Algebra vettoriale: differenze tra le versioni

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== introduzioneIntroduzione ==
Nella analisi di molti fenomeni fisici, ci si interessa di quantità che possono essere classificate in base alle informazioni necessarie per specificarle completamente. Quantità quali massa, densità, e temperatura richiedono solamente la specificazione della loro grandezza; ovvero, tutto ciò che serve per specificarli è solamente un numero. Tali quantità sono denominate quantità scalari o semplicemente scalari. Le quantità come una forza o una velocità necessitano della specificazione di una grandezza e di una direzione. Le quantità di questo tipo sono denominate quantità vettoriali. Le quantità vettoriali che obbediscono a certe regole sono definite come vettori. Come si vedrà in seguito, non tutte le quantità vettoriali sono dei vettori. In problemi di fisica si possono verificarrverificare delle quantità che richiedono più informazioni di quelle necessarie per i vettori. Per esempio, per descrivere una quantità quale lo stress è necessario fornire una forza ed una superficie sulla quale la forza agiseagisce. Tali quantità sono note come tensori.<br>
 
Operazioni di algebra e calcolo quali quelle che sono note per le quantità scalari, sono pure state sviluppate per i vettori ed i tensori. L'algebra applicata i vettori e nota come algebra vettoriale, mentre il calcolo applicato ai vettori è noto come calcolo vettoriale o analisi vettoriale. Similmente abbiamo algebra tensoriale e calcolo tensoriale.<br>
Nell'analizzare un fenomeno fisico, si deve costituire una interrelazione tra le varie quantità che caratterizzano il fenomeno utilizzando le leggi della fisica (le leggi di Newton, le leggi della conservazione dell'energia, ect.). Per scrivere una legge fisica , si introduce un sistema di coordinate in un sistema di riferimento scelto e si esprime le varie quantità fisiche coinvolte tramite misurazioni eseguite rispetto a quel sistema. Quando vega scelta una tale procedura, la espressone della legge contiene termini che dipendono dal sistema di coordinate scelto e conseguentemente ha una forma diversa nei diversi sistemi. Ma le leggi della natura non dipendono dalla scelta artificiale del sistema di coordinate. Pertanto, potrebbe risultare necessario di cercare di esprimer le leggi naturali in una forma che non abbia attinenza con un sistema particolare di coordinate. Un modo di fare ciò è fornito dalle forme vettoriali e tensoriali. La notazione vettoriale esibisce le quantità quali gi spostamenti, le velocità, le forze, le accelerazioni, i momenti, le velocità angolari, ect. nel loro aspetto naturale: cioè, quantità che possiedono direzione, oltre alla grandezza. Similmente, la notazione tensoriale ci consente di trattare quantità che richiedono per la loro specificazione più informazioni dei vettori. Quando sia usata la notazione vettoriale non risulta necessario introdurre un sistema di coordinate. La notazione della analisi generica tensoriale ha a che fare con tutti i possibili sistemi di coordinate. Quindi, l'uso della notazione tensoriale generica e di quella vettoriale nella formulazione delle leggi fisiche le lascia in forma invariante. Lo studio di un fenomeno fisico tramite un sistema di equazioni in forma invariante, sovente conduce ad una sua più profonda comprensione. In più, l'uso della notazione vettoriale o tensoriale porta ad una semplificazione notevole nella analisi dei problemi.
 
