Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni
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Tutta la trattazione finora eseguita escludeva la presenza di materia. L'aria con buona approssimazione è equiparabile al vuoto per quanto riguarda l'elettrostatica, quindi la trattazione fatta finora si applica bene a un mezzo a cui siamo abituati. La materia modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici, esiste una quantità che definiremo nel seguito detta [[w:Resistivit%C3%A0_elettrica|resistività elettrica]] che varia di oltre 20 ordini di grandezza andando da un conduttore ideale (i metalli in generale)
Si definisce conduttore un corpo entro il quale siano presenti delle cariche elettriche libere di muoversi (al suo interno e sulla sua superficie). Come sappiamo tutti i corpi sono costituiti da particelle cariche (i nuclei degli atomi e gli elettroni di carica eguale
Nella situazione di equilibrio in un conduttore, le cariche si dispongono sulla superficie, sia quando il conduttore possiede una carica totale netta,
=== Campo elettrico all'interno e sulla superficie di un conduttore ===
Il campo elettrico all'interno di un conduttore è quindi sempre nullo in tutte le condizioni elettrostatiche, cioè quando le cariche, comunque presenti, sono in una posizioni fissa nello spazio. Se non fosse nullo il campo elettrico, allora all'interno del conduttore gli elettroni liberi sarebbero soggetti alla forza elettrica e quindi si muoverebbero sotto la sua azione. Chiaramente questo è in contraddizione con l'ipotesi di staticità.
Notiamo inoltre che il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore deve essere perpendicolare alla superficie: non vi possono essere componenti tangenziali. Se vi fossero tali componenti, allora gli elettroni si muoverebbero lungo la superficie del conduttore violando ancora la condizione di staticità. Come conseguenza, un conduttore continuo rappresenta un volume equipotenziale
=== Teorema di Coulomb ===
[[Immagine:Coulomb_law.png|300px|thumb|right|Dimostrazione del teorema di Coulomb mediante una superficie gaussiana infinitesima che attraversa un metallo.]]
Tale teorema derivabile dalla legge di Gauss mette in relazione il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore con la densità di carica superficiale <math>\sigma\ </math>.
Consideriamo un conduttore, come nella figura a fianco,
<math>E_nS_B=\frac {\sigma S_B}{\epsilon_0}\ </math>
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Il numero delle cariche libere in un conduttore è estremamente elevato, in genere maggiore di <math>10^{28}\ m^{-3}</math> in un comune conduttore. Questo fa sì che uno spostamento di pochi fm (<math>1\ fm=10^{-15}\ m</math>) delle cariche positive, rispetto alle cariche negative, riesce a generare campi estremamente intensi sulla superficie dei conduttori. Quindi è talmente sottile, in tutte le situazioni, lo strato di conduttore carico necessario a rendere nullo il campo all'interno, che sempre si parla di densità superficiale di carica quando si descrivono le proprietà dei conduttori.
Un esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica_nella_materia#5. Spessore strato carico in un conduttore|'''strato carico di un conduttore''']] chiarisce come in realtà, essendo molto elevata la densità
=== Induzione elettrostatica ===
[[Immagine:Electrostatic induction.svg|thumb|upright=1.5|Cariche superficiali indotte su oggetti metallici da parte di una carica vicina. Il campo elettrostatico ''(linee con frecce)''
di una carica positiva ''<span style="color:red">(+)</span>'' provoca la separazione delle cariche mobili
nel metallo. Le cariche negative ''<span style="color:blue">(blu)</span>'' sono attratte e si posizionano nella superficie affacciata alla carica esterna. La carica totale essendo nulla, nelle parti lontane rimangono zone con eccesso di cariche positive ''<span style="color:red">(rosse)</span>''. Le cariche indotte superficialmente cancellano esattamente il campo prodotto dalla carica esterna all'interno dei metalli.
A causa del fatto che in un conduttore, in condizioni elettrostatiche, il campo elettrico nel suo interno sia nullo e che esistono cariche elettriche positive e negative, si ha questo fenomeno che consiste nella ridistribuzione sulla superficie di un conduttore delle cariche (positive e negative) per annullare il campo nel suo interno. Quindi, in particolare, se pongo un oggetto carico nelle vicinanze di un conduttore, sulla superficie affacciata del conduttore al corpo carico si posizioneranno delle cariche di segno opposto in maniera da neutralizzare il campo all'interno del conduttore.
