Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado: differenze tra le versioni

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Consideriamo il seguente problema: “in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è più lunga del cateto minore di <math>4\text{cm}</math>, mentre l’altro cateto è più lungo del cateto minore di <math>2\text{cm}</math>. Si vogliono determinare le misure dei tre lati”.
 
Si può formalizzare il problema indicando con <math>x</math> la misura incognita del cateto minore. La lunghezza dell’ipotenusa sarà <math>x + 4</math>, mentre quella dell’altro cateto <math>x + 2</math>. Applicando il teorema di Pitagora si ha: <math>x ^{2 } + ( x + 2 ) ^{2 } = ( x + 4 ) ^{2 }</math>. Dopo aver effettuato i calcoli e aver portato tutti i termini a sinistra del predicato uguale abbiamo: <math>x ^{2}-4x-12=0</math>.
 
[[File:Algebra2 eq2 fig000 tria.svg|center|Esempio equazioni 2°]]
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=== Risoluzione di un’equazione incompleta spuria ===
 
Un’equazione incompleta spuria si presenta nella forma: <math>a x ^{2} + b x = 0</math>. Per risolverla, si raccoglie a fattore comune la <math>x</math>; precisamente <math>x ( a x + b ) = 0</math>. Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene <math>x_{1} = 0</math> oppure <math>ax + b = 0</math> da cui <math>x_{2} = - \tfrac{b}{a}</math>. Pertanto un’equazione di questo tipo ha sempre due soluzioni reali distinte di cui una nulla.
 
{{Algebra1/Esempio1| Risoluzione di equazioni incomplete spurie.
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<ul>
<li><p><math>2 x^{2} - 4 x = 0</math>.</p>
<p>Raccogliendo a fattor comune si ha: <math>2 x ( x - 2 ) = 0</math> da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue <math>2x = 0 \vee x - 2 = 0</math> da cui <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = 2</math>;</p></li>
<li><p><math>x ^{2 } + x = 0</math>.</p>
<p>Raccogliendo <math>x</math> a fattore comune, si ha <math>x ( x + 1 ) = 0</math>, da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, segue <math>x = 0 \vee x + 1 = 0</math> da cui <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = - 1</math>.</p></li></ul>
}}
 
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|-
| il primo membro risulta il quadrato di un binomio
| <math>( 2 a x + b )^{2}=b^{2} - 4 a c</math>
|-
| si pone <math>k=2ax + b</math> e l’equazione diventa pura in <math>k</math>
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Supponiamo <math>b=2 k</math>, l’equazione <math>a x^{2} + b x + c=0</math> diventa <math>a x^{2} + 2 k x + c=0</math> e nella formula risolutiva dell’equazione si ottiene:
{{Testo centrato|
<math>x_{1\text{,}2}=\tfrac{- 2 k \pm \sqrt{( 2 k )^{2}-4 a c}}{2 a}=\tfrac{- 2 k \pm 2 \sqrt{k^{2} - a c}}{2 a}=\tfrac{- k \pm \sqrt{k^{2} - a c}}{a}.</math>
}}
Dato che <math>b=2 k</math> si ha <math>k=\tfrac{b}{2}</math> e quindi la formula che conviene utilizzare quando <math>b</math> è pari è:
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<p>Il coefficiente di primo grado è pari, per cui conviene utilizzare la formula ridotta:
{{Testo centrato|
<math>x_{1\text{,}2}=\tfrac{-(-2 ) \pm \sqrt{(-2)^{2}-1\cdot(+3)}}{1}=2 \pm \sqrt{1}\Rightarrow x_{1} = 1 \vee x_{2} = 3;</math>}}</p></li>
<li><p><math>- x^{2} - 2 x + 24=0</math>.</p>
<p>Applichiamo la formula ridotta:
{{Testo centrato|
<math>x_{1\text{,}2}=\tfrac{- ( - 1 ) \pm \sqrt{( -1 )^{2} - (-1)\cdot(+24)}}{-1}=- 1 \pm \sqrt{25}\Rightarrow x_{1} = - 6 \vee x_{2} = 4;</math>}}</p></li>
<li><p><math>- 3 x^{2} - 6 x + 12=0</math>.</p>
<p>Per prima cosa dividiamo l’equazione per <math>- 3</math>. Per il secondo principio di equivalenza, si ha l’equazione equivalente&nbsp;<math>x^{2} + 2 x - 4=0</math>. Poiché il coefficiente della&nbsp;<math>x</math> è pari si può applicare la formula ridotta:
Riga 245:
 