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Nell'analizzare un fenomeno fisico, si deve costituire una interrelazione tra le varie quantità che caratterizzano il fenomeno utilizzando le leggi della fisica (le leggi di Newton, le leggi della conservazione dell'energia, ectetc.). Per scrivere una legge fisica , si introduce un sistema di coordinate in un sistema di riferimento scelto e si esprime le varie quantità fisiche coinvolte tramite misurazioni eseguite rispetto a quel sistema. Quando vegavenga scelta una tale procedura, la espressone della legge contiene termini che dipendono dal sistema di coordinate scelto e conseguentemente ha una forma diversa nei diversi sistemi. Ma le leggi della natura non dipendono dalla scelta artificiale del sistema di coordinate. Pertanto, potrebbe risultare necessario di cercare di esprimer le leggi naturali in una forma che non abbia attinenza con un sistema particolare di coordinate. Un modo di fare ciò è fornito dalle forme vettoriali e tensoriali. La notazione vettoriale esibisce le quantità quali gigli spostamenti, le velocità, le forze, le accelerazioni, i momenti, le velocità angolari, ectetc. nel loro aspetto naturale: cioè, quantità che possiedono direzione, oltre alla grandezza. Similmente, la notazione tensoriale ci consente di trattare quantità che richiedono per la loro specificazione più informazioni dei vettori. Quando sia usata la notazione vettoriale non risulta necessario introdurre un sistema di coordinate. La notazione della analisi generica tensoriale ha a che fare con tutti i possibili sistemi di coordinate. Quindi, l'uso della notazione tensoriale generica e di quella vettoriale nella formulazione delle leggi fisiche le lascia in forma invariante. Lo studio di un fenomeno fisico tramite un sistema di equazioni in forma invariante, sovente conduce ad una sua più profonda comprensione. In più, l'uso della notazione vettoriale o tensoriale porta ad una semplificazione notevole nella analisi dei problemi.
Il nosro obiettivo è duplice: (1) sviluppare le peculiarità importanti della analisi vettoriale e della analisi tensoriale Cartesiana, e (2) illustrare, con specifici esempi, il loro impiego nella formulazione di problemi fisici e nella derivazione di alcuni risultati generici afferenti a questi problemi. Con ciò in mente dobbiamo per promo intraprendere una spiegazione della analisi vettoriale. Poi ci daremo da fare ai tensori Cartesiani ed illustreremo il loro uso nelle loro applicazioni.<br>
 
Il nosronostro obiettivo è duplice: (1) sviluppare le peculiarità importanti della analisi vettoriale e della analisi tensoriale Cartesiana, e (2) illustrare, con specifici esempi, il loro impiego nella formulazione di problemi fisici e nella derivazione di alcuni risultati generici afferenti a questi problemi. Con ciò in mente dobbiamo per promo intraprendere una spiegazione della analisi vettoriale. Poi ci daremo da fare ai tensori Cartesianicartesiani ed illustreremo il loro uso nelle loro applicazioni.<br>
 
== rappresentazioneRappresentazione dei vettori ==
[[File:Presentazione di un vettore.png|right]]
Se P e Q sono due qualsiasi punti dello spazio, il segmento di linea orientato da P a Q localizza la posizione del punto Q rispetto al punto P. Tale segmento di linea orientato si denomina [[w:Vettore (matematica)|'''vettore posizione''']]. E' l'esempio più semplice di una quantità vettoriale. Graficamente rappresentiamo il vettore posizione da P a Q con una freccia che corre da P a Q come mostrato in figura. La lunghezza della freccia fornisce la grandezza della distanza da P a Q mentre il senso della freccia indica la direzione da P a Q. Seguendo l'esempio del vettore posizione rappresentiamo qualsiasi quantità vettoriale (per esempio, velocità, forza..) con una freccia di lunghezza proporzionale alla grandezza della quantità e puntante nella stessa direzione del vettore.
La grandezza di un vettore '''A''' è denotata da |'''A'''| o semplicemente dalla lettera '''A'''.<br>
Due vettori '''A ''' e '''B''' sono uguali se la grandezza di '''A''' è uguale alla grandezza di '''B''' e se la direzuine di '''A''' è la stessa della direzione di '''B'''. Pertanto, un vettore non cambia se viene spostato parallelamente a se stesso. Ciò significa che genericamente la posizione di un vettore nello spazio può venire scelta arbitrariamente. Tuttavia, in certe applicazioni (come nel calcolo del momento di una forza), il punto effettivo di ubicazione può essere importante. Un vettore, quando applicato in un particolare punto. è noto come vettore vincolato. Altrimenti è noto come vettore libero.<br>
Quando due o più vettori sono paralleli alla medesima linea, si dice che sono collineari. Quando siano paralleli ad uno stesso piano si dice che sono coplanaricomplanari.
 