La neutralità del conduttore e la conservazione della carica rendono necessario il fatto che una carica eguale a quella esterna, che ha indotto la ridistribuzione delle cariche, si distribuisca sulla superficie lontana dal corpo inducente. Tale carica sarà esattamente eguale alla carica indotta sulla superficie vicina. Il fenomeno dell'induzione elettrostatica è tanto più forte quanto i conduttori sono vicini
Nella maggior parte dei casi, la determinazione della densità di carica indotta in un conduttore è un problema di difficile soluzione analitica. Esiste un metodo di calcolo detto [[Fisica_classica/Conduttori#Metodo della carica immagine|metodo della carica immagine]] che spesso è utilizzato per risolvere problemi di questo tipo (vedi alla fine).
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L'effetto è un fenomeno che si osserva nei conduttori carichi e consiste nella formazione di un campo elettrico più intenso in prossimità delle zone in cui la superficie del conduttore presenta un [[w:raggio di curvatura|raggio di curvatura]] minore. Quindi le punte sono sede di campi elettrici elevati. A causa di tale effetto i fulmini colpiscono in maniera preferenziale le zone appuntite come gli alberi, le punte aguzze delle montagne e le guglie.
Per comprendere analiticamente tale effetto consideriamo due sfere conduttrici di raggio <math>R_1\ </math>
<math>Q_1+Q_2=Q\ </math>
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=== Il campo all'interno di un conduttore cavo ===
[[Immagine:Emptycavity.png|400px|right|thumb|Una situazione impossibile dal punto di vista dell'elettrostatica.]]
Consideriamo un conduttore cavo, come nella figura, con ad esempio una carica positiva sulla superficie esterna come mostrato nella figura a fianco. Tale carica si dispone sulla superficie esterna addensandosi maggiormente nelle zone con minore raggio di curvatura. Preoccupiamoci della superficie interna. Vogliamo mostrare che, se la cavità è vuota (non vi sono cariche), sulla superficie interna non vi possono essere cariche.
Si dimostra con un ragionamento per assurdo.
Immaginiamo che una zona carica (A)
<math>\oint_L \vec E\cdot \vec {dl}\ </math>
[[Immagine:Faraday_cage_running_at_110000_V.jpg|300px|thumb|left|Una gabbia di Faraday a
Tale linea è in buona parte all'interno del conduttore dove l'integrale è identicamente nullo, mentre se eseguiamo il calcolo di tale integrale nella cavità, dal punto A al punto B, dove sono presenti cariche eguali e opposte, necessariamente tale integrale sarebbe non nullo. Infatti stiamo muovendoci da una zona con una carica A
▲necessariamente tale integrale sarebbe non nullo. Infatti stiamo muovendoci da una zona con una carica A ad una zona B carica di segno opposto (sappiamo che le linee del campo partono dalle cariche positive e vanno a finire su quelle negative). Si avrebbe quindi la contraddizione che l'integrale attraverso una linea chiusa del campo elettrostatico sarebbe diverso da zero. Ma questo contrasta con la conservatività del campo elettrostatico. Quindi l'ipotesi che si possano generare cariche eguali e di segno opposto sulla superficie interna porta ad una conseguenza assurda che si può escludere.
Bisogna puntualizzare che l'ipotesi iniziale è che nell'interno della cavità non in contatto con la superficie metallica non siano presenti cariche. Infatti se delle cariche sono piazzate in qualche posizione fissa all'interno della cavità, o sopra un isolante o un conduttore isolato dal conduttore principale, in tal caso ci può essere un campo elettrico all'interno della cavità. Notiamo che in questo caso sulla superficie interna del conduttore si accumulerà una carica eguale a quella all'interno della cavità: in maniera da annullare il campo all'interno del conduttore cavo e per la conservazione della carica una carica eguale a quella all'interno della cavità apparirà sulla superficie esterna. Ma anche in questo caso le cariche esterne
Notiamo che ben prima di dimostrare la cosa con un ragionamento logico, [[w:Michael_Faraday|M. Faraday]] aveva condotto degli esperimenti su conduttori cavi e aveva trovato tale effetto. Il fatto che un contenitore metallico è in grado di isolare l'ambiente interno da un qualunque campo elettrostatico presente al suo esterno, viene utilizzato nelle
==Capacità elettrica==
[[Immagine:CONDGEN.png|300px|right]]
La figura mostra un condensatore, cioè un oggetto formato da due conduttori isolati <math>a\ </math> e <math>b\ </math> di forma arbitraria (dette ''armature'' del condensatore). Supponiamo che sulle due armature vengano disposte cariche eguali
Chiamiamo <math>V\ </math> la differenza di potenziale (d.d.p.) tra i due conduttori. A causa del principio di sovrapposizione degli effetti, se moltiplichiamo per <math>n\ </math> la carica di ciascuno dei conduttori, anche la d.d.p. aumenterà della stessa quantità.
