Algebra 2/Numeri reali e radicali/Radicali: differenze tra le versioni

* &nbsp;<math>25^{\tfrac 3 2}</math>: si ha che <math>25^{\tfrac 3 2}=\left(\sqrt[2]{25}\right)^3=5^3=125</math>.

}}

 

'''Caso con esponente negativo''' &emsp;

 

È possibile portare fuori dal segno di radice quei fattori aventi come esponente un numero che sia maggiore o uguale all’indice della radice. In generale si inizia scomponendo in fattori irriducibili il radicando, ottenendo un radicale del tipo <math>\sqrt[n]{a^m}</math> con <math>m\ge n.</math>

 

'''I° modo:'''&emsp;

{{Testo centrato|

<math>\sqrt[n]{a^{n\cdot q+r}}=\sqrt[n]{(a^q)^n\cdot a^r}=\sqrt[n]{(a^q)^n}\cdot \sqrt[n]{a^r}=a^q\cdot \sqrt[n]{a^r}\text{ con } r<n.</math>}}

{{Testo centrato|

<math>\sqrt[3]{a^8}=\ldots</math> eseguiamo la divisione <math>8:3</math> con <math>q=2</math> e <math>r=2</math>, quindi <math>\sqrt[3]{a^8}=a^2\cdot \sqrt[3]{a^2}</math>.}}

 

'''II° modo:'''&emsp;

* <math>\sqrt[3]{a^5b^7cd^3}</math> occorre eseguire le divisioni intere tra gli esponenti e l’indice della radice. Cominciamo da <math>a^5</math> risulta <math>5:3 = 1</math> con resto uguale a <math>2</math>; per <math>b^7</math> si ha <math>7:3</math> con quoziente&nbsp;<math>2</math> e resto&nbsp;<math>1</math>; l’esponente di <math>c</math> è minore dell’indice; per <math>d^3</math> si ha <math>3:3</math> con quoziente <math>1</math> e resto&nbsp;<math>0</math>. In definitiva <math>\sqrt[3]{a^5b^7cd^3}={ab}^2 d\sqrt[3]{a^2{bc}}</math>, o anche:

{{Testo centrato|

In questo caso non c’è da mettere il valore assoluto perché l’indice della radice è dispari;

* <math>\sqrt[3]{\tfrac{3^3x^3y}{z^6}}=3\tfrac x{z^2}\sqrt[3]y</math>, <math>\text{C.E.}\; z\neq 0</math>;

{{Div col end}} }}

 

{{Testo centrato|

<math>\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\left(a^{\tfrac 1 n}\right)^{\tfrac 1 m}=a^{\tfrac 1{mn}}=\sqrt[m\cdot n]a</math>}}

 

Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire quindi trasformare una frazione in una frazione equivalente avente per denominatore un’espressione nella quale non compaiano radici.

 

'''I° Caso:'''&emsp;

* <math>\tfrac{a^2-1}{\sqrt{a-1}}=\tfrac{(a^2-1)\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}\sqrt{a-1}}=\tfrac{(a^2-1)\sqrt{a-1}}{a-1}=\tfrac{(a-1)(a+1)\sqrt{a-1}}{a-1}=(a+1)\sqrt{a-1}</math>.

}}

 

'''II° Caso:'''&emsp;

* <math>\tfrac 1{\sqrt[3]{b^5}}=\tfrac 1{b\sqrt[3]{b^2}}=\tfrac{1\cdot \sqrt[3]b}{b\sqrt[3]{b^2}\cdot \sqrt[3]b}=\tfrac{\sqrt[3]b}{b^2}</math>.

}}

 

'''III° Caso:'''&emsp;

* <math>\tfrac{1+\sqrt a}{1-\sqrt a}=\tfrac{(1+\sqrt a)\cdot (1+\sqrt a)}{(1-\sqrt a)(1+\sqrt a)}=\tfrac{(1+\sqrt a)^2}{1-\sqrt{a^2}}=\tfrac{1+2\sqrt a+a}{1-a}</math> con <math>a\ge 0\wedge a\neq 1</math>.

}}

 

'''IV° Caso:'''&emsp;

<math>\tfrac{\sqrt 2+\sqrt 3-\sqrt 5}{2\sqrt 6}\cdot \tfrac{\sqrt 6}{\sqrt 6}=\tfrac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot 6}=\tfrac{2\sqrt 3+3\sqrt 2-\sqrt{30}}{12}.</math>}}

}}

 

'''V° Caso:'''&emsp;

 

* <math>\sqrt 3x=9\Rightarrow x=\tfrac 9{\sqrt 3} =\tfrac 9{\sqrt 3}\cdot \tfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3}=\tfrac{9\sqrt 3} 3=3\sqrt 3</math>;

{{Testo centrato|

<math>\begin{aligned}

\Rightarrow&\sqrt 3x-x-\sqrt 6=2x-3\cdot 2-\sqrt 2+1\\

\Rightarrow&\sqrt 3x-3x=\sqrt 6-\sqrt 2-5\\

 

<ul>

<p>Il coefficiente dell’incognita è positivo, quindi <math>x\le \tfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3-1}</math> e razionalizzando si ha <math>x\le \tfrac{3+\sqrt 3} 2</math>;</p></li>

<li><p><math>2x(1-\sqrt 2)\ge -3\sqrt 2</math>.</p>

{{Algebra1/Esempio1| Risolvi <math>\left\{\begin{array}{l}

{x(2+\sqrt 2)+y=\sqrt 2(2+x)}\\

\end{array}

\right..</math><br />