== addizioneAddizione e sottrazione ==
[[File:Addition of position vectors.png|right|somma di vettori posizione]]
Siano P e Q due punti nello spazio e siano <math>\vec{\mathcal{OP}}</math> e <math>\vec{\mathcal{OQ}}</math> i rispettivi vettori posizione da un punto di riferimento O. <math>\vec{\mathcal{PQ}}</math> designa il vettore da P a Q. Da O il punto Q può essere raggiunto lungo il vettore <math>\vec{\mathcal{OQ}}</math> o, alternativamente, lungo il vettore <math>\vec{\mathcal{OP}}</math> a P e poi lungo il vettore <math>\vec{\mathcal{PQ}}</math> a Q. <math>\vec{\mathcal{OQ}}</math> viene definito come la somma dei vettori <math>\vec{\mathcal{OP}}</math> e <math>\vec{\mathcal{PQ}}</math>. Conseguentemente scriviamo<br>
e l'operazione di addizione si riduce ad una operazione di addizione. Il vettore negativo<math>\vec{\mathcal{(-B)}}</math> è della medesima ampiezza di <math>\vec{\mathcal{B}}</math> ma è rivolto nella direzione opposta di <math>\vec{\mathcal{B}}</math>
 
== definizioneDefinizione di un vettore ==
''Ora definiamo un vettore come una quantità che possiede sia una grandezza sia una direzione e sottostà alla legge del parallelogrammo dell'addizione.'' Che obbedisca alla legge del parallelogrammo è importante poiché ci sono delle quantità che hanno sia l'ampiezza che la direzione ma non si aggiungono secondo la legge del parallelogramma. Una rotazione portata a termine di un corpo rigido sebbene possegga grandezza e direzione non è un vettore poiché non ubbidisce alla legge del parallelogrammo. D'altra parte, una rotazione infinitesimale di un corpo rigido è un vettore.
[[File:Grandezze non vettoriali.png|right|dimostrazione che le rotazioni non sono commutative]]
 
Non tutte le grandezze dotate di modulo, , direzione e verso sono necessariamente dei vettori. Ad esempio, la rotazione di un corpo rigido attorno ad un particolare asse fisso nello spazio possiede un modulo (l'angolo di rota<ionerotazione una direzione e un verso (quelli dell'asse); due rotazioni di questo tipo però non si sommano secondo la regola di addizione dei vettori a meno che non si tratti di rotazioni infinitamente piccole. Questo si pupuò controllare facilmente quando i due assi sono perpendicolari fra di loro le rotazioni siano π/2 radianti (90 gradi). Consideriamo un oggetto, per es. una scatola, che sia disposta come nella figura accanto; , facciamoli subire due rotazioni , che chiameremo (1) e (2), la rotazione (1) lo porta nella posizione....... e la successiva rotazione (2) in quella della figura...... Ma se dopo averla riportata nella posizione iniziale , gli applichiamo prima la rotazione (2)e poi la (1)la sua posizione finale sarà quella della figura ...cioè diversa da quella raggiunta prima. Chiaramente la proprietà commutativa della somma vettoriale non è soddisfatta da queste rotazioni e quindi, anche se posseggono modulo, direzione e verso, le rotazioni finite non possono essere rappresentate da vettori.
radianti (90 gradi). Consideriamo un oggetto, per es. una scatola, che sia disposta come nella figura accanto; , facciamoli subire due rotazioni , che chiameremo (1) e (2), la rotazione (1) lo porta nella posizione.......ela successiva rotazione (2) in quella della figura......Ma se dopo averla riportata nella posizione iniziale , gli applichiamo prima la rotazione (2)e poi la (1)la sua posizione finale sarà quella della figura ...cioè diversa da quella raggiunta prima. Chiaramente la proprietà commutativa della somma vettoriale non è soddisfatta da queste rotazioni e quindi, anche se posseggono modulo, direzione e verso, le rotazioni finite non possono essere rappresentate da vettori.
 
== moltiplicazioneMoltiplicazione per un numero ==
Se un vettore è moltiplicato per un numero m, si ottiene un altro vettore, la cui grandezza è m volte maggiore di <math>\vec{\mathcal{A}}</math> e la cui direzione è uguale a quella di <math>\vec{\mathcal{A}}</math> .
 