Questo vuol dire che una volta fissate le condizioni geometriche del sistema, la d.d.p. è direttamente proporzionale alla carica (in valore assoluto) sulle due armature. Quindi possiamo definire la costante di proporzionalità tra carica e d.d.p. come <math>C\ </math> che è detta '''capacità''' del condensatore:
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La capacità di un condensatore dipende dalla forma e dalla posizione relativa dei conduttori e non dal materiale di cui sono costituiti i conduttori stessi.
[[Immagine:Capacitors_Various.jpg|400px|left|Vari condensatori commerciali.]]
Nel sistema SI le dimensioni fisiche della capacità sono <math>[Carica]/[d.d.p]\ </math> e quindi l'unità di misura della capacità elettrica è il <math>C/V\ </math> che viene chiamato <math>
e <math>mF\ </math>. I condensatori rappresentano un elemento circuitale fondamentale per immagazzinare cariche elettriche e sono presenti in un numero enorme di applicazioni pratiche.
I condensatori usati nella pratica presentano il fenomeno dell'induzione completa tra le armature, presupporremo sempre nel seguito che tale condizione sia verificata. Cioè le due armature sono tali che l'unico campo elettrico, generato nel porre la carica positiva su una armatura e la negativa sull'altra, è compreso solo nello spazio tra le due armature. Tale condizione si verifica quando le due armature sono, o molto vicine, o sono un conduttore cavo chiuso con all'interno un alto conduttore o un conduttore isolato con l'altra armatura all'infinito. Per quanto riguarda quest'ultimo caso il concetto di capacità si può estendere
Ad esempio se si pone una carica <math>Q\ </math> su una sfera conduttrice di raggio <math>R\ </math>
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===Condensatore Piano===
[[Immagine:CONDPIA.png|300px|right|thumb|Un condensatore piano con distanza <math>d\ </math> tra le armature.]]
La figura a fianco mostra il più elementare dei condensatori, il condensatore ''piano''. In questo caso le armature sono due superfici piane parallele di area <math>S\ </math> separate da una distanza <math>d</math> (piccola rispetto alle dimensioni laterali delle armature).
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<math>\varepsilon_o=\frac {C\ d}{S}\ </math>
Quindi ha le dimensioni di una capacità elettrica diviso una lunghezza per questa ragione in genere si preferisce definire l'unità di misura della costante dielettrica del vuoto come:
<math>\varepsilon_o=8
===Condensatore sferico===
[[Immagine:Spherical Capacitor.svg|150px|right|thumb|Un condensatore sferico.]]
Immaginiamo di avere due sfere concentriche di raggio esterno <math>R_1\ </math> e interno <math>R_2\ </math>
come mostrato in figura. Immaginiamo di mettere una carica <math>Q\ </math> nella armatura interna
<math>\vec E=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^3}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
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<math>C=\frac Q{\Delta V}=4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2-R_1}\ </math>
<math>R_2=R_1+d\ </math> se <math>d\ll R_1\ </math> in questo caso
<math>C\approx 4\pi \varepsilon_o\frac {R_1^2}d=\varepsilon_o\frac Sd\ </math>
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Dove <math>S=4\pi R_1^2\ </math> è la superficie dell'armatura interna. Si ritrova una espressione simile a quella di un condensatore a facce piane e parallele.
Nell'altro caso estremo in <math>R_2\to \infty\ </math>, il condensatore si riduce
<math>C\approx 4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2}=4\pi \varepsilon_o R_1\ </math>
===Condensatore cilindrico===
[[Immagine:Cylindrical Capacitor.svg|250px|right|thumb|Un condensatore cilindrico.]]
Immaginiamo di avere un conduttore cilindrico di raggio
la lunghezza del condensatore, il campo elettrico è radiale e vale:
:<math>\vec E=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o r^2}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
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Immaginando di avere posto una carica <math>+Q\ </math> e <math>-Q\ </math> sulle armature estreme dei condensatori. A causa dell'induzione elettrostatica sulle armature opposte di ogni condensatore si deve formare una carica eguale e contraria.
