Fisica classica/Cinematica: differenze tra le versioni
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La meccanica riguarda lo studio del moto dei corpi, all'aumentare del loro numero lo studio diventa molto complicato,
La [[w:Cinematica|cinematica]] è quel ramo della Meccanica Classica che studia il moto dei corpi materiali dal punto di vista puramente geometrico, senza occuparsi di studiare le cause che hanno prodotto quel tipo particolare di moto. Di quest'ultimo aspetto si occupa la [[Fisica_classica/Dinamica|Dinamica]] che, in meccanica classica d'impostazione newtoniana, tratta le forze
=[[w:Tempo|Tempo]]=
Uno dei punti di partenza della Meccanica Classica è il postulato sull'esistenza del tempo come grandezza continua e uniforme. Queste caratteristiche sono individuabili intuitivamente dal senso comune e possono essere così delineate con una discussione di tipo fenomenologico-metafisico:
# ''Continuità del tempo'': il tempo fluisce in modo continuo e non a scatti (come la lancetta dei secondi ad esempio) ovvero osserviamo la realtà come fluido divenire ([[w:Eraclito_di_Efeso|Eraclito]]) e non fotogramma per fotogramma.
# ''Uniformità del tempo'': il tempo fluisce in modo uniforme e sempre nello stesso verso, non si osservano infatti rapporti inversi di causa-effetto o fenomeni come il
Per riassumere rigorosamente queste caratteristiche i fisici
:''"Esiste il tempo una variabile continua sempre crescente"
Ma riprendendo Feynman<ref name=Feynmann> Feynman, Leighton, Sands, Lectures on Physics Vol.I cap. 5, Addison-Wesley 1963.</ref>, non ci interessa definirlo ma come misurarlo. Un modo naturale di misurarlo è di utilizzare un fenomeno che si ripete regolarmente che quindi definiamo periodico. Il giorno è stata probabilmente la prima misura periodica usata per caratterizzare il tempo. Attualmente gli astronomi usano calcolare il tempo con il [[w:Giorno_giuliano|giorno giuliano]] che è il numero di giorni passati dal mezzogiorno del lunedì 1º gennaio 4713 a.C. allo scopo di unificare differenti cronologie storiche. Per altri scopi il giorno non è una buona unità di misura in quanto la durata cambia nel corso dell'anno
[[File:ChipScaleClock2 HR.jpg|thumb|Un [[w:Orologio_atomico|orologio atomico]] su chip]]
L'unità di misura del sistema internazionale è il secondo (indicato con s), unità che è in qualche maniera riconducibile
===Tempi brevi===
In maniera artificiale sappiamo produrre segnali che hanno una durata molto breve; attualmente i [[w:Laser|laser]] sono gli oggetti artificiali che riescono
<math>1\ fs=10^{-15}\ s\ </math>. Mentre riusciamo a misurare eventi che hanno una durata temporale molto più breve, vi sono infatti delle [[w:Particella_elementare|particelle]] instabili che hanno una vita media inferiore a <math>10^{-24}\ s</math>. La fisica moderna pone un limite inferiore alla descrizione degli intervalli temporali nel [[w:Tempo_di_Planck|tempo di Planck]] <math>10^{-45}\ s</math>, per intervalli di tempo inferiore a tale tempo si dubita che il tempo conservi il suo carattere continuo. Ma tale tempo è molto lontano dai limiti sperimentali attuali.
===Tempi lunghi===
Il tempo più lungo immaginabile è di 13
=Spazio=
Allo stesso modo si individua una grandezza chiamato spazio che ha le proprietà di continuità (come il tempo) e [[w:Isotropia|isotropia]].