== vettoreVettore unitario ==
Un vettore di lunghezza unitaria (cioè, di grandezza unitaria) è denominato vettore unitario. Considerando un vettore qualsiasi <math>\vec{\mathcal{A}}</math>
, formate il vettore
Un vettore unitario è impiegato per indicare una direzione.
 
== vettoreVettore nullo ==
Un vettore di grandezza ZERO è denominato [[w:vettore nullo|vettore nullo]]. Non possiede alcuna direzione definita.
 
== prodottoProdotto scalare di due vettori ==
[[File:Scalar product of two vectors.png|right|Prodotto scalare di due vettori]]
Oltre all'addizione, alla sottrazione e alla moltiplicazione per un numero, due ulteriori operazioni algebriche possono essere definite per le quantità vettoriali, note come '''prodotto scalare''' e '''prodotto vettoriale'''. Per introdurre il prodotto scalare, richiamerò il concetto di lavoro.
La proiezione su una direzione qualsiasi <math>\vec{\mathcal{e}}</math> di un vettore <math>\vec{\mathcal{A}}</math> fornita dal prodotto <math>\vec{\mathcal{A}}\cdot\vec{\mathcal{e}}</math>.
 
== prodottoProdotto vettoriale di due vettori ==
[[File:Moment of a force.png|right|Momento di una forza]]
Se due vettori sono paralleli tra loro, il loro prodotto vettoriale è zero. Al contrario, se <math>\vec{\mathcal{A}}</math> X <math>\vec{\mathcal{B}}=0</math> Se A = B i due vettori A e B sono paralleli o almeno uno di loro è zero. Ne consegue che il prodotto vettoriale per se stesso è zero.
 
== vettoreVettore area ==
[[File:Vector area.png|right|vettore area]]<br>
La grandezza del vettore <math>\vec{\mathcal{A}} X \vec{\mathcal{B}}</math> è uguale alla superficie del parallelogramma formata dai vettori <math>\vec{\mathcal{A}}</math> e <math>\vec{\mathcal{B}}</math>.
Ora qualsiasi superficie piana può essere vista come se avesse una direzione ed una grandezza, il carattere direzionale derivante dalla necessità di specificare l'orientazione nello spazio dell'area piana. E' consuetudine di denotare la direzione di una superficie piana tramite un vettore tracciato nella direzione della normale a detto piano.
 
== velocitàVelocità di un punto di un corpo rigido ruotante ==
[[File:Velocity of a point of a rotating body.png|right|velocità di un punto di un corpo ruotante]]
Il prodotto vettoriale di due vettori trova molte applicrightazioni geometriche e fisiche. La descrizione del momento di una forza attorno ad un punto è un esempio importante. La descrizione della velocità di un punto di un corpo rigido ruotante è un altro importante esempio che verrà qui considerato. Supponiamo che un corpo rigido stia ruotando in una certa direzione con una velocità angolare <math>\omega</math> attorno ad un dato asse. Vogliamo descrivere la velocità di un punto '''P''' del corpo. Si ponga che il vettore <math>\vec{\mathcal{V}}</math> denoti la velocità di un punto. Ciascun punto del corpo descrive un cerchio che giace in un piano perpendicolare all'asse e con il suo centro sull'asse. Il raggio del cerchio è la distanza perpendicolare dal punto in argomento all'asse. La grandezza della velocità del punto è uguale semplicemente al prodotto della velocità angolare <math>\ omega</math> e del raggio. La velocità <math>\vec{\mathcal{V}}</math>, diretta così come mostrato nella figura XXX è perpendicolare al raggio e all'asse di rotazione. Rappresentando la direzione di <math>\vec{\mathcal{V}}</math> con il vettore unitario <math>\vec{\mathcal{e}}</math> si ottiene<br>
Ciò specifica che la velocità angolare di un punto di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse è fornita dal prodotto vettoriale della velocità angolare e del vettore posizione tracciato da qualsiasi punto dell'asse di rotazione al punto in considerazione.
 
