Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni

 

Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come

in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione del caso reale.

 

Gli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni <math>u</math> e <math>v</math> sono continue a tratti, e vale il teorema fondamentale del calcolo integrale:

se <math>z'(t)=w(t)\!</math>, allora

Inoltre vale la disuguaglianza

 

==Curve parametriche==

:<math>\tilde{z}(\tau)=z(\phi(\tau))</math>

dove

è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca <math>[\alpha,\beta]</math> su <math>[a,b]</math>),

:<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt=\int_{\alpha}^{\beta}|\tilde{z}'(\tau)|d\tau</math>

::<math>C=\bigcup_i z_i (t),\quad z_i(t):[a_i,b_i]\rightarrow \C,\quad a_i=b_{i-1},z_i\quad b_i=z_{i+1} (a_{i+1})</math>

:Sia <math>f:\Omega\rightarrow \mathbb{C}</math> una funzione continua. Definiamo

 

Segue da questa definizione che se possiamo scomporre il percorso <math>C</math> come "somma di due percorsi" <math>C_1</math>

e <math>C_2</math> (tali che <math>z_1:[a,c]\rightarrow C</math>, <math>z_2:[c,b]\rightarrow C</math> e <math>z_1(c)=z_2(c)\!</math>)

e che se consideriamo il percorso <math>-C</math> identico al percorso <math>C</math> ma con verso di percorrenza opposto,

 

;Teorema:Vale la disuguaglianza

dove <math>M</math> è il massimo valore di <math>|f(z)|</math> assunto dalla funzione lungo il percorso, e <math>L</math> la lunghezza del percorso.

 

===Teorema di Cauchy-Goursat===

Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno e sui punti di un cammino semplice chiuso <math>C</math>, allora

 

Questo teorema può essere provato facilmente, sotto ipotesi leggermente più forti (supponendo anche la continuità di <math>f'</math>), ricorrendo al '''Teorema di Green''':

===Teorema di Green===

:Se <math>Q(x,y)</math> <math>P(x,y)</math> e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno <math>C</math> e sulla regione interna <math>R</math>, allora

 

==Dominio semplicemente connesso==

È un'immediata conseguenza del '''teorema di Cauchy-Goursat''' che:

;Teorema:Se una funzione <math>f</math> è analitica in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>,

:per ogni cammino semplice chiuso <math>C</math> contenuto in <math>D</math>.

 

 

;Teorema:Consideriamo <math>f</math> analitica in un dominio <math>D</math> molteplicemente connesso. Sia <math>C</math> un cammino semplice chiuso in <math>D</math> percorso in senso antiorario, e <math>C_{k}:(k=1\ldots n)</math> cammini semplici chiusi interamente contenuti interno di <math>C</math>, percorsi in senso orario, i cui interni non abbiano punti in comune, e tali che tutti i punti dell'interno di <math>C</math> in cui <math>f</math> non è analitica siano contenuti all'interno di uno dei <math>C_{k}</math>, allora

 

;Corollario:Se <math>C_1</math> e <math>C_2</math> sono due cammini semplici chiusi percorsi nello stesso verso, per i quali l'interno di <math>C_2</math> è interamente contenuto nell'interno di <math>C_1</math> , e se una funzione <math>f</math> è analitica nella regione chiusa compresa tra i due contorni, allora

 

==Teorema di rappresentazione di Cauchy==

==Teorema di Morera==

Se una funzione è continua in un dominio <math>D</math> e

per ogni cammino semplice chiuso contenuto in <math>D</math>, <math>f</math> è analitica in <math>D</math>.

 

 

;Corollario

 

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