Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine: differenze tra le versioni
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==Equazioni differenziali di primo ordine==
:<math>\ 1
Forma tipica:
:::::<math>\ A(x) B(y) dx+C(x) D(y) dy=0 \qquad ovvero:\ {dy\over dx}=f(x) g(y)</math>.
''Soluzione'': Si dividono i due menbri per il prodotto <math>\ C(x) B(y)\ e\ si\ ha\ l'equazione:</math>
:::::<math>\ {A(x)\over C(x)}dx+{D(y)\over B(y)}dy=0</math>
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funzione che dà l' ''integrale generale''.
▲:<math>\ 2 ) \qquad Equazione\ esatta</math>
Forma tipica
:::::<math>\ A(x,y) dx+B(x,y) dy=0</math>
con la condizione: <math>\ {\partial A\over \partial y}={\partial B\over \partial x}</math>
Line 60 ⟶ 59:
:::<math>\ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}A(x,y)\,dx+\int_{y_0}^{y}B(y_0,y)\,dy=C</math>
<math>\ Esempio \qquad (x+y) dx+(x+Sin[y]) dy=0 </math>▼
▲<math>\ Esempio \qquad (x+y)dx+(x+Sin[y])dy=0 </math>
L'equazione è esatta, perché: <math>\ {\partial (x+y)\over \partial y}={\partial (x+Sin[y])\over \partial x}=1</math>
Line 67 ⟶ 65:
Si ha quindi:
<math>\ (1) \qquad u(x,y)=\int_{x_o}^{x} (x+y) dx+\varphi(y)={x^2\over 2}+xy-({x_o^2\over 2}+x_o y)+\varphi(y)</math>
con la condizione: <math>\ {\partial u\over \partial y}=\int_{x_o}^{x}{\partial (x+Sin[y])\over \partial x)}dx+\varphi '(y),</math>
Line 85 ⟶ 83:
:::::::<math>\ {x^2\over 2}+xy-Cos[y]-({x_o ^2\over 2}+x_o y_o-Cos[y_o])=C.</math>
:<math>\ 3
▲:<math>\ 3 ) \quad Equazioni\ riducibili\ esatte\ ossia\ per\ le\ quali\ esiste\ un\ fattore\ integrante.</math>
:::<math>\ Caso\ a</math>
Line 109 ⟶ 101:
e integrando: <math>\ \log cx=\int_{}{}{1\over f(1,t)-t}\,dt.</math>
<math>\ Esempio:\qquad 2xydx+(y^2-x^2) dy=0</math>▼
▲<math>\ Esempio:\qquad 2xydx+(y^2-x^2)dy=0</math>
Risolvendo rispetto a y' si ha:
Line 124 ⟶ 115:
Integrando si ottiene: <math>\ Cx={xy\over x^2+y^2}</math> ovvero: <math>\ C(x^2+y^2)=y</math> che
è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse '''y'''.
:::<math>\ Caso\ b</math>
:::<math>\ Forma\ tipica:\qquad f(xy) ydx+g(xy) xdy=0</math>
fattore integrante: <math>\ {1\over Ax-By},\qquad essendo\ Ax-By\ne 0</math>
<math>\ Esempio \qquad (x^2y^2+xy) ydx+(x^2y^2-1) x dy=0, </math>
fattore integrante: <math>\ {1\over x^2 y^2+xy}.</math>
Line 138 ⟶ 128:
Dividendo l'equazione per <math>\ x^2 y^2+xy</math> si ha:
::::<math>\ ydx+(x-{1\over y}) dy=0,</math> che è una equazione esatta.
Integrando si ottiene: <math>\ xy+log\ C=log\ y</math> da cui l'integrale generale:
::::::<math>\ y=Ce^{xy}.</math>
:::<math>\ Caso\ c</math>
Line 154 ⟶ 142:
quando: <math>{1\over B}({\partial A\over \partial y}-{\partial B\over \partial x}) =f(x)</math>
fattore integrante: <math>\ \rho=e^{\int_{}^{}f(x) dx}.</math>
<math>\ Esempio \qquad (x^2+y^2+2x) dx+2 y dy=0</math>
Si ha: <math>\ {1\over B}({\partial A\over \partial y}-{\partial B\over \partial y})={1\over 2y}2y=1</math>
Line 164 ⟶ 152:
Si deduce quindi l'equazione esatta:
::::<math>\ e^x(x^2+y^2+2x) dx+2e^xy dy=0,</math>
da cui integrando si ha: <math>\ e^x(x^2+y^2)=C.</math>
:::<math>\ Caso\ d</math>
Line 178 ⟶ 164:
quando: <math>\ {1\over A}({\partial B\over \partial x}-{\partial A\over \partial y})=\varphi(y),</math>
fattore integrante: <math>\ \rho=e^{\int_{}^{}\varphi (y) dy}</math>
<math>\ Esempio \qquad y^2 dx+(x y+1)=0</math>
Line 188 ⟶ 174:
Dividendo quindi l'equazione per '''y''', si ha l'equazione esatta:
::::::<math>\ ydx+(x+{1\over y}) dy=0,</math>
il cui integrale generale è:
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