== vettoriVettori polare e assiale ==
Potrebbe essere stato osservato, durante le considerazioni precedenti, che c'è una certa differenza tra i vettori come la velocità angolare ed il momento di una forza ed i vettori come forza, velocità, spostamento ed etc. La differenza w:tra i due tipi di vettori sta nel modo in cui sono rappresentati dai segmenti di linea orientati (frecce) Nel caso di vettori come forza, velocità, etc., la direzione delle freccia è la direzione vera del vettore che rappresenta. I vettori che possono essere rappresentati in questo modo sono denominati vettori polari. Mel caso di grandezza come [[w:velocità angolare|velocità angolare]] e [[w:momento|momento]] la direzione della freccia non è la direzione reale della grandezza che rappresenta. In questo caso la direzione effettiva è quella di una rotazione attorno ad un asse e ciò che abbiamo fatto è di scegliere per rappresentare questa direzione mediante un segmento orientato lungo l'asse di rotazione. Per specificare la direzione di detto segmento si è adottato, naturalmente in modo arbitrario, la regola della mano destra (cioè. la convenzione della vite destrorsa). rappresentati secondo questo modo sono denominati vettori assiali.
 
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== prodottiProdotti multipli:prodotto triplo scalare e vettoriale ==
Ci riportiamo al prodotto di vettori. I prodotti di tre vettori sono denominati prodotti tripli Qualora <math>\vec{\mathcal{A}}</math>, <math>\vec{\mathcal{B}}</math> e <math>\vec{\mathcal{C}}</math> siano tre vettori qualsiasi, i prodotti tripli della forma
 
Per mostrare l'utilità di esprimere i vettori in forma composita, impostiamo un sistema basico di tre vettori non complanari. Poi, tutte le grandezze vettoriali siano espresse nella forma composita rispetto a questo sistema basilare. Una volta che ciò sia fatto, tutte le operazioni implicanti le grandezze vettoriali si ridureranno a operazioni
 
== specificazioneSpecificazione di un vettore ==
Nella sezione precedente si è visto che se due vettori sono uguali, le loro componenti, rispetto ad un sistema scelto di riferimento di tre vettori non complanari, sono equivalenti. Per converso, se le componenti corrispondenti di due vettori sono equivalenti, essi stessi sono equivalenti per grandezza e direzione. Ciò significa che un vettore è uniquamente determinato da un insieme di tre numeri reali che ne costituiscono le componenti.
Per specificare un vettore, grandezze oltre alle sue componenti possono essere usate. Per illustrare ciò, consideriamo un vettore <math>\vec{\mathcal{A}}</math>. Poniamo che a, b, c denotino le sue componenti rispetto ai vettori unitari <math>\vec{\mathcal{e_1}}</math>, <math>\vec{\mathcal{e_2}}</math> e <math>\vec{\mathcal{e_3}}</math> e che α, β e γ denotino gli angoli che il vettote A forma con <math>\vec{\mathcal{e_1}}</math>, <math>\vec{\mathcal{e_2}}</math> e <math>\vec{\mathcal{e_3}}</math>. Allora ciascuno degli insiemi (a,b,c), (α,β,γ), (b,γ,α), (c,α,β), (a,b,γ), eccetera, determina completamente la direzione e la grandezza di <math>\vec{\mathcal{A}}</math>.<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \vec{\mathcal{A}}:(q_1,q_2,q_3)</math>
 
== coordinateCoordinate cartesiane e sistema '''i,j,k''' dei vettori unitari ==
 
[[File:Cartesian coordinates.png|right|coordinate Cartesia<ne]]
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A=|\vec{\mathcal{A}}|=\sqrt(x^2+y^2+z^2)</math>
 
== nozioneNozione delle coordinate curvilinee ==
 
Analizzando alcuni problemi fisici, sovente è conveniente usare coordinate di maggiore generalita delle coordinate Cartesiane. Ora esamineremo come tali coordinate generali possano venire introdotte e caratterizzate.<br>
Nel punto '''P''' tracciamo una tangente su ciascuna delle linee coordinate. Queste tangenti sono assunte come gli assi coordinati nel punto '''P''' (vedi fig.). Questi assi sