Geometrie non euclidee/Modelli per la geometria di Lobacevskij: differenze tra le versioni

* al piano formato dai punti interni alla conica.

 

Si può facilmente verificare che sono rispettati in questo modello sia gli assiomi di incidenza, sia quelli di ordinamento, sia quelli di continuità.

 

 

Utilizzando questa definizione di distanza tra due punti, le "rette" risultano avere lunghezza infinita. In tale modello non è verificato l'assioma delle parallele: si consideri infatti la "retta" AB e il punto C esterno ad essa; si può verificare immediatamente che vi sono infinite "rette" che non intersecano la retta data e tali "rette" sono separate da quelle che invece incontrano la "retta" AB da due particolari "rette" che vengono definite parallele ad AB passanti per C.

 

===Il modello di Poincaré===

* il piano formato dai punti interni alla circonferenza.

 

Come si può osservare, in questa situazione le proprietà delle "nuove rette" differiscono da quelle della geometria euclidea, e in particolare non vale più il postulato delle parallele. Questi nuovi enti si comportano esattamente come quelli del modello di Klein, ma con questa sottile distinzione: nel modello di Klein le rette sono le rette euclidee, nel modello di Poincaré le rette non sono le rette euclidee, ma sono archi di circonferenza euclidei e quindi, sotto questo aspetto, in questo modello si può applicare la geometria euclidea.

 

La curva fondamentale è la '''trattrice''', definita come il luogo dei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa e una retta hanno lunghezza costante; tale retta risulta essere asintoto per la curva.

 

Si consideri adesso la superficie ottenuta ruotando la curva così costruita attorno al suo asintoto (si ottiene la '''pseudosfera''').

 

I punti sono i punti che stanno sulla superficie della pseudosfera e per retta passante per due punti si intende la geodetica, cioè la linea di minima distanza congiungente i due punti; si può ben osservare che per un punto esterno ad una retta passano più rette che non la incontrano.