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Analisi complessa/Operatori lineari in H: differenze tra le versioni

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::<math> \Vert L \Vert _{\mathcal{B}(H)}=\sup_{x\neq0}\frac{\Vert Lx \Vert }{\Vert x \Vert }=\sup_{x\neq0} \left\Vert L \frac{x}{\Vert x \Vert }\right\Vert =\sup_{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert </math>
 
<math>\mathcal{B}(H)</math> è uno spazio vettoriale su <math>\CComplex</math>, ponendo
*<math>(L_1+L_2) x=L_1x+L_2x\!</math>
*<math>(\lambda L) x=\lambda Lx\!</math>.
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:*<math>\left\{x_n\right\}</math> una successione in <math>H</math> con <math>\Vert x_n \Vert \leq K<\infty</math> ,
:*<math>\left\{y_n\right\} </math> un'altra successione in <math>H</math> con <math>\Vert y_n \Vert \leq K<\infty</math>
:*<math> \left\{\alpha_n\right\} </math> una successione in <math>\CComplex</math> con <math>\sum_{n} |\alpha_{n}| \leq K<\infty</math>
:Allora l'applicazione
::<math> x \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n x_n y_n</math>
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::<math>(L^{\star})^{\star}=L</math>.
 
Nel caso finito-dimensionale, per <math>\CComplex^{N}</math>, si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, <math>A=(a_{ij})</math>, con <math>a_{ij} \in \CComplex</math>, in modo tale che
:<math>L \mathbf{x} =A\mathbf{x}=\sum_{ij} a_{ij}x_{j} \hat{e}_i</math>,
dove <math>\hat{e}_i</math> sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti <math>x_i</math> dei vettori dello spazio.
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<math> A </math> è compatto, è anche chiuso e limitato (<math>\exists K>0:\Vert x \Vert _J<K \forall x\in A</math>).
 
Se <math> J=\R^N,\CComplex^N </math> (finito-dimensionale) <math>A\subseteq J</math> è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
 
;Teorema di Bolzano-Weierstrass:In <math>\CComplex^{N}</math> ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.
Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente '''teorema''':
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==Teorema della mappa aperta==
Siano <math>G</math> e <math>W</math> due spazi di Banach su <math>\CComplex</math>, e <math>L:G\rightarrow W</math> lineare. Se
:<math>L(G)=W</math> (se <math>L</math> è suriettiva)
allora sia
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;Definizione di spettro.
:Definiamo lo ''spettro'' <math>\sigma(L)</math> di un operatore <math>L\in\mathcal{B}(H)</math> come l'insieme dei <math>\lambda \in \CComplex</math> tali che
::<math>L - \lambda E\!</math>
:non ammette inverso continuo.
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