Per spiegare intuitivamente queste caratteristiche si può immaginare la continuità dello spazio come assenza di zone di inaccessibilità (a meno che non siano già occupate da un altro corpo). Possiamo spostare con continuità un oggetto mobile senza trovare dinanzi ostacoli inspiegabili
L'isotropia è l'assenza di direzioni preferenziali nello spazio, ovvero lo spazio ci appare con le stesse proprietà geometriche in tutti i luoghi. Se un oggetto è rettilineo questo oggetto non appare curvo o di lunghezza diversa se viene spostato in un punto differente dello spazio. Anche questa accezione dello spazio (isotropia) è valida in Meccanica Classica ma non in generale in altre teorie
In [[w:Cinematica|Cinematica]] ci si occupa solo di spazi che non creano troppi problemi, anzi più esattamente di spazi euclidei tridimensionali e quindi si assume come postulato lo spazio continuo, isotropo, euclideo, tridimensionale. Sussiste quindi, come per il tempo, il postulato seguente
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La distanza tra due punti dello spazio è una grandezza fisica chiamata lunghezza, l'unità di misura è il metro.
In origine, durante la rivoluzione francese nel 1791, venne definito come 1/10 000 000 del meridiano terrestre fra il polo nord e l'equatore, cercando di rendere universale
Infine nel 1963, poiché la velocità della luce nel vuoto è una grandezza fondamentale della natura e poiché il tempo è misurabile con grandissima precisione, il metro viene definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo.
=[[w:Grandezza_fisica|Grandezze fisiche]]=
Si intende come grandezza fisica una proprietà del mondo reale che può essere distinta qualitativamente e determinata quantitativamente.
La scelta del numero di grandezze fisiche da cui fare derivare tutte le altre è abbastanza arbitrario. Circa 50 anni fa la maggior parte degli stati ha stabilito il
Ogni altra grandezza fisica è derivata dal prodotto/rapporto di potenze di grandezze fondamentali. Il prodotto delle grandezze fisiche fondamentali è detto dimensione: ad esempio una superficie ha le dimensioni di una [L<sup>2</sup>], mentre un volume di una [L<sup>3</sup>],
una velocità di [LT<sup>-1</sup>]. L'[[w:Analisi_dimensionale|analisi dimensionale]] è abitualmente usata per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni.
Le altre grandezze fisiche fondamentali e quelle derivate verranno introdotte via via che serviranno.
Gli argomenti di funzioni esponenziali, trigonometriche e logaritmiche devono essere adimensionali, cioè dei
=Punto Materiale=
La modellazione matematica del moto
In cinematica si semplifica l'approccio alla realtà utilizzando la nozione di Punto Materiale e quindi si dovrebbe utilizzare la dizione Punto Materiale in luogo di corpo proprio per sottolineare sempre il grado di idealizzazione descritto.
===Traiettoria di un Punto Materiale===
Le posizioni successive occupate dal punto materiale nello spazio al variare del tempo costituisce un insieme continuo di punti che prende il nome di [[w:Traiettoria|
== Moto rettilineo ==
Cominciamo analizzando un semplice moto lungo la più semplice traiettoria: la retta, tale moto viene detto
===Velocità===
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Le dimensioni della velocità sono [v]=[LT<sup>-1</sup>].
La velocità nel sistema SI si misura in m/s, mentre nel linguaggio comune viene utilizzato km/h. Nel fare i calcoli bisogna fare attenzione a dividere le velocità espresse in km/h per 3
Possiamo chiederci quale potrebbe essere la velocità in ogni istante e per fare questo dovremo considerare piccolissimi intervalli di tempo, in pratica dovremo far tendere <math>\Delta t\,\!</math> a zero.
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:<math>dx = v(t)dt \Rightarrow \int_{x_0}^x dx' = \int_{t_0}^t v(t')dt' \Rightarrow x-x_0=\int_{t_0}^t v(t') dt'\Rightarrow x(t)=x_0+\int_{t_0}^t v(t') dt'</math>
Questa è la regola generale che mette in relazione la velocità con lo spazio percorso.
