\$(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}\$\\

\$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\$

\$\int f(x)\, dx=F(x)+c \Leftrightarrow F'(x)=f(x) \$\\

\$F(x)\$ si dice \emph{primitiva} di \$f(x)\$.

\$\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a) \$

Si dice \emph{partizione} di \$[a,b]\$ ogni insieme di punti

\$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b\$. Data \$\delta\$ partizione di \$[a,b]\$, si

\$\$[a,b]=\bigcup_{j=0}^{n-1}[t_j,t_{j+1}]\$\$

\$\$s(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{inf}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}\$\$

\$\$S(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}\$\$

\$f\$ è \emph{integrabile} se esiste unico l'elemento separatore tra

\$s(f)\$ e \$S(f)\$ ovvero se \$\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)\$.

Tale elemento separatore si dice \emph{integrale} di \$f\$ in

\$[a,b]\$ e si scrive:\\

\$\$\int_a^bf(x)\,dx=\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)\$\$

ovvero \$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\$ limitata è integrabile in

\$[a,b]\$ se \$\forall\varepsilon>0, \exists\delta:

S(f,\delta)-s(f,\delta)\leq\varepsilon\$.

\$f\$ monotòna è integrabile.\\

\$f\$ continua è integrabile.\\

Lo spazio \$\mathcal{R}\$ delle funzioni integrabili è vettoriale e

l'applicazione \$\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R},

f\rightarrow\int_1^b f(t)\,dt\$ è lineare.

\$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\$\\

\$\int_a^a f(x)\,dx=0\$

\$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\$ R-integrabile in \$[a,b]\$,

\$c\in[a,b]\$ fissato; la funzione \$F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\$

\$\$F(x)=\int_c^xf(t)\,dt\$\$

si dice \emph{funzione integrale} di \$f\$.

\$\stackrel{inf}{[a,b]}f\leq\frac{1}{b-a}\cdot \int_a^bf(x)\,dx\leq\stackrel{sup}{[a,b]}f\$\\

\$\$ \exists c\in [a,b]\mbox{ t.c. } f(c)=\frac{\int_a^b f(x)\, dx}{b-a}\$\$\\

\$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\$ R-integrabile in \$[a,b]\$; allora:\\

\item \$\forall c\in[a,b], F(x)=\int_c^xf(t)\,dt\$ è

lipschitziana e \$|F(x)-F(y)|\leq\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[a,b]}|f(t)|\cdot |y-x|\$;\\

\item se \$f\$ è continua in \$x_0\in(a,b)\$, allora \$F\$ è derivabile

in \$x_0\$ e \$F'(x_0)=f(x_0)\$;\\

\item se \$f\$ è continua in \$a\$ (\$b\$), allora \$F\$ è derivabile a dx

(sx) in \$a\$ (\$b\$) e \$F'_+(a)=f(a) (F'_-(b)=f(b))\$;\\

\item \$\forall \alpha,\beta\in[a,b]: \alpha\leq\beta,

\int_\alpha^\beta f(x)\,dx=F(\beta)-F(\alpha)\$\\

\$\$\int x^n \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\mbox{ con } n\neq -1 \$\$\\

\$\$\int \frac{1}{x}\, dx=\log |x|+c \$\$\\

\$\$\int\sin x\, dx=-\cos x +c \$\$\\

\$\$\int\cos x\, dx=\sin x +c \$\$\\

\$\$\int\frac{1}{\cos ^2 x}\, dx=\tan x +c \$\$\\

\$\$\int (1+\tan ^2 x) \, dx=\tan x +c \$\$\\

\$\$\int\frac{1}{\sin ^2 x}\, dx=-\cot x +c \$\$\\

\$\$\int (1+\cot ^2 x) \, dx=-\tan x +c \$\$\\

\$\$\int e^x\, dx=e^x +c \$\$\\

\$\$\int a^x\, dx=a^x\cdot log_a e +c \$\$\\

\$\$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c \$\$\\

\$\$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x +c \$\$

\item [1a] \$\displaystyle \int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot \int f(x)\, dx\$\\

\item [1b] \$\displaystyle \int [f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)]\,

dx=\int f_1(x)\, dx+\int f_2(x)\, dx+\cdots +\int f_n(x)\, dx\$\\

\item [2, monotonia] \$\forall x\in [a,b], f(x)\leq

g(x)\Rightarrow\int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b g(x)\,dx\$\\

\item [2bis] \$\forall x\in [a,b], g(x)\geq 0\Rightarrow\int_a^b

g(x)\,dx\geq 0\$\\

\item [3, spezzamento] \$\int_a^b

f(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx\$\\

\$\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+c \$\\

\$\displaystyle \int\sqrt{a^2+x^2}\, dx=\frac{x}{2}\cdot \log (x+\sqrt{a^2+x^2})+\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^2+x^2}+c \$\\

\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{a^2+x^2}|+c \$\\

\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx=\arcsin\frac{x}{a}+c \$\\

\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+c \$\\

\$\displaystyle \int\frac{1}{x^2-a^2}\, dx=\frac{1}{2a}\cdot\log |\frac{x-a}{x+a}|+c \$\\

\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+px+q}}\, dx=\log |x+\frac{p}{2}+\sqrt{(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}}|+c \$\\

\$\displaystyle \int\cos \alpha x\cos \beta x\, dx=\frac{\sin (\alpha+\beta)x}{2(\alpha+\beta)}

+\frac{\sin (\alpha-\beta)x}{2(\alpha-\beta)}+c \$\\

\$\displaystyle \int e^x\cdot \sin x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c\$\\

\$\displaystyle \int e^x\cdot \cos x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c\$

\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\sin ^{2n}x\, dx=\frac{1}{2n}[-\sin^{2n-1}x\cos x+(2n-1)\mathcal{I}_{n-1}]

\mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=-\frac{1}{2}\sin x \cos x+\frac{1}{2}x+c \$\\

\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\log ^{n}x\, dx=x\log^n x-n\cdot\mathcal{I}_{n-1}

\mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=x\log x-x+c \$\\

\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int x^n\cdot e^x\, dx=x^n\cdot e^x-n\cdot \mathcal{I}_{n-1}

\mbox{ con }\mathcal{I}_0=e^x+c; \mathcal{I}_1=xe^x-x+c\$\\

\$\displaystyle \mathcal{I}_{n+1}=\int\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \,

\mathcal{I}_1=\frac{x}{2(1+x^2)}+frac{1}{2}\arctan x+c \$

\$\displaystyle \int\sin^{2k+1}x\, dx=\int\sin^{2k}x\cdot\sin x\, dx=-\int(1-\cos^2 x)^k\, d\cos x \$\\

\$\displaystyle \int\sin^{2k}x\, dx=\frac{1}{2}\int(\frac{1-\cos 2x}{2})^k\, d2x\$

\$\$\mathcal{I}=\int\frac{P_1(x)}{P_2(x)}\, dx=\int Q(x)\,

dx+\int\frac{R(x)}{P_2(x)}\, dx \mbox{ dove vale }P_1(x)=\$\$

\$\$P_2(x)\cdot Q(x)+R(x)\mbox{ ed è } \varrho R(x)<\varrho P_2(x)\$\$

Considerato il caso in cui \$\varrho P_2(x)=2\$ e quindi \$\varrho

R(x)=0\vee 1\$, essendo \$P_2(x)=ax^2+bx+c\$ con \$a,b,c\$ costanti

assegnate, dette \$\alpha_1,\alpha_2\$ le radici di \$P_2(x)=0\$,

definito \$\Delta=b^2-4ac\$, considerati \$A\$ e \$B\$ costanti in

\$\mathbb{R}\$, si hanno i seguenti tre casi, a seconda del segno di

\$\Delta\$:

\item \$\Delta P_2(x)>0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha_1}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{x-\alpha_2}\, dx=

\frac{A}{a}\log |x-\alpha_1|+\frac{B}{a}\log |x-\alpha_2|+c\$\\

\item \$\Delta P_2(x)=0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{(x-\alpha)^2}\, dx=

\frac{1}{a} A\log |x-\alpha|-\frac{A\alpha +B}{a(x-\alpha)}+c\$\\

\item \$\Delta P_2(x)<0\longrightarrow

\mathcal{I}=\int\frac{gx+h}{ax^2+bx+c}\,dx=\$

\$=gs\int\frac{d(ax^2+bx+c)}{x^2+bx+c}+

ht\int\frac{dx}{(kx+j)^2+1}=\$

\$=gs\log|ax^2+bx+c|+ht\arctan(kx+j)+c\$

\$\mbox{{\bfseries Integrazione per Sostituzione}: }x=g(t)\longrightarrow \int f(x)\, dx=\int f(g(t))\cdot g'(t)\, dt\$\\

\$\mbox{{\bfseries Integrazione per Parti}: }\int f'(x)g(x)\,

dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\, dx\$

Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di \$ n \$ rettangoli la cui base tende a \$ 0 \$ tendendo l'errore

\$ e \$ a \$ 0 \$ e la cui altezza è pari al valore della funzione all'estremo sinistro o destro della base.\\

\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{n}\cdot [f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})] \$\\

\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^2}{2n}\cdot M \mbox{ con }|f'(x)|\leq M \$\\

Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di \$ n \$ trapezi la cui altezza tende a \$ 0 \$ tendendo l'errore

\$ e \$ a \$ 0 \$ e le cui basi sono i valori della funzione all'estremo destro e sinistro della base.\\

\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{2n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+2\cdot[f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})]] \$\\

\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^3}{12n^2}\cdot M \mbox{ con }|f''(x)|\leq M \$\\

\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{3n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+4\cdot [f(x_1)+f(x_3)+\cdots ]+2\cdot [f(x_2)+f(x_4)+\cdots]] \$\\

\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}\cdot M \mbox{ con }|f^{iv}(x)|\leq M \$

\$\displaystyle \ell=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx \$\\

\$\displaystyle

\$\\

\$\displaystyle \mathcal{V}=\pi\cdot\int_a^b[f(x)]^2\, dx \$\\

Il volume di un solido generato da una superficie piana \$\mathcal{S}\$ che compie una rotazione

completa intorno ad una retta del suo piano che non l'attraversa è dato dal prodotto dell'area di \$\mathcal{S}\$ per la lunghezza

della circonferenza descritta dal baricentro di \$\mathcal{S}\$. \end{teorema}\\

\begin{teorema}[Regola di Archimede] L'area di un segmento parabolico è i \$\frac{2}{3}\$ dell'area del rettangolo in cui è inscritto.

\$\$S_{laterale}=2\cdot\pi\int_a^b f(x)\cdot\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx\$\$

\$n\in\mathbb{N},\delta P=\delta

P\equiv Q\$

\$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b)\$,

\$f\$ derivabile \$n-1\$ volte in \$(a,b)\$ e \$n\$ volte in \$x_0\$.

Allora la seguente è una approssimazione di \$f\$:\\

\$\$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot

(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n,x_0)\$\$\\

e si dice \emph{polinomio di Taylor} di grado \$n\$ centrato in

\$x_0\$ il seguente:\\

\$\$P_{n,x_0}f=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot

(x-x_0)^k\$\$\\

Per \$x_0=0\$ si ha il \emph{polinomio di Mac Laurin}.

Sia \$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b), f\$ derivabile

\$n+1\$ volte in \$x_0\$; allora \$\exists c=c(x)\in(\textsf{min}

\{x_0,x\}, \textsf{max}\{x_0,x\}):\$\\

\$\$f(x)=P_{n,x_0}f(x)+\frac{f^{(n+1)}(c(x))}{(n+1)!}\cdot

(x-x_0)^{n+1}\$\$

\$f:I\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in I, f\in C^n(I)\$:

\$\$f(x)-P^{x_0}_{n}f(x)=\frac{1}{n!}\cdot\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)(t)\cdot(x-t)^{n}\,dt}\$\$

\$\$

\$\$

\$\$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n,0)\$\$

\$\$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}{n}+o(x^n,0)\$\$

\$\$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)\$\$

\$\$\tan x=P_{6,0}\tan+o(x^6,0)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)\$\$

\$\$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots+

\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$\arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\cdots-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}

\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$\cosh x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)\$\$

\$\$\tanh x=P_{6,0}\tanh+o(x^6,0)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)\$\$

\$\$\textsf{arcsinh} x=x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+

\cdots+(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$\textsf{arctanh} x=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+

\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)\$\$

\$\$(1+x)^\alpha=1+\alpha\cdot x+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2}\cdot x^2+\cdots+

\frac{\alpha !}{(\alpha-n)!\cdot n!}\cdot x^n+o(x^n,0)\$\$

\$\$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^n\cdot x^n+o(x^n,0)\$\$

\item Asintoto Verticale: \$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty \$;\\

\item Asintoto Orizzontale: \$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\ell\$: \$\varrho den=\varrho num\$;\\

\item Asintoto Obliquo: \$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty\$: \$\varrho den=\varrho num-1\$:\\

\$m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x} \$\\

\$n=\lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-mx] \$\\

\$A.Ob.: y=mx+n\$\\

\item Derivata Prima: Crescenza\$^+ \$/decrescenza\$^- \$; Punti di Massimo e Minimo Relativi\$^0 \$;\\

\item Derivata Seconda: Concavità verso l'alto\$^+ \$/basso\$^- \$; Punti di Flesso\$^0 \$.

\begin{metodo2}[di Bisezione o Dicotomico] Sia \$ f(x) \$ una funzione continua in \$ [a,b] \$ t.c. \$ f(a)\cdot f(b)<0 \$.

Allora \$ f(x) \$ si annulla in almeno un punto \$ x_0\in ]a,b[ \$ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).

Considerato il nuovo punto \$ f(\frac{a+b}{2}) \$, la radice si troverà tra

\$ ]a,\frac{a+b}{2}[[\Leftrightarrow f(a)\cdot\frac{a+b}{2}<0 \$, oppure tra

\$ ]\frac{a+b}{2},b[[\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\cdot f(b)<0 \$.

\begin{metodo2}[della Secante] Sia \$ f(x) \$ una funzione continua in \$ [a,b] \$ t.c. \$ f(a)\cdot f(b)<0 \$.

Allora \$ f(x) \$ si annulla in almeno un punto \$ x_0\in ]a,b[ \$ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).

Per determinare questo valore, si consideri la retta passante per i due punti \$ (a, f(a)) \$ e \$ (b, f(b)) \$; questa retta

intersecherà l'asse \$ x: y=0 \$ in un punto \$ c \$ a cui corrisponderà \$ f(c) \$. La radice si troverà tra

\$ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 \$, oppure tra

\$ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 \$.

\begin{metodo2}[della Tangenteo di Newton] Sia \$ f(x) \$ una funzione continua in \$ [a,b] \$ t.c. \$ f(a)\cdot f(b)<0 \$.

Allora \$ f(x) \$ si annulla in almeno un punto \$ x_0\in ]a,b[ \$ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).

Per determinare questo valore, si consideri la retta tangente alla curva in \$ (a, f(a)) \$ o \$ (b, f(b)) \$ e t.c. intersechi l'asse

\$ x: y=0 \$ in un punto \$ c\in ]a,b[ \$ a cui corrisponderà \$ f(c) \$. La radice si troverà tra

\$ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 \$, oppure tra

\$ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 \$.

\$\$ n!=1\cdot 2\cdot\, \cdots\, \cdot (n-1)\cdot n=\prod_{i=1}^{n}i \$\$

\$\$\left\{

\right.\$\$

\$\$

{n \choose k}= \frac{n\, !}{(n-k)\,!\: k\, !} \$\$

\$\${n \choose k} = {n \choose n-k}\$\$

\$\${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}\$\$

\$ \mathcal{P}_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}\$

\$ \mathcal{C}'_{n,k}= {n+k-1 \choose k}\$

\$\mathcal{P}_{n}=n!\$\\

\$\mathcal{D}'_{n}^{k_1,k_2,\cdots ,k_n}=\frac{n!}{k_1!\cdot

k_2!\cdot\,\cdots\,\cdot k_n!}\$

\$\mathcal{D}_{n,k}=\mathcal{C}_{n,k}\cdot\mathcal{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}\$\\

\$\mathcal{D}'_{n,k}=n^k\$

\item {\bfseries Definizione Classica (Laplace)}: per casi \emph{equiprobabili} è \$p=\frac{f}{n}\$;\\

\$\displaystyle p=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f}{n}\$;\\

\item \$p(\emptyset)=0\$\\

\item \$p(\Omega)=1\$\\

\item \$0\leq f\leq n\rightarrow 0\leq \frac{f}{n}\leq 1\rightarrow0\leq p\leq 1\$\\

\item \$p(A^c)=p(\bar{A})=1-p(A)\$

\$p(A\setminus B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}\$

\item Per eventi \emph{incompatibili} (tali cioè che \$A\cap B=\O\$): \$p(A\cup B)=p(A)+p(B)\$.\\

\item Per eventi \emph{compatibili} (tali cioè che \$A\cap B\neq\O\$): \$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)\$.

\item Per eventi \emph{stocasticamente indipendenti} (tali cioè che \$p(A)=p(A\setminus B\$): \$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)\$.\\

\item Per eventi \emph{stocasticamente dipendenti} (tali cioè che \$p(A)\neq p(A\setminus B\$): \$p(A\cup B)=p(A)\cdot p(B\setminus A)\$.

\$\$p(H_i\setminus E)=\frac{p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)}{\displaystyle \sum^n_1 p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)} \$\$

\$\$p_{n,k}={n \choose k}

\$\$

\$\displaystyle

\mathcal{M}(X)=\sum_1^n x_i p_i\$

Ogni intero positivo \$N\$ si pu\`o scrivere nella forma\\

\$N = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0\$,

dove \$0\leq a_i < b\$ per ogni \$i = 1,\ldots,n\$.

Ogni numero reale \$R\$ si pu\`o scrivere nella forma\\

\$\displaystyle R = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0+\sum_{i=1}^{\infty} a_{-i}b^{-i}\$,

dove \$0\leq a_i < b\$ per ogni \$i\leq n\$, positivo, negativo, o nullo.

intero x tale che \$c = b\cdot x\$.

\$b|c\$

Siano a e b due interi, con \$a\neq 0\$. Allora esistono due interi q ed r tali che

\$b=aq+r,\$\\

\$0\leq r < |a|\$.

Un numero primo \`e un intero \$> 1\$ che ha come divisori positivi soltanto 1 e se stesso. Esistono infiniti numeri primi.

\begin{teorema}[Teorema fondamentale - fattorizzazione] Ogni \$n>1\$ pu\`o essere scritto in uno ed in un solo modo come prodotto di fattori primi:

\$n = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdots p_m^{n_m}\$,

dove \$p_1, p_2,\ldots p_m\$ sono primi distinti e \$n_1, n_2, \ldots n_m\$ sono interi \$\geq 1\$. Tale scrittura si dice \textsl{fattorizzazione} di \$n\$. La fattorizzazione \`e unica.

Dati due interi \$a\$ e \$b\$, un intero \$c\$ viene detto un loro divisore comune se

\$c|a\$ e \$c|b\$.

Un intero positivo D \`e detto Massimo Comun Divisore dei due interi (positivi) \$a\$ e \$b\$ se:

\item \$D|a\$ e \$D|b\$

\item se \$x|a\$ e \$x|b\$ allora \$x|D\$

e si indica con MCD(\$a,b\$) o \$D=(a,b)\$.

Due interi \$a\$ e \$b\$ si dicono \textsl{comprimi} se MCD(a,b)=1.

\$h\cdot A + k\cdot B\$

Siano \$a\$ e \$b\$ due interi e sia \$D = (a,b)\$. Allora esistono sempre interi \$m\$ ed \$n\$ tali che

\$ma + nb = D\$

Si dice Minimo Comune Multiplo di due interi positivi \$a\$ e \$b\$ un intero \$m\$ tale che:

\item \$a|m\$ e \$b|m\$

\item per ogni \$n\$ tale che \$a|n\$ e \$b|n \Longrightarrow m|n\$

Si dice che \$a\$ \`e congruo a \$b\$ modulo \$m\$ se \$m|(a-b)\$ e si indica con

\$a \equiv b \bmod m\$.

La congruenza modulo \$m\$ \`e una relazione di equivalenza, infatti:\\

\item qualunque sia \$a\$, \$a \equiv a \bmod m\$ (riflessivit\`a)\\

\item se \$a \equiv b \bmod m\$ allora \$b \equiv a \bmod m\$ (simmetria)\\

\item se \$a \equiv b \bmod m\$ e \$b \equiv c \bmod m\$ allora \$a \equiv c \bmod m\$ (transitivit\`a).\\

L'insieme quoziente dei numeri interi rispetto alla relazione di congruenza modulo \$m\$ si chiama \textbf{insieme delle classi resto modulo \$m\$}, ed è formato da \$m\$ classi distinte. La classe di resto modulo \$m\$ di un numero \$a\$ si indica con

\$[a]_m\$

Per definizione \$[a]_m + [b]_m = [a+b]_m\$ e \$[a]_m\cdot [b]_m = [a\cdot b]_m\$.

