Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

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==Unità di misura ed ordini di grandezza==
Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle del rapporto tra una energia e una carica elettrica. L'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detta [[w:Volt|Voltvolt]] ed equivale a [[w:Joule|Joulejoule]] diviso [[w:Coulomb|Coulombcoulomb]], indicato con il simbolo
 
<math>[V]=\frac {[Energia]}{[Carica]}=\frac {[J]}{[C]}\ </math>
I campi elettrici sono estremamente difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente, anche se finora la trattazione fatta escludeva la presenza di materia. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo fin dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità.
 
Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di Voltvolt a centinaia di Voltvolt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono estremamente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di Voltvolt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.
 
La carica dell'elettrone di circa <math>1.,6\times 10^{-19}\ C</math>, la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il Coulombcoulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche <math>m^3\ </math>, ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a <math>10^{-9}\ C/m^3\ </math>, la densità di carica presente nell'aria in una giornata
serena è di appena un ordine di grandezza inferiore a tale grandezza.
 
==Il dipolo elettrico==
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ede opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
:<math>\vec p=2q \vec a\ </math>
Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.
 
Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:
:<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math>
Se <math>r_1\ </math> ede <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, e se indichiamo con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere:
:<math>r_2-r_1\approx 2a\cos \theta\ </math>
ed anche:
 
=== Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici===
Se si ha un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno e ne si vuole capire la dinamica, allora è necessario calcolare la forza risultante ede il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Mentre per quanto riguarda il momento in genere è diverso da 0. Se il dipolo ha una angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:
:<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math>
Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>|\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo.
Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U.
 
Se <math>\theta \,\!</math> nella figura (a) ha il valore iniziale <math>{\theta }_0\,\!</math>, il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino ada un angolo <math>\theta \,\!</math> è:
:<math>W=\int dW = -\int_{{\theta}_0}^{\theta} \tau d\theta =-\int_{{\theta}_0}^{\theta} pE\sin \theta d\theta = -pE\int_{{\theta}_0}^{\theta}\sin \theta d\theta=pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]</math>
Possiamo associare a tale lavoro (che dipende solo dall'angolo tra il campo e il dipolo) una energia potenziale <math>\Delta U\!</math> che è pari per definizione:
:<math>\Delta U=-W=-pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]\ </math>
 
Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º: la scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e nella direzione del campo ede il massimo quando è allineato nella direzione del campo, ma con verso opposto.
Si ha quindi che:
:<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math>
O in forma vettoriale:
:<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>
La cosidettacosiddetta [[w:Carta_elettronica|carta elettronica]] utilizza la proprietà dei dipoli elettrici per orientare sullo schermo delle minuscole sferette che sono dei dipoli elettrici colorati di nero nell'elettrodo positivo e di bianco in quello negativo: tale tecnica a partire dal 1996 è utilizzata negli ''e-book''.
 
Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più complicata in quanto la risultante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. Si tratta in genere di un sistema rigido soggetto contemporaneamente a una forza risultante esterna e a un momento quindi la dinamica è quella di un [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido#Moto_rototraslatorio| moto rototraslatorio]]. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo (dovuto al momento delle forze) avviene più rapidamente rispetto al moto di trascinamento (dovuto alla variazione spaziale del campo elettrico). In questo caso vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si è allineato il dipolo e viene scelta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. Si tratta in genere di un sistema rigido soggetto contemporaneamente ad una forza risultante esterna ed a un momento quindi la dinamica è quella di un [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido#Moto_rototraslatorio| moto rototraslatorio]]. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo (dovuto al momento delle forze) avviene più rapidamente rispetto al moto di trascinamento (dovuto alla variazione spaziale del campo elettrico). In questo caso vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si è allineato il dipolo e viene scelta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
e quella della positiva <math>a\ </math>.
La risultante della forza sarà quindi:
Quindi:
:<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>
Cioè i dipolodipoli sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle macchine fotocopiatrici dove intensi campi elettrici trascinano il toner (dipoli) sulla carta e poi mediante un trattamento termico sono fissati su di essa.
 
