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Matematica per le superiori/Geometria euclidea/I primi elementi/Enti fondamentali e assiomi: differenze tra le versioni

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== Gli assiomi di appartenenza ed alcune definizioni derivate ==
 
[[Immagine:Retta.png|250px|right|thumb|Figura 1]]
 
Questi assiomi sono così chiamati perché determinano le relazioni di appartenenza fra punti e rette, punti e piani, rette e piani e di punti, rette e piani con lo spazio.
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Si fissino due punti su un foglio di carta. Si provi quindi a far passare alcuni fili ben tesi per questi due punti. Ci si accorge, intuitivamente, che i vari fili si sovrappongono.
Si può, quindi, enunciare il seguente assioma, ricordando dell'analogia tra retta e filo teso e tra foglio e piano (Figura 1):
 
[[File:Retta.png|miniatura|Figura 1|sinistra]]{{clear|left}}
 
{{definizione|;Assioma 1:
Ogni coppia di punti A e B distinti dello spazio appartiene ad una e una sola retta.| clear: both;}}
 
[[Immagine:Retta_e_punto.png|250px|rightleft|thumb|Figura 2]]{{clear|left}}
 
Supponendo che nel piano ci siano altri punti che non appartengono alla retta (è sufficiente fissare sul foglio altri punti con una matita per rendersene conto) si ottiene il seguente assioma (Figura 2):
 
{{definizione|;Assioma 2:Data una retta r, esiste almeno un punto che non appartiene ad r.| clear: both;}}
 
[[Immagine:Punti_allineati_e_non.PNG|350px|rightleft|thumb|Figura 3]]{{clear|left}}
 
Quando tre '''punti''' appartengono ad una stessa retta si dicono '''allineati'''. Per esempio, i punti A, B e C della figura 3 sono allineati perché appartengono alla stessa retta a, i punti D, E ed F no, così come non lo sono i punti A, B, C e D.
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Si può quindi dedurre il seguente assioma:
 
{{definizione|;Assioma 3:Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano| clear: both;.}}
}}▼
 
È intuitivo verificare, poi, sempre con "fili e foglio", che:
{{definizione|;Assioma 4:Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano.| clear: both;}}
}}▼
 
{{definizione|;Assioma 5:Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette.}}
| clear: both;}}
 
{{definizione|;Assioma 6:Dato un piano α, esiste almeno un punto che non appartiene ad α.| clear: both;}}
}}
 
{{definizione|Lo '''spazio''' è l'insieme di tutti i punti.| clear: both;}}
}}
 
Alla luce della precedente definizione, scaturisce naturalmente il seguente assioma:
 
{{definizione|;Assioma 7:Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette ed infiniti piani.| clear: both;}}
}}
 
{{definizione|Una '''figura geometrica''' è un qualunque sottoinsieme dello spazio, ossia un qualunque insieme di punti.| clear: both;}}
}}
 
Dato che i punti, le rette ed i piani sono insiemi di punti, quindi, sono figure geometriche.
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N.B. Ai fini della trattazione non è indispensabile sapere cosa significhi spazio a n dimensioni.
 
{{definizione|Due '''rette''' si dicono '''complanari''' quando appartengono allo stesso piano.| clear: both;}}
}}
 
[[Immagine:Tipi_rette.PNG|400px|rightleft|thumb|Figura 4]]{{clear|left}}
 
Considerando due rette complanari, in base all'assioma A1 è evidente che due '''rette''' che hanno almeno due punti in comune si dicono '''coincidenti'''.
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== Gli assiomi di ordinamento ed alcune definizioni e teoremi derivati ==
 
{{definizione|Una '''retta''' si dice '''orientata''' quando su di essa è stato fissato un verso di percorrenza.| clear: both;}}
 
[[Immagine:Retta_orientata.PNG|250px|rightleft|thumb|Figura 5]]{{clear|left}}
 
Si immagini di camminare sulla retta orientata della figura 5 nel verso indicato dalla freccia: si incontrerà prima il punto A, poi il punto B ed, infine, C.
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* è '''antisimmetrica''': se A precede B, allora B non precede A.
* è '''transitiva''': se A precede B e B precede C anche A precede C.
▲}}
| clear: both;}}
 
Da ciò deriva la:
Line 98 ⟶ 90:
:* A precede B
:* B precede A
▲}}
| clear: both;}}
 
Ciò comporta che la '''relazione''' "precedere" tra i punti di una retta orientata è una relazione '''di ordine totale'''.
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{{definizione|'''Assioma 8'''
:La retta è un insieme di punti totalmente ordinato.| clear: both;}}
 
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