Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori: differenze tra le versioni

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m Bot: Correggo errori comuni (tramite La lista degli errori comuni V 1.1)
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Poniamoci ora l’obiettivo opposto: se abbiamo il polinomio <math>x^{2}+5x+6</math> come facciamo a trovare ritrovare il prodotto che lo ha originato? Possiamo notare che il 5 deriva dalla somma tra il 3 e il 2, mentre il 6 deriva dal prodotto tra 3 e 2. Generalizzando:
 
{{Testo centrato|<math>\left(x+a\right)\cdot \left(x+b\right)=x^{{2}}+ax+bx+ab=x^{2}+\left(a+b\right) x+a\cdot b.</math>}}
 
Leggendo la formula precedente da destra verso sinistra:
 
{{Testo centrato|<math>x^{{2}}+\left(a+b\right) x+a\cdot b=\left(x+a\right)\cdot\left(x+b\right).</math>}}
 
Possiamo allora concludere che se abbiamo un trinomio di secondo grado in una sola lettera, a coefficienti interi, avente il termine di secondo grado con coefficiente 1, se riusciamo a trovare due numeri <math>a</math> e <math>b</math> tali che la loro somma è uguale al coefficiente del termine di primo grado ed il loro prodotto è uguale al termine noto, allora il polinomio è scomponibile nel prodotto <math>(x+a)(x+b)</math>.
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{{Algebra1/Esempio1| <math>t^{{3}}-z^{{3}}+t^{2}-z^{2}</math>.<br />
 
Il polinomio ha 4 termini, è di terzo grado in due variabili. Poiché due monomi sono nella variabile <math>t</math> e gli altri due nella variabile <math>z</math> potremmo subito effettuare un raccoglimento parziale: <math>t^{{3}}-z^{{3}}+t^{2}-z^{2}=t^{2}\cdot\left(t+1\right)-z^{2}\cdot \left(z+1\right)</math>, che non permette un ulteriore passo. Occorre quindi un’altraun'altra idea.<br />
 
Notiamo che i primi due termini costituiscono una differenza di cubi e gli altri due una differenza di quadrati; applichiamo le regole:
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e mettendo in evidenza il fattore <math>\left(m+2\right)^{2}</math> si può scrivere
 
{{Testo centrato|<math>\left(m+2\right)^{2}\cdot \left[ \left( m-2 \right)^2 -1 \right].</math>}}
 
Svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi quadre si ottiene
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{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
\left(m^{2}-4\right)^2-m^2-4m-4 &=\left(m+2\right)^2\cdot \left( m^2-4m+3 \right)\\
&=\left(m+2\right)^{2}\cdot \left(m-1\right)\cdot \left(m-3\right).\end{aligned}</math>
}}