Analisi complessa/Derivate: differenze tra le versioni

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La definizione di '''derivata''' per una funzione a variabile complessa ricorda formalmente quella per le funzioni reali.
 
Se <math>f:\CComplex\rightarrow\CComplex</math> è definita in un intorno di <math>z_0</math>, la derivata è definita come:
 
:<math>f'(z_0)=\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math>
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===Teorema 1.2.10===
Siano <math>f,g:A\subseteq\CComplex\rightarrow\CComplex</math> dove:
*''A'' è un insieme aperto
* <math>z_0\in A</math>
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#<math>\frac{1}{f}</math> è derivabile se <math>f(z_0)\ne 0</math> e <math>\left(\frac{1}{f}\right)'(z_0)=-\frac{f'(z)}{f(z)^2}</math>
#<math>(z^n)'=nz^{n-1}\!</math>
# se <math>f:A\subseteq\CComplex\rightarrow \CComplex, g: f(A)\rightarrow\CComplex</math>, <math>f</math> derivabile in <math>z_0\in A</math> e <math>g</math> è derivabile in <math>f(z_0)</math> allora:
:::<math>(f\circ g)(z_0)=g'(f(z_0)) f'(z_0)</math>
 
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==Funzioni analitiche==
;Definizione
Una funzione è '''analitica''' o '''olomorfa''' in un insieme aperto se ha derivata in ogni punto di tale insieme. Diremo che è analitica in un punto <math>z_0</math>, e che è '''intera''' se è analitica su tutto <math>\CComplex</math>. Se <math>f</math> non è derivabile in <math>z_0</math>, ma è derivabile in qualche punto di ogni intorno di <math>z_0</math> diremo che <math>z_0</math> è una '''singolarità'''. Se esiste un intorno di <math>z_0</math> tale che <math>f</math> sia derivabile in tutto l'intorno tranne che in <math>z_0</math> diremo che <math>z_0</math> è una '''singolarità isolata'''.
 
* Si definisce '''dominio''' un insieme D aperto connesso, che possa cioè essere espresso come unione di due aperti disgiunti non vuoti. Si può dimostrare che esiste sempre una poligonale composta da un numero finito di segmenti che unisce qualsiasi coppia di punti contenuti in un dominio.