Notiamo come dalla conoscenza della [[w:Legge_oraria|legge oraria]] cioè x(t), lo spazio percorso in funzione del tempo, la determinazione della velocità istantanea è definita in maniera univoca. Mentre se conosciamo l'andamento della velocità in funzione del tempo la posizione la possiamo determinare in maniera relativa, in quanto qualsiasi posizione iniziale determina lo stesso andamento della velocità, quindi va specificata
===Moto rettilineo uniforme===
Questo è il caso più semplice in cui la '''velocità istantanea''' e la '''velocità media''' coincidono e valgono <math>v\ </math>, l'equazione del moto cioè la relazione tra la posizione istantanea <math>x(t)\ </math>
{{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v(t-t_0)\ </math>|id=1}}
Questo
==Accelerazione==
Lo stesso ragionamento può essere fatto con la velocità: infatti anch'essa potrebbe variare nel tempo
Anche per l'accelerazione possiamo definire una '''accelerazione media'''
:<math>a(t)=\frac{dv}{dt}</math>
Anche per l'accelerazione, integrando otteniamo la relazione che la lega alla velocità
:<math>dv = a(t)dt \Rightarrow \int_{v_0}^v dv' = \int_{t_0}^t a(t')dt' \Rightarrow v-v_0=\int_{t_0}^t a(t') dt'\Rightarrow v(t)=v_0+\int_{t_0}^t a(t') dt'</math>
=== Moto uniformemente accelerato ===
Combinando i risultati ottenuti e considerando <math>v\,\!</math>
{{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2</math>|id=2}}
Qui <math>v_0\ </math> è la velocità all'istante iniziale. Se <math>t_0=0\,\!</math>, l'equazione diviene
{{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\ </math>|id=3}}
La relazione tra la posizione spaziale
Alcuni esempi possono essere di aiuto per comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#1. Fascio_catodico|Moto di un elettrone]],
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===Caduta verticale dei gravi===
Se viene trascurato l'[[w:Attrito|attrito]] dell'aria ogni corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione costante <math>g=9
La [[w:legge oraria|legge oraria]] che descrive la caduta dei gravi è quella tipica del moto uniformemente accelerato con <math>t_0=0\,\!</math>:
{{Equazione|eq=<math>x(t)=x_{o} + v_{o}t - \frac{1}{2}gt^{2}</math>|id=4}}
Line 126 ⟶ 123:
{{Equazione|eq=<math>x(t)=A \sin(\omega t+\theta_0)\,\!</math>|id=5}}
Dove <math>A\,\!</math> è detta ampiezza del moto, <math>\omega\,\!</math> pulsazione e <math>\theta_0\,\!</math> la fase iniziale.
A causa delle proprietà della funzione [[w:Seno_(matematica)|seno]] la posizione oscilla tra -A
:<math>x_{o}=A \sin(\theta_0)\,\!</math>
Il moto è chiaramente periodico con periodo <math>T\,\!</math> cioè:
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{{Equazione|eq=<math>T=\frac {2\pi}{\omega}\,\!</math>|id=6}}
L'inverso del periodo si chiama [[w:Frequenza|frequenza]] ha le dimensioni di un <math>[T^{-1}]\,\!</math> e si misura in
:<math>\nu =\frac {1}{T}</math>
Derivando la legge del moto si ha l'equazione della velocità del punto:
Line 151 ⟶ 147:
L'ampiezza di oscillazione come la fase iniziale sono determinate dalle condizioni iniziali del moto.
Due esempi possono servire a mettere in chiaro quanto detto: il primo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#5. Moto arminico semplice|un semplice moto armonico]], il secondo è il calcolo
== Moto nello spazio==
La posizione di un oggetto nello spazio, come la sua velocità e accelerazione sono delle grandezze vettoriali, rappresentate come segmenti orientati. Nel caso della posizione si rappresenta con un segmento orientato con un estremo sull'origine e l'altro estremo sulla posizione istantanea del punto materiale nello spazio.