<ul>
<li><p><math>( x - 1 )^{2} = 16</math>.</p>
<p>Sostituendo <math>x - 1 = t</math> l’equazione diventa <math>t^{2} = 16</math>, le cui soluzioni sono <math>t_{1} = - 4 \vee t_{2} = + 4</math>. Per determinare la <math>x</math> sostituiamo i valori di <math>t</math> trovati nella relazione&nbsp;<math>x - 1 = t</math>. Si ha <math>x - 1 = - 4 \vee x - 1 = + 4</math> quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni <math>x_{1} = - 3 \vee x_{2} = 5;</math></p></li>
<li><p><math>( x - 1 )^{2} + 2 ( x - 1 ) = 0</math>.</p>
<p>Sostituendo <math>x - 1 = t</math> l’equazione diventa <math>t^{2} + 2t = 0</math> le cui soluzioni sono <math>t ( t + 2 ) = 0 \Rightarrow t_{1} = 0 \vee t + 2 = 0 \Rightarrow t_{2} = - 2</math>. Sostituendo <math>x - 1 = t</math> si ha <math>x - 1 = 0 \vee x - 1 = - 2</math> quindi l’equazione assegnata ammette le due soluzioni&nbsp;<math>x_{1} = - 1 \vee x_{2} = 1.</math></p></li></ul>
}}
 
Riga 258:
 
'''Passo I'''&emsp;
Determiniamo il <math>\text{mcm}</math> dei denominatori: <math>\text{mcm} = ( 1 + x ) \cdot ( x - 2 )</math>.<br /><br />
 
'''Passo II'''&emsp;
Riga 266:
Applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazione del secondo membro <math>\tfrac{3 x + 2}{1 + x} - \tfrac{2 x + 3}{x - 2} = 0</math>. Riduciamo allo stesso denominatore (<math>\text{mcm}</math>):
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{( 3 x + 2 ) \cdot ( x - 2 ) - ( 2 x + 3 ) \cdot ( 1 + x )}{( 1 +x ) \cdot ( x - 2 )}=0.</math>}}<br />
 
'''Passo IV'''&emsp;
Moltiplichiamo ambo i membri per il <math>\text{mcm}</math>, certamente diverso da zero per le condizioni poste; l’equazione diventa: <math>( 3 x + 2 ) \cdot ( x - 2 ) - ( 2 x + 3 ) \cdot ( 1 + x )=0</math>.<br /><br />
 
'''Passo V'''&emsp;
Riga 285:
 
'''Passo I'''&emsp;
Determiniamo il <math>\text{mcm}</math> dei denominatori. Scomponiamo in fattori i denominatori. Riscriviamo: <math>\tfrac{x^{2}}{( x - 2 ) ( x - 1 )}=\tfrac{x - 2}{x - 1} +\tfrac{1}{x + 2}</math> il <math>\text{mcm}</math> è <math>( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2 ).</math><br /><br />
 
'''Passo II'''&emsp;
Riga 293:
Trasportiamo al primo membro ed uguagliamo a zero; riduciamo allo stesso denominatore (<math>\text{mcm}</math>) i membri dell’equazione:
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{x^{3} + 2 x^{2} - x^{2} + 3 x - 2 - x^{3} - 2 x^{2} + 4x^{2} + 8 x - 4 x - 8}{( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2 )} = 0.</math>}}<br />
 