Un esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#15. Due_dipoli|due dipoli]] che agiscono uno sull'altro possono chiarire meglio il ragionamento.
<math>U=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q_1q_2}{r_{12}}\ </math>
 
Si può estendere il ragionamento ada un sistema di <math>n\ </math> cariche <math>q_i\ </math>
poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:
 
 
=== Caso di una sfera uniformemente carica===
Immaginiamo di voler costruire una sfera uniformemente carica di raggio <math>R\ </math> e carica totale <math>Q\ </math>. Immaginiamo di assemblarla successivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume <math>d\tau =4\pi r^2 dr\ </math>. Il processo di costruzione iniziaha inizio con la sfera di raggio <math>r=0\ </math> e finisce con la sfera di raggio <math>R\ </math>.
 
La densità di carica vale ovviamente:
<math>dU=\frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \varepsilon_o}</math>
 
Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ede R si ha:
 
<math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \varepsilon_o}
 
==Conservatività del campo elettrostatico==
A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a
<math>b \ </math>. Se in particolare <math>a \ </math> coincide con <math>b \ </math>, cioè il cammino è una linea chiusa si ha che:
 
A_x}{\partial y}\right) \vec k</math>
 
Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Se abbiamo un corpo rigido che ruota con velocità angolare costante <math>\omega\ </math> attorno ada un asse, il rotore del campo delle velocità istantanee è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione con
intensità <math>2\omega\ </math>. Mentre se lo stesso oggetto si muove di moto traslatorio il vettore del campo vettoriale velocità è nullo,
 
Si dimostra analiticamente, [[w:Teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] che la circuitazione di un generico vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una linea chiusa <math>L\ </math> che delimita una superficie aperta <math>S\ </math> vale esattamente:
 
<math>
uno di superficie.
 
Nel caso specifico della circuitazione del campo Elettrostaticoelettrostatico:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=\int_S\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
:<math>\vec E = - \nabla V(\vec r) </math>
 
In altre parole, il campo elettrico è definito come il gradiente di una funzione scalare <math>V(\vec r)</math>. Trovare <math>V(\vec r)</math> è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico a partire da una data distribuzione di cariche. Essendo il potenziale elettrico una funzione scalare è molto più semplice avere a che fare con una funzione scalare, piuttosto che con una vettoriale come il campo elettrico. Sostituendo l'espressione del campo elettrico nella prima delle due equazioni di Maxwell sopra citate si ottiene l'equazione di Poisson, che ha la forma:
:<math>{\nabla}^2 V(\vec r) = - {\rho \over \varepsilon_0}</math>
In particolare in coordinate cartesiane assume la forma:
:<math>{\nabla}^2 f={\nabla}^2 (f_2-f_1)=0 \qquad f=0 \ su\ S</math>
Quindi la funzione <math>f</math> soddisfa l'equazione di Laplace, ma dobbiamo dimostrare che è anche identicamente nulla.
Per il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] possiamo trasformare l'integrale di volume della quantità nel flusso attraverso la superficie di contorno <math>S\ </math>, dove la funzione <math>f\equiv 0\ </math>:
:<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_Sf\vec \nabla f\cdot \vec{dS}=0\ </math>
Ma il primo termine può anche svilupparsi:
:<math>\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau=0</math>
La funzione integranda è continua (come la densità di carica), non è mai negativa (essendo un quadrato) e quindi perché l'integrale nella regione
<math>T\ </math> sia nullo occorre che anche <math>\vec \nabla f =0</math> in tutto il <math>T </math> che ha come contorno la regione <math>S </math>, quindi che la funzione <math>f </math> debba essere una costante nel volume e econtemporaneamentecontemporaneamente nulla sul contorno deve essere nulla da per tuttodappertutto. Quindi le due funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> sono identiche (a meno di una costante, ma il potenziale è definito a meno di una costante: quindi come si voleva dimostrare la soluzione è unica).
 
==Bibliografia==
Utente anonimo