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A questa notazione ci si riferisce come ad una notazione indicizzata o tensoriale cartesiana, dal momento che ci occupiamo esclusivamente di un sistema di coordinate cartesiane.<br>
Uno scalare, come al solito, verrà indicato con un termine senza indice.
==operazioni algebriche elementari==
Per illustrare immediatamente l'impiego della notazione con indici e la semplicità introdotta dalla sua introduzione consideriamo alcune semplici operazioni algebriche.<br>
Nella forma combinatoria lineare l'uguaglianza di due vettori <math>\vec{\mathcal{A}}</math> e <math>\vec{\mathcal{B}}</math> viene espressa con<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_1\vec{\mathcal{e_1}}+a_2\vec{\mathcal{e_2}}+a_3\vec{\mathcal{e_3}}=b_1\vec{\mathcal{e_1}}+b_2\vec{\mathcal{e_2}}+b_3\vec{\mathcal{e_3}}</math><br>
oppure con le tre equazioni scalari<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_1=b_1\qquad\qquad a_2=b_2\qquad\qquad a_3=b_3</math><br>
Impiegando la notazione indicizzata, il contenuto di (1) e (2) possono essere espressi in modo compatto scrivendo<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_i=b_i</math><br>
Questa equazione implica in realtà tre tali equazioni, cioè, il sistema ottenuto dando all'indice i valori 1,2,3.<br>
Nella notazione con indice la somma è espressa semplicemente con
significando un vettore le cui componenti sono date da () quando ad '''i''' vengono dati i valori 1,2,3.
Ripetiamo che una notazione come AAA significa l'uguaglianza di due vettori, una espressione come BBB significa l'addizione di due vettori, ed un termine coe ZZZ AAA implica la moltiplicazione di un vettore con uno scalare.
==prodotto scalare==
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