'''Passo IV'''&emsp;
Riga 309:
Ricordiamo la seguente definizione:
 
{{Algebra1/Definizione| Una equazione è ''letterale'' se i coefficienti dell’incognita sono espressioni letterali, cioè se oltre all’incognita (in genere indicata con la lettera <math>x</math>) compare un’altraun'altra lettera (in genere <math>a</math>, <math>b</math>, <math>k</math>, …) detta ''parametro''. }}
 
{| style="background:white;width:95%;margin:auto;border:1px solid #EBEBEB;padding:20px 10px 20px 10px;" align=center
|-
|<b style="color: #926158">Esempio</b>: Data l’equazione <math>k x^{2} - ( 2 k - 1 ) x + ( k - 3 ) = 0</math>, discutere, al variare di <math>k</math>, la realtà delle sue soluzioni.
 
L’equazione è letterale di secondo grado nell’incognita <math>x</math>, i cui coefficienti dipendono dal parametro <math>k</math>. Il parametro <math>k</math> può assumere qualunque valore numerico e l’equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro. Notiamo subito che se <math>k</math> assume il valore zero, l’equazione non è più di secondo grado. Se <math>k</math> assume il valore <math>3</math>, l’equazione è ancora di secondo grado ma è incompleta (spuria) perché priva del termine noto.
Riga 325:
* il terzo coefficiente è <math>k-3</math>, se è nullo, cioè se <math>k = 3</math> l’equazione diventa <math>3 x^{2} - 5 x = 0</math>, equazione spuria con due soluzioni reali <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = \tfrac{5}{3}</math>.
 
Per tutti i valori di <math>k \in \mathbb{R} - \left\{ 0\text{, }\tfrac{1}{2}\text{, }3 \right\}</math> l’equazione è completa, pertanto l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante <math>\Delta = \left( - 2 k + 1 \right)^{2} - 4 k \left( k - 3 \right) = 8 k + 1</math>, quindi
 
* se <math>8 k + 1 < 0 \Rightarrow k < - \tfrac{1}{8}</math> l’equazione non ammette soluzioni reali: <math>\text{I.S.} = \emptyset</math>;
Riga 335:
|
{| style="border-top:1px solid black; border-bottom:1px solid black;text-align:left; background:white;" align="center" width="90%" border="0" cellspacing="0"
|+ <math>k x^{2} - ( 2 k - 1 ) x + ( k - 3 ) = 0</math>&nbsp; con &nbsp; <math>k \in \mathbb{R}</math>
|-
! style="border-bottom:1px solid black;"| Parametro
Riga 366:
|-
| <math>k > - \tfrac{1}{8}</math>
| <math>x_{1}=\tfrac{\left( 2 k - 1 \right) - \sqrt{8 k + 1}}{2k}\vee x_{2}=\tfrac{\left( 2 k - 1 \right) + \sqrt{8 k + 1}}{2 k}</math>
|
|-
Riga 379:
|<b style="color: #926158">Esempio</b>: Data l’equazione <math>x^2 - 3 x + 1 - k = 0</math>, discutere, al variare di <math>k \in \mathbb{R}</math>, la realtà delle radici.
 
Il primo e il secondo coefficiente non dipendono dal parametro <math>k</math>, quindi analizziamo il terzo coefficiente. Se <math>k = 1</math> l’equazione diventa un’equazione spuria con due radici reali <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = 3</math>. Per tutti i valori di <math>k</math> dell’insieme <math>\mathbb{R} - \{1\}</math> l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante <math>\Delta = 9 - 4 ( 1 - k ) = 4 k + 5</math>, quindi:
 
* se <math>k < - \tfrac{5}{4}</math> l’equazione non ammette soluzioni reali: <math>\text{I.S.} = \emptyset</math>;
Riga 422:
{| style="background:white;width:95%;margin:auto;border:1px solid #EBEBEB;padding:20px 10px 20px 10px;" align=center
|-
|<b style="color: #926158">Esempio</b>: Discutere l’equazione letterale:&nbsp;&nbsp;<math>\tfrac{x^{2}}{m - 1} + 3 + m=\tfrac{2 m x}{m - 1} \left( 1 +\tfrac{1}{m} \right)</math>.
 
