Algebra 1/Numeri/Numeri Naturali: differenze tra le versioni

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{{Algebra1/Definizione| Dati due numeri naturali <math>n</math> e <math>m</math>, con <math>m\neq0</math>, il primo detto ''dividendo'' e il secondo ''divisore'', si dice ''quoziente esatto'' (o ''quoto'') un numero naturale <math>q</math>, se esiste, che moltiplicato per <math>m</math> dà come prodotto <math>n</math>. }}
 
L’operazione di divisione può essere indicata con diversi simboli:{{Testo centrato|<math>\quad n \div m=q\text{,}\qquad n : m=q\text{,}\qquad n/m=q.</math>}}
 
Se il quoziente esiste, il numero <math>m</math> si dice ''divisore'' di <math>n</math> oppure si dice che <math>n</math> è ''divisibile'' per <math>m</math>.
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La divisione con il resto ci permette di risolvere situazioni in cui dobbiamo dividere o raggruppare persone o altri oggetti indivisibili.
 
{{Algebra1/Esempio1| Dovendo raggruppare 321 studenti in classi da 30 alunni, dividiamo <math>321:30=10</math> con resto 21. I rimanenti 21 alunni possono formare un’altraun'altra classe oppure possono essere distribuiti nelle altre classi. }}
 
{{Algebra1/Osservazione| Nella definizione di quoziente abbiamo sempre richiesto che il divisore sia diverso da zero. In effetti, se il divisore è 0 non c’è nessun numero che moltiplicato per 0 ci possa dare un dividendo diverso da zero. Per esempio, nella divisione <math>5:0</math> dobbiamo ottenere un numero che moltiplicato per 0 dia 5; ciò non è possibile in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. Invece nella divisione <math>0:0</math> un qualsiasi numero è adatto come quoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto.}}
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La proprietà associativa ''non vale'' per le seguenti operazioni:
; sottrazione : <math>(a-b)-c\neq a-(b-c).\quad</math> Es. <math>(10-5)-2=3\neq 10-(5-2)=7</math>;
; divisione
: <math>(a:b):c\neq a:(b:c).\quad</math> Es. <math>(16:4):2=2\neq 16:(4:2)=8</math>;
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Il matematico Carl Friedrich Gauss<ref>matematico, astronomo e fisico tedesco (1777 - 1855).
</ref> fu un bambino prodigio. Si racconta che a nove anni il suo insegnante ordinò di fare la somma dei numeri da <math>1</math> a <math>100</math>. Poco dopo Gauss diede la risposta esatta sorprendendo il suo insegnante. Probabilmente egli aveva scritto in una riga i numeri da <math>1</math> a <math>100</math> e nella riga sottostante i numeri da <math>100</math> a <math>1</math>, notando che ogni colonna dava per somma <math>101</math>. Quindi, anziché sommare uno ad uno i numeri da 1 a 100, moltiplicando <math>100</math> per <math>101</math> e dividendo il risultato per <math>2</math>, Gauss aveva ottenuto rapidamente la risposta: <math>100 \cdot 101 : 2={5\,050}</math>.
 
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I numeri primi sono quindi i mattoni fondamentali dell’aritmetica, poiché gli altri numeri naturali possono essere ottenuti, in maniera univoca, come prodotto di primi.
 
Sebbene al crescere dei valori considerati i numeri primi diventino sempre più radi, essi sono comunque infiniti, come affermò Euclide<ref>matematico e scienziato della Grecia antica (367 ca. - 283 ).
</ref> con il seguente teorema che porta il suo nome: