Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni di grado superiore al secondo: differenze tra le versioni
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== L’equazione di terzo grado, un po’ di storia ==
“Trovare un numero il cui cubo, insieme con due suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma 20”.
Il problema enunciato venne posto da Giovanni Panormita, astronomo e filosofo alla corte di Federico II, a Leonardo Pisano, detto Fibonacci, che ne tentò la soluzione nella sua opera “Flos”.
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* <math>n</math> è pari e <math> a\cdot b< 0 </math>. I coefficienti <math> a </math> e <math> b </math> hanno segno discorde. L’equazione ammette due sole soluzioni reali ed opposte: <math>x_1=\sqrt[n]{-\tfrac b a}\;\vee\; x_2=-\sqrt[n]{-\tfrac b a}</math>;
* <math>n</math> è pari e <math> a\cdot b> 0 </math>. I coefficienti <math> a </math> e <math> b </math> hanno lo stesso segno. L’equazione non ammette soluzioni reali;
* <math>n</math> è dispari e <math> b\neq 0 </math>. L’equazione ha
* <math>b=0</math>. L’equazione è <math>ax^n=0</math> e le <math>n</math> soluzioni sono coincidenti nell’unica soluzione <math>x=0</math>. In questo caso si dice che l’unica soluzione <math>x=0</math> ha molteplicità <math>n</math>.
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}}
Ricordiamo che secondo la regola del resto, il valore trovato (zero) ci assicura che il polinomio al primo membro è divisibile per <math>x+1</math>; con la divisione polinomiale o con la regola di Ruffini possiamo scrivere <math>a_0x^3+a_1x^2+a_1x+a_0=(x+1)\cdot \left(a_0x^2+(a_1-a_0) x+a_0\right)=0</math> da cui, per la legge di annullamento del prodotto, possiamo determinare le soluzioni dell’equazione assegnata.
Un modo alternativo per determinare l’insieme soluzione dell’equazione reciproca di prima specie consiste nel raccogliere parzialmente i due coefficienti <math>a_0</math> e <math>a_1</math> in modo da ottenere <math>a_0\left(x^3+1\right)+a_1\left(x^2+x\right)=0</math> da cui <math>a_0(x+1)\left(x^2-x+1\right)+a_1x(x+1)=0</math> e raccogliendo il binomio <math>(x+1)</math> ritroviamo la fattorizzazione precedente: <math>(x+1) \left(a_0x^2+(a_1-a_0) x+a_0\right)=0</math>.
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere le seguenti equazioni di terzo grado reciproche di prima specie.<br />
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}}
Procedendo come nel caso precedente si può ottenere la scomposizione in fattori del polinomio al primo membro: <math>(x-1)\cdot \left(a_0x^2+(a_0+a_1) x+a_0\right)=0</math> e quindi determinare l’<math>\text{I.S.}</math> dell’equazione assegnata applicando la legge di annullamento del prodotto.
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere le seguenti equazioni di terzo grado reciproche di seconda specie.<br />
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e quindi l’equazione diventa:
{{Testo centrato|
<math>(x+1)\left[a_0x^4+(a_1-a_0) x^3+(a_2-a_1+a_0) x^2+(a_1-a_0) x+a_0\right]=0.</math>
}}
Per la legge di annullamento del prodotto si determina la soluzione reale <math>x=-1</math> e con i metodi analizzati in precedenza si risolve l’equazione di quarto grado reciproca di prima specie:
{{Testo centrato|
<math>\left(a_0x^4+(a_1-a_0) x^3+(a_2-a_1+a_0) x^2+(a_1-a_0) x+a_0\right)=0.</math>
}}
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e quindi
{{Testo centrato|
<math>(x+1)\left[a_0x^4+(a_1-a_0) x^3+(a_2-a_1+a_0) x^2+(a_1-a_0) x+a_0\right]=0.</math>
}}
Una radice è <math>x=1</math> e le altre provengono dall’equazione di quarto grado reciproca di prima specie:
{{Testo centrato|
<math>a_0x^4+(a_1+a_0) x^3+(a_2+a_1+a_0) x^2+(a_1+a_0) x+a_0=0.</math>
}}
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