L’equazione, pur presentando delle frazioni, è intera in quanto l’incognita <math>x</math> non compare al denominatore. Se&nbsp;<math>m = 0</math> oppure&nbsp;<math>m = 1</math> l’equazione è priva di significato, quindi poniamo <math>\text{C.E.}\; m \neq 0 \wedge m \neq 1</math>.
Riga 428:
Trasportiamo a sinistra del segno di uguaglianza i termini di destra ed eseguiamo il calcolo nella parentesi:
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{x^{2}}{m - 1} + 3 + m - \tfrac{2 m x}{m - 1} \left( 1 +\tfrac{1}{m} \right) = 0 \Rightarrow \tfrac{x^{2}}{m - 1} + 3 + m - \tfrac{2 m x}{m - 1} - \tfrac{2 \cancel{m} x}{m - 1} \cdot \tfrac{1}{\cancel{m}} = 0.</math>}}
 
Semplifichiamo <math>m</math> nell’ultimo termine, poiché nelle <math>\text{C.E.}\; m \neq 0</math>, si ottiene
Riga 434:
<math>\tfrac{x^{2}}{m - 1} + 3 + m - \tfrac{2 mx}{m - 1} - \tfrac{2 x}{m - 1}=0.</math>}}
 
Riduciamo allo stesso denominatore <math>m - 1</math> ed eliminiamo il denominatore, essendo <math>m \neq 1</math> per le <math>\text{C.E.}</math>; si ha: <math>x^{2} + 3 m - 3 + m^{2} - m - 2 m x - 2 x = 0</math>, che scritta in forma canonica diventa <math>x^{2} - 2 x ( m + 1 ) + m^{2} + 2 m - 3 = 0</math>.
 
''Discussione''
Riga 442:
* il terzo coefficiente è <math>m^{2} + 2 m - 3</math>: se <math>m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1 \vee m = - 3</math> (non consideriamo il caso <math>m = 1</math> per le <math>\text{C.E.}</math>) l’equazione diventa <math>x^{2} + 4 x = 0</math>, equazione spuria con due soluzioni reali <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = - 4</math>.
 
Prima conclusione:&nbsp; per tutti i valori di <math>m \in \mathbb{R} -\{0</math>, <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>-3\}</math> l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante. Calcoliamo il discriminante: <math>\tfrac{\Delta}{4} = ( m + 1 )^{2} - ( m^{2} + 2 m - 3 ) = 4</math>; esso risulta indipendente dal valore del parametro&nbsp;<math>m</math> e sempre positivo, quindi l’equazione ammette sempre due soluzioni reali distinte <math>x_{1} = m - 1 \vee x_{2} = m + 3</math>.
 
Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti:
Riga 448:
|
{| style="border-top:1px solid black; border-bottom:1px solid black;text-align:left; background:white;" align="center" width="90%" border="0" cellspacing="0"
|+ <math>\tfrac{x^{2}}{m - 1} + 3 + m=\tfrac{2 m x}{m - 1} \left( 1 + \tfrac{1}{m} \right)</math>&nbsp;con&nbsp;<math>m \in \mathbb{R}</math>
|-
! style="border-bottom:1px solid black;"| Parametro
Riga 479:
L’equazione è fratta, poiché l’incognita <math>x</math> compare nel denominatore. Trasportiamo i termini del secondo membro a sinistra del segno di uguaglianza e scomponiamo in fattori i denominatori:
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{k + x}{2 x} \left( \tfrac{k + x}{k - x} + \tfrac{k - x}{k +x} \right) - k - \tfrac{2 k}{x ( k - x )} + 1=0\qquad \text{C.E.}\; x \neq 0 \wedge x \neq k \wedge x \neq - k.</math>}}
Svolgiamo i calcoli nella parentesi e moltiplichiamo: <math>\tfrac{k^{2} + x^{2}}{x ( k - x )} - k - \tfrac{2 k}{x ( k - x )} + 1=0</math>; Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamo il denominatore: <math>k x^{2} + k x \cdot ( 1 - k ) + k \cdot ( k - 2 )=0</math>;
 
''Discussione''
 
* Il primo coefficiente è <math>k</math>, se <math>k = 0</math> le <math>\text{C.E.}</math> si riducono a <math>x \neq 0</math> e l’equazione diventa <math>0x = 0</math> indeterminata, quindi <math>I.S. = \mathbb{R} - \{ 0\}</math> per le condizioni poste sull’incognita. Avendo studiato il caso <math>k=0</math>, possiamo ora supporre <math>k \neq 0</math>. Dividiamo tutti i coefficienti per <math>k</math>, l’equazione diventa <math>x^{2} + x \cdot ( 1 - k ) + ( k - 2 )=0</math>;
* il secondo coefficiente è <math>1-k</math>, se <math>k = 1</math> le <math>\text{C.E.}</math> sono <math>x \neq 0 \wedge x \neq 1 \wedge x \neq - 1</math> e l’equazione diventa <math>x^{2} - 1 = 0</math>, le soluzioni sono <math>x_{1} = -1 \vee x_{2} = 1</math> che non sono accettabili per le <math>\text{C.E.}</math>;
* il terzo coefficiente è <math>k-2</math>, se <math>k = 2</math> le <math>\text{C.E.}</math> sono <math>x \neq 0 \wedge x \neq 2 \wedge x \neq - 2</math> e l’equazione diventa <math>x^{2} - x = 0</math> le cui soluzioni sono <math>x_{1} = 0 \vee x_{2} = 1</math> di cui <math>x_{1} = 0</math> non è accettabile per le <math>\text{C.E.}</math>
Riga 644:
Si consideri il trinomio di secondo grado: <math>a x^{2} + b x + c</math> e sia <math>a x^{2} + b x + c = 0</math> (con <math>\Delta \geq 0</math>) l’equazione associata a tale trinomio. Effettuiamo le seguenti operazioni:
 
* si mette in evidenza <math>a</math>: <math>a x^{2} + b x + c = a \left( x^{2} + \tfrac{b}{a} x + \tfrac{c}{a} \right)</math>;
* si sostituiscono le relazioni trovate nel precedente paragrafo riguardo la somma e il prodotto delle soluzioni <math>x_{1}</math> e <math>x_{2}</math>: <math>a \left( x^{2} + \tfrac{b}{a} x + \tfrac{c}{a} \right) = a \left[x^{2} - ( x_{1} + x_{2} ) x + x_{1} \cdot x_{2} \right]</math>;
* si svolgono i calcoli nella parentesi quadra:
{{Testo centrato|
<math>a \left[ x^{2} - ( x_{1} + x_{2} ) x + x_{1} x_{2}\right] = a\left[ x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2}\right];</math>
}}
* si effettua il raccoglimento parziale e si ottiene:
{{Testo centrato|
<math>a \left[x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2}\right] = a \left[ {x \left(x - x_{1} \right) - x_{2} \left( x - x_{1}\right)}\right] = a \left( x - x_{1} \right) \left( x - x_{2} \right).</math>}}
 
Sulla base del segno di <math>\Delta</math> è possibile distinguere i casi illustrati in tabella:
Riga 664:
| Caso I:&nbsp;<math>\Delta > 0</math>
| <math>x_{1} \neq x_{2}</math>
| <math>a x^{2} + b x + c=a ( x - x_{1} ) ( x - x_{2} )</math>
|-
| Caso II:&nbsp;<math>\Delta = 0</math>
| <math>x_{1} = x_{2}</math>
| <math>a x^{2} + b x + c=a ( x - x_{1} )^{2}</math>
|-
| Caso III:&nbsp;<math>\Delta < 0</math>
Riga 674:
| <math>a x^{2} + b x + c</math>&nbsp; è irriducibile
|}
 
