Differenze tra le versioni di "Algebra vettoriale/Derivazione dei vettori"

<math> {|K_0|d\over dx} \ \ \ \ \ la\ derivata\ nella\ struttura\ |K_0|</math><br>
<math> {|K|d\over dx} \ \ \ \ \ \ la\ derivata\ nella\ struttura\ |K|</math><br>
Sia <math>\vec{\mathcal{e_1}},\vec{\mathcal{e_2}},\vec{\mathcal{e_3}}</math> un sistema di versori fissato in K, e siano <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math> le componenti scalari rispettive di <math>\vec{\mathcal{A}} </math>. Possiamo osservareOsserviamo che i versori
<math>\vec{\mathcal{e_1}},\vec{\mathcal{e_2}},\vec{\mathcal{e_3}}</math> non sono funzioni della varabile '''t''' nella struttura '''K''', mentre lo sono se osservati dalla struttura '''K<sub>0</sub>'''. Le componenti scalari sono semplicemente funzioni scalari della variabile scalare in entrambe le strutture di riferimento; in questo caso la distinzione tra le strutture di riferimento diventa irrilevante.<br>
Esprimendo <math>\vec{\mathcal{A}}</math> nella forma composita scrivamo<br>
<math>{|K_0|d\over dxdt} \vec{\mathcal{A}}={|K_0|d\over dxdt}(a_1\vec{\mathcal{e_1}}+a_2\vec{\mathcal{e_2}}+a_3\vec{\mathcal{e_3}})=</math><br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(\vec{\mathcal{e_1}}{|K_0|d\over dxdt} a_1+\vec{\mathcal{e_2}}{|K_0|d\over dxdt} a_2+\vec{\mathcal{e_3}}{|K_0|d\over dxdt} a_3)+(a_1{|K_0|d\over dxdt}\vec{\mathcal{e_1}}+a_2{|K_0|d\over dxdt}\vec{\mathcal{e_2}}+a_3{|K_0|d\over dxdt}\vec{\mathcal{e_3}})</math><br>
 
Consideriamo il termine <math> {|K_0|d\over dt} a_1</math>. Dato che la derivata di una funzione scalare di una varabile scalare non dipende
 
 
 
<math> {|K_0|d\over dxdt} a_1={|K|\over dxdt}a_1={d\over dxdt}a_1</math>
 
<math>{|K_0|d\over dx} \vec{\mathcal{A}}={|K_0|d\over dx}(a_1\vec{\mathcal{e_1}}+a_2\vec{\mathcal{e_2}}+a_3\vec{\mathcal{e_3}})=</math><br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(\vec{\mathcal{e_1}}{|K_0|d\over dx} a_1+\vec{\mathcal{e_2}}{|K_0|d\over dx} a_2+\vec{\mathcal{e_3}}{|K_0|d\over dx} a_3)+(a_1{|K_0|d\over dx}\vec{\mathcal{e_1}}+a_2{|K_0|d\over dx}\vec{\mathcal{e_2}}+a_3{|K_0|d\over dx}\vec{\mathcal{e_3}})</math>
 
<math> {|K_0|d\over dx} a_1={|K|\over dx}a_1={d\over dx}a_1</math>
 
<math>\vec{\mathcal{e_1}} {|K_0|d\over dx} a_1=\vec{\mathcal{e_1}}{|K|\over dx}a_1={|K|d\over dx}(a_1 \vec{\mathcal{e_1}})</math>