Ma poiché la carica totale nel contatto tra la II armatura del condensatore 1 e la I del condensatore 2 deve essere nulla (in caso contrario si violerebbe il principio di conservazione della carica) sulla I armatura del condensatore 2 si deve avere una carica <math>+Q\ </math> e di seguito nella stessa maniera per i vari elementi della serie (applicando sia l'induzione elettrostatica
<math>V_i=\frac Q{C_i}\qquad con\ i=1,n\ </math>
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==Energia immagazzinata nel campo elettrico==
Calcoliamo il lavoro necessario a caricare un condensatore di capacità <math>C\ </math> con una carica <math>+Q\ </math> su una armatura e <math>-Q\ </math> sulla altra. Supponiamo che
<math>V'=\frac {q'}C\ </math>
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==Metodo della carica immagine==
Il metodo della carica immagine è un metodo di risoluzione di problemi di elettrostatica nei conduttori. La validità di tale teorema è un corollario del [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Unicit.C3.A0_della_soluzione_dell.27equazione_di_Poisson|teorema di unicità]], che stabilisce che il potenziale elettrico in un volume è unicamente determinato se il valore del potenziale è specificato in tutto il contorno quindi ponendo sorgenti fittizie che producono lo stesso potenziale nel contorno si possono determinare grandezze di interesse.
=== Una carica di fronte
[[File:methodofimages1.png|thumb|300px|Sistema reale]]
[[File:methodofimages32.png|thumb|300px|Sistema e la sua immagine]]
L'esempio più semplice dell'applicazione del metodo è quello di una carica puntiforme '''q''',
Il potenziale in ogni punto dello spazio, dovuto a queste due cariche puntiformi +'''q''' in +'''a''' e -'''q''' in -'''a''' sull'asse '''y''' è dato da:
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Quindi la carica totale indotta sul piano conduttore sarà l'integrale della densità di carica sull'intero piano:
: <math>Q_t = \int_S \sigma dS</math>
Posso definire sul piano conduttore la distanza dall'asse congiungente le due
quindi l'integrale di superficie diventa un integrale di una sola variabile:
: <math>Q_t =-q a\int_0^{\infty}\frac 1{\left(r^2 + a^2\right)^{3/2}} r dr</math>
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Poichè il campo elettrico nel vuoto soddisfa il principio [[Fisica_classica/Carica_elettrica#Sovrapposizione_delle_forze_elettriche|di sovrapposizione delle forze]], per un piano conduttore sotto un insieme di cariche puntiformi può ripetersi il ragionamento per ogni carica individualmente.
=== Una carica di fronte
[[File:Carica e sfera conduttrice.png|thumb|400px|Una carica di fronte a una sfera conduttrice.]]
Studiamo il problema di una carica puntiforme ''q'' a distanza
La carica indurrà sulla superficie del conduttore una carica indotta tale da annullare il potenziale nel volume della sfera, e quindi anche sulla sua superficie.
[[File:Carica immagine di sfera conduttrice a massa.png|thumb|400px|Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quello di una carica d fronte a una sfera conduttrice a massa.]]
In realtà due cariche puntiformi '''q''' e '''q'''' se di segno opposto generano un potenziale elettrico (assunto nullo il potenziale all'infinito) che si annulla lungo una sfera, con una opportuna scelta quindi della carica '''q'''' e della sua posizione spaziale si crea un sistema immagine che riproduce all'esterno della sfera conduttrice lo stesso problema fisico.
Facendo riferimento alla figura immagine,
:<math>V_S= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[\frac q{\sqrt{R^2\sin^2\theta +(a-R\cos \theta)^2}}+\frac {q'}{\sqrt{R^2\sin^2\theta +(b-R\cos \theta)^2}}\right]=0</math>
quindi deve essere:
Line 333 ⟶ 325:
:<math>R^2=ab</math>
:<math>b=\frac {R^2}a</math>
[[File:Carica immagine di sfera conduttrice isolata.png|thumb|400px|Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quello di una carica d fronte a una sfera conduttrice isolata.]]
Quindi a questo punto è facile determinare il campo elettrico nel vari punti dello spazio, e in particolare la forza attrattiva esercitata dalla sfera conduttrice:
:<math>F=\frac {qq'}{4 \pi \varepsilon_0(a-b)^2}=\frac {q^2R}{4 \pi \varepsilon_0a^3(1-R^2/a^2)^2}</math>
=== Una carica di fronte
Se la sfera conduttrice è isolata, chiaramente la carica totale immagine deve essere nulla in quanto per il teorema di Gauss il flusso del campo elettrico sulla sfera gaussiana costituita della superficie della sfera conduttrice deve essere nulla quindi per creare il sistema immagine assieme alla carica '''q'''' ci deve essere all'interno della sfera '''R''' una carica '''q''''. Che però deve produrre un potenziale elettrico (rispetto all'infinito) eguale in tutti i punti della superficie quindi la carica '''q'''' è posta al centro. Quindi il sistema immagine è composto di tre cariche puntiformi poste come indicato in figura.
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