 
{{Algebra1/Esempio1| Scomporre in fattori i seguenti trinomi.
Line 682 ⟶ 681:
<p>Calcolo le soluzioni dell’equazione <math>x^{2} - 5 x + 6 = 0</math>. Si ha <math>x_{1\text{,}2} = \tfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}</math>, cioè <math>x_{1} = 2 \vee x_{2} = 3</math>. Applicando la formula ottenuta nel caso I si ha:
{{Testo centrato|
<math>x^{2} - 5 x + 6=( x - 2 ) ( x - 3 ).</math>
}}</p></li>
<li><p><math>x^{2} - 12 x + 36</math>.</p>
<p>Poiché <math>\Delta = 144 - 144 = 0</math> il trinomio è un quadrato di un binomio e applicando la formula ottenuta nel caso II si ha: <math>x^{2} - 12 x + 36=( x - 6 )^{2}</math>.</p></li>
<li><p><math>2 x^{2} + 3 x + 5</math>.</p>
<p>Essendo <math>\Delta=9 - 40=-31</math>, il trinomio è irriducibile.</p></li>
Line 691 ⟶ 690:
<p>Calcolo le radici dell’equazione associata <math>- 5 x^{2} + 2 x + 1 = 0</math>: <math>x_{1\text{,}2} = \tfrac{- 2 \pm \sqrt{24}}{- 10} = \tfrac{1 \pm \sqrt{6}}{5}</math> quindi <math>x_{1} = \tfrac{1 - \sqrt{6}}{5} \vee x_{2} = \tfrac{1 + \sqrt{6}}{5}</math> e scrivo la scomposizione:
{{Testo centrato|
<math>- 5 x^{2} + 2 x + 1=- 5 \left( x - \tfrac{1 - \sqrt{6}}{5} \right) \left( x - \tfrac{1 + \sqrt{6}}{5} \right).</math>
}}</p></li>
</ul>
Line 703 ⟶ 702:
}} }}
 
{{Algebra1/Osservazione| Si vuole scomporre in fattori il trinomio <math>m = 4 x^{2} + 2 x - 6</math>, avente tutti i coefficienti pari. Anche se osserviamo che tutti i suoi coefficienti sono pari, non possiamo dividire per due, non essendo un’equazione. Il polinomio <math>m = 2 x^{2} + x - 3</math> è diverso da quello assegnato, mentre le equazioni associate all’uno e all’altro sono equivalenti. Nel procedere alla scomposizione, una volta trovate le radici, per ottenere le quali possiamo anche usare l’equazione equivalente <math>2 x^{2} + x - 3 = 0</math>, è necessario moltiplicare per <math>a</math>. Quindi, in questo caso le radici sono <math>x_{1} = - \tfrac{3}{2} \vee x_{2} = 1</math> e pertanto il trinomio assegnato si scompone come: <math>4 x^{2} + 2 x - 6 = 4 \left( x + \tfrac{3}{2} \right) ( x - 1)</math>.
}}
== Regola di Cartesio ==
Line 801 ⟶ 800:
Si definisce ''parametrica'' un’equazione i cui coefficienti dipendono da un parametro. }}
 
L’equazione <math>3 x^{2} + ( k - 1 ) x + 2 - 3 k= 0</math> è parametrica di secondo grado nell’incognita <math>x</math>; i suoi coefficienti dipendono dal valore del parametro <math>k</math> e quindi la natura e il segno delle sue soluzioni dipendono da <math>k</math>.
 