L'algebra dei [[w:Vettore_(matematica)|vettori]] viene utilizzata per caratterizzare la
Un vettore può essere espresso come somma di componenti lungo tre direzioni ortogonali (gli assi cartesiani).
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:<math>0=\frac {d(\hat u\cdot \hat u)}{dt}=2\hat u\cdot \frac {d( \hat u)}{dt}</math>
Quindi la derivata di un versore è un vettore normale al versore originale o nullo.
Solo se il versore non cambia di direzione nel tempo il valore della sua derivata è nullo, ma se il versore cambia direzione la derivata può assumere
Questo è anche evidente dalla figura a fianco in cui si precisa meglio il valore della derivata che è dato da
{{Equazione|eq=<math>\frac {d\hat u}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\hat u_{\varphi}</math>|id=8}}
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===Vettore di posizione===
[[File:Kinematics.svg|thumb|300px|Quantità cinematiche di un punto materiale: massa ''m'', posizione '''r''', velocità '''v''',
Se <math>O</math> è la posizione dell'osservatore e <math>P</math> la generica posizione di un punto materiale nello spazio geometrico, si definisce vettore di posizione il vettore <math>\vec{r}</math> rappresentato dal segmento orientato <math>\vec{OP}</math>. Per indicare questa corrispondenza in questa trattazione si utilizzerà la scrittura <math>\vec{r}\sim\vec{OP}</math>. Il vettore di posizione dipende dalla scelta del punto di osservazione <math>O</math>, quindi è un segmento orientato, ma la sua definizione permette di costruire delle quantità che sono indipendenti dalla scelta del punto di osservazione.
Queste quantità sono la velocità e l'accelerazione vettoriale.
==Posizione==
Per definire la posizione di un corpo è necessario definire un [[w:Sistema_di_Riferimento|sistema di riferimento]], ad esempio una linea con sopra delle tacche e dei numeri oppure un sistema di due assi la cui origine è definita in qualche modo (esempio il centro del campo di calcio 'Delle Alpi' di Torino o qualsiasi altro a seconda della squadra o dello sport preferito). La mia attuale posizione (ad esempio '''definendo'''
Si può definire lo spostamento in funzione del tempo facendo corrispondere
:<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}</math>
Avendo indicato con <math>\hat {\imath}</math>
==Sistemi di coordinate==
[[File:Coordonnees_polaires_plan.png|thumb|200px|Confronto tra coordinate cartesiane e polari nel piano.]]
Il sistema di coordinate usato finora implicitamente è un [[w:Sistema_di_riferimento_cartesiano|sistema di assi cartesiani]] in due o tre dimensioni.
In alcuni casi dotati di particolari proprietà di simmetria è preferibile usare nel piano un sistema che identifica la distanza '''r''' del punto dall'origine degli assi chiamata '''raggio vettore''' e dall'angolo <math>\theta\,\!</math> formato con l'asse delle ascisse.
Un sistema di questo genere si chiama sistema polare nel piano. La figura a fianco mette in evidenza la relazione tra coordinate cartesiane e polari nel piano. Di conseguenza le relazioni tra i due sistemi di coordinate sono le seguenti:
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Analizziamo ora la posizione di un punto che in un tempo ''t'' percorre un tratto di traiettoria.
Le posizioni sono <math>\vec r(t)</math>
:<math>\vec v_m=\frac {\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}</math>
Line 210 ⟶ 205:
Notiamo che la distanza dei punti non coincide con la traiettoria percorsa, ma è solo la misura della distanza tra le due posizioni su un piano. Ma se noi facessimo tendere <math>\Delta t \to 0</math> avremmo che
:<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}</math>
Se ne ricava allora che <math>d\vec r=ds \cdot \hat u_T</math> dove <math>\hat u_T</math> non è altro che il '''versore''' (un vettore unitario) che dà la direzione dello spostamento.