Saper decidere se un numero \$a\in [0]_m\$ equivale a saper decidere se b \`e divisibile per m.

Tali criteri servono per determinare a che cosa \`e congruo un numero intero. Questi diventano \textsl{criteri di divisibilit\`a}, cio\`e \$a\$ \`e divisibile per \$m\$, se \$a \equiv 0 \bmod m\$

Se \$p\$ \`e primo allora

\$(p-1)! \equiv -1 \bmod p\$.

La funzione euleriana \$\phi (m)\$ esprime il numero degli interi minori di \$m\$ primi con \$m\$, ovvero il numero degli interi \$r\$ tale che:

\item \$1\leq r < m\$;

\item \$(r,m) = 1\$.

Se \$(b,m) = 1\$ allora \$b^{\phi (m)} \equiv 1 \bmod m\$.

\$a^{p-1} \equiv 1 \bmod p\$.

\$a^p \equiv a \bmod p\$

Sia \$P_n\$ una successione di proposizioni, ciascuna collegata a un numero naturale \$n\$. Supponiamo che

\item \$P_0\$ \`e vera,

\item per ogni \$n\in \mathbb{N}\$ si ha l'implicazione \$P_n\$ vera \Rightarrow \$P_{n+1}\$ vera.

Allora \$P_n\$ \`e vera per ogni \$n\in \mathbb{N}\$.

\%\ding{42} Tabella \ref{tab:AGreco} a pag.\pageref{tab:AGreco}

A & \$ \alpha \$ & alfa/alpha & angoli piani \\

B & \$ \beta \$ & beta & angoli piani \\

\$ \Gamma \$ & \$ \gamma \$ & gamma & angoli piani \\

\$ \Delta \$ & \$ \delta \$ & delta & area; \$ \Delta=b^2-4ac \$ (\emph{discriminante})\\

E & \$ \epsilon \$/\$ \varepsilon \$ & epsilon & \\

Z & \$ \zeta \$ & zeta & \\

H & \$ \eta \$ & eta & \\

\$ \Theta \$ & \$ \theta \$/\$ \vartheta \$ & theta & angoli \\

I & \$ \iota \$ & iota & \\

K & \$ \kappa \$ & kappa & \\

\$ \Lambda \$ & \$ \lambda \$ & lambda & scalare di un vettore \\

M & \$ \mu \$ & mu/mi & {\sffamily [SI]}: micro (\$ 10^{-6} \$)\\

N & \$ \nu \$ & ni/nu & \$ \nu \$: frequenza\\

\$ \Xi \$ & \$ \xi \$ & xi & \\

O & \$ \omicron \$ & omicron & \\

\$ \Pi \$ & \$ \pi \$/\$ \varpi \$ & pi/pi greco & \$ \Pi \$: produttoria; \$ \pi \simeq 3,141592653589793238462643383279... \$\\

P & \$ \rho \$/\$ \varrho \$ & rho & \\

\$ \Sigma \$ & \$ \sigma \$/\$ \varsigma \$ & sigma & \$ \Sigma \$: sommatoria; \$ \sigma \$: deviazione standard\\

T & \$ \tau \$ & tau & \$ \tau \$: sezione aurea (\$ 1,618... \$)\\

\$ \Upsilon \$ & \$ \upsilon \$ & upsilon & \\

\$ \Phi \$ & \$ \phi \$/\$ \varphi \$ & phi & \$ \phi \$: sezione aurea (\$ 1,618... \$); \$ \phi (n) \$: funzione di Eulero; \$ \Phi (\vec{V}) \$: flusso\\

X & \$ \chi \$ & chi & \\

\$ \Psi \$ & \$ \psi \$ & psi & \\

\$ \Omega \$ & \$ \omega \$ & omega & angoli solidi\\

\partpartial{Bibliografia}

\partpartial{Indici}

\%\listoffigures