In molti problemi di applicazione della matematica in situazioni reali in cui compare un parametro, non interessa tanto determinare le soluzioni dell’equazione che formalizza il problema, quanto sapere se le soluzioni hanno determinate caratteristiche. Sappiamo che attraverso i coefficienti di un’equazione di secondo grado si possono determinare alcune relazioni tra le sue soluzioni:
Line 809 ⟶ 808:
* il prodotto delle soluzioni è <math>x_{1} \cdot x_{2} = \tfrac{c}{a}</math>.
 
Nell’equazione <math>3 x^{2} + ( k - 1 ) x + 2 - 3 k = 0</math> si ha <math>\Delta = ( k - 1 )^{2} - 12 ( 2 - 3 k )</math> dipendente dal parametro <math>k</math>. Dall’analisi del <math>\Delta</math> si potranno dedurre quali condizioni deve verificare <math>k</math> affinché esistano soluzioni reali. Analizzando somma e prodotto <math>x_{1} + x_{2} = - \tfrac{( k - 1 )}{3}</math> e <math>x_{1} \cdot x_{2} =\tfrac{( 2 - 3 k )}{3}</math> potremo stabilire il segno ed altre caratteristiche delle soluzioni.
 
{{Algebra1/Esempio1| Data l’equazione <math>( k + 1 ) x^{2} + ( 2 k + 3 ) x + k = 0</math>, stabilire per quale valore di <math>k</math>
 
# l’equazione si riduce al primo grado;
Line 820 ⟶ 819:
 
# l’equazione diventa di primo grado se il coefficiente <math>a</math> si annulla, cioè se <math>k + 1 = 0</math> quindi <math>k = - 1</math>. In tal caso si ha una sola soluzione reale <math> x=1 </math>;
# studiamo il segno del discriminante: <math>\Delta = ( 2 k + 3 )^{2} - 4 k ( k + 1 ) \geq 0</math> da cui ricaviamo <math>4 k^{2} + 12 k + 9 - 4 k^{2} - 4 k \geq 0 \Rightarrow 8 k + 9 \geq 0.</math> Pertanto se <math>k = - \tfrac{9}{8}</math> le soluzioni sono coincidenti, se <math>k > - \tfrac{9}{8}</math> le soluzioni sono reali distinte, se invece <math> k<-\tfrac{9}{8} </math> non ci sono soluzioni reali;
# dalla formula della somma delle soluzioni ricaviamo <math>x_{1} + x_{2} = - \tfrac{( 2 k + 3 )}{( k + 1 )}</math> e quindi la somma sarà nulla se <math>2 k + 3 = 0 \Rightarrow k = - \tfrac{3}{2}</math>. Poiché <math>- \tfrac{3}{2} < - \tfrac{9}{8}</math>, per <math>k = - \tfrac{3}{2}</math> non ci sono soluzioni reali, infatti sostituendolo nell’equazione quest’ultima diventa <math> x^2+3=0 \Rightarrow x^2=-3</math> impossibile!
}}
 
Line 854 ⟶ 853:
\end{array}\right.</math>.
 
Essendo rettangolo, i lati del triangolo sono legati dal teorema di Pitagora quindi si deve verificare: <math>\overline {AB}^{2}= \overline {AC}^{2} + \overline {BC}^{2}\Rightarrow ( x + 2 )^{2} = ( x - 23 )^{2} + x^{2}</math>. Sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione risolvente di secondo grado, in forma canonica: <math>x^{2} - 50 x + 525 = 0</math> con <math>\Delta = 400</math>. L’equazione è quindi determinata pertanto esistono due soluzioni reali distinte: <math>x_{1} = 15 \vee x_{2} = 35</math> entrambe positive. Ai fini del problema <math>x_{1} = 15</math> non è accettabile, quindi il problema ha una sola soluzione: <math>\overline {BC} = 35 \Rightarrow \overline {AB} = 37</math> e <math>\overline {AC} = 12</math>. Conclusione: <math>2p = 35 + 37 + 12 = 84\text{m}</math>&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;<math>\text{Area}\; = 210\text{m}^2</math>. }}
 