Ricaviamo così che <math>\vec v = \frac{d \vec r}{dt}=\frac{ds}{dt}\cdot \vec u_T=v\cdot \vec u_T</math>
e quindi possiamo dedurre che la velocità vettoriale individua in ogni istante la direzione
===Velocità in coordinate cartesiane===
Line 238 ⟶ 233:
Se la traiettoria cambia di direzione vi è oltre alla velocità trovata nel moto lineare, una componente non nulla della velocità nella direzione ortogonale al vettore posizione in definitiva:
:<math>\vec v=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\theta}{dt}\hat u_{\theta}=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}\ </math>
La velocità è tangente alla traiettoria e si compone di una parte radiale (<math>\frac {dr}{dt}\ </math>)
{{Equazione|eq=<math>v=\sqrt{\left(\frac {dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac {d\theta}{dt}\right)^2}\ </math>|id=9}}
Line 262 ⟶ 257:
anche se ha le stesse dimensioni di fisiche di un <math>t^{-1}\ </math>.
Il legame tra velocità angolare e velocità nel caso del moto circolare è chiaro, infatti
:<math>v=\omega R\qquad \omega=\frac vR\ </math>
Esaminiamo prima un caso più semplice il moto circolare uniforme, cioè un moto in cui <math>v\ </math> e di conseguenza <math>\omega\ </math> non variano nel tempo
:<math>T=\frac {2\pi R}v=\frac {2\pi }{\omega}\ </math>
La frequenza vale <math>\nu=1/T\ </math>.
Line 287 ⟶ 282:
{{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N=
\alpha R \vec u_T+\omega^2 R\vec u_N</math>|id=12}}
Dove il secondo termine è la accelerazione centripeta che abbiamo già visto nel moto circolare uniforme, mentre il primo termine lungo la traiettoria
Un caso semplice che ricorda il moto uniformemente accelerato è il caso in cui <math>\alpha\ </math> è costante in tal caso avremo che l'equazione del moto per l'angolo è:
Line 299 ⟶ 294:
===Velocità angolare - Notazione vettoriale===
[[File:Vectors_of_circular_motion.png|thumb|200px|Velocità angolare.]]
La velocità angolare può essere descritta da una quantità vettoriale che definisce il verso di percorrenza sulla circonferenza
{{Equazione|eq=<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>|id=14}}
Line 308 ⟶ 303:
e quindi
:<math>\vec a = \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v=\vec a_T + \vec a_N</math>
Quindi con questa notazione che non aggiunge niente dal punto di vista fisico, appare chiaro come il primo termine rappresenti la accelerazione tangenziale (cioè parallela alla traiettoria)
===Moto parabolico ===
[[Image:Trajectory_for_changing_launch_angle.gif|right|thumb|330px|Moto parabolico da una altezza di <math>200\ m\ </math>, con stessa velocità iniziale <math>50 m/s\ </math> e con una accelerazione diretta verso il basso
Questa è l'estensione in due dimensioni del moto accelerato uniforme, ad esempio la caduta dei gravi; in questo caso la direzione della accelerazione non varia nel tempo oltre
In questo caso la scelta più naturale degli assi è quella degli assi cartesiani e si assume come asse delle <math>y\ </math> la direzione della accelerazione <math>a\ </math>. Se chiamiamo <math>\alpha\ </math> l'angolo che la velocità iniziale ha con la direzione orizzontale, le equazioni del moto sono in coordinate cartesiane:
Line 339 ⟶ 334:
In coordinate cartesiane il vettore posizione in forma parametrica (con parametro il tempo) è:
:<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}+z(t)\hat k</math>
La velocità (che continua
:<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\hat {\imath}+\frac {dy}{dt}\hat {\jmath}+\frac {dz}{dt}\hat k=
v_x\hat {\imath}+v_y\hat {\jmath}+v_z\hat k</math>
:<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}\hat {\imath}+\frac {d^2y}{dt^2}\hat {\jmath}+\frac {d^2z}{dt^2}\hat k=
a_x\hat {\imath}+a_y\hat {\jmath}+a_z\hat k</math>
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