{{Algebra1/Problema| Un padre aveva <math>26</math> anni alla nascita del figlio; moltiplicando le età attuali del padre e del figlio si ottiene il triplo del quadrato dell’età del figlio; calcolare le due età.<br /><br />
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''Soluzione'':&nbsp; Alla fine del primo anno in banca si hanno tra capitale e interessi
{{Testo centrato|
<math>{25\,000} + {25\,000} \cdot c = {25\,000} ( 1 + c ).</math>}}<br />
 
Nel secondo anno il tasso praticato è <math>c+{0,005}</math> che va applicato alla somma <math>{25\,000}(1+c)</math>. Si ottiene quindi l’equazione
{{Testo centrato|
<math>{25\,000} ( 1 + c ) ( 1 + c + {0,005} ) = {26\,291,10}.</math>}}<br />
 
Moltiplicando le parentesi tonde si ha <math>{25\,000} ( {1,005} + c + {1,005} c + c^{2} ) = {26\,291,10}</math> e poi dividendo per <math>{25\,000}</math> e ordinando otteniamo <math>c^{2} + {2,005} c - {0,046\,644}=0</math> con soluzioni
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Sia <math> M </math> il piede della perpendicolare da <math> B </math> al lato <math> b </math>; nel triangolo rettangolo <math> PMB </math> si ha <math>\overline {PB}^{2} = \overline {BM}^{2} + \overline {PM}^{2}</math> (*) per il teorema di Pitagora. Nel triangolo <math> BVM </math>, rettangolo in <math> M </math> con l’angolo <math> V </math> di <math> 60\text{°} </math> si ha <math>\overline {BM} = \tfrac{1}{2} \overline {BV} \cdot \sqrt{3} = 4 k\cdot \sqrt{3}</math>; <math>\overline {PM} = \overline {VP} - \overline {VM}</math> e <math>\overline {VM} = \tfrac{1}{2} \overline {VB} = 4 k</math>; per quanto detto sul triangolo <math> BVM </math>, si ha che <math>\overline {PM} = x - 4 k</math>; sostituendo in (*) si ottiene
{{Testo centrato|
<math>\overline {PB}^{2} = 48 k^{2} + ( x - 4 k )^{2}.</math>}}
 
Sia <math> N </math> il piede della perpendicolare da <math> A </math> al lato <math> b </math>; nel triangolo rettangolo <math> PNA </math>, con analogo ragionamento otteniamo: <math>\overline {PA}^{2} = \overline {AN}^{2} + \overline {PN}^{2}</math> (**) per il teorema di Pitagora. Nel triangolo <math> AVN </math>, rettangolo in <math> N </math> con l’angolo <math> V </math> di <math> 60\text{°} </math>, si ha <math>\overline {AN} = \tfrac{1}{2} \overline {AV} \cdot \sqrt{3} = k \cdot \sqrt{3}</math>; <math> \overline {VN} = \tfrac{1}{2} \overline {AV} = k</math> e <math>\overline {PN} = \overline {VP} - \overline {VN} = x - k</math>; sostituendo in (**) si ottiene
{{Testo centrato|
<math>\overline {PA}^{2} = 3 k^{2} + ( x - k )^{2}.</math>}}
 
Determiniamo l’equazione risolvente ricordando che il rapporto tra due segmenti è uguale al rapporto tra le rispettive misure ed elevando al quadrato si ha <math>\tfrac{\overline {PB}^{2}}{\overline {PA}^{2}} = 4</math>. Sostituendo quanto trovato si ottiene l’equazione <math>48 k^{2} + ( x - 4 k )^{2} = 4 \cdot \left[ 3 k^{2} + ( x - k )^{2} \right]</math> da cui <math>x^{2} = 16 k^{2}</math>.<br />
 
Si tratta di un’equazione di secondo grado pura avente due soluzioni reali opposte, essendo il secondo membro positivo. Quindi <math>x_{1} = -4 k</math> e <math>x_2=4 k</math>; per le condizioni poste solo <math> x_2 </math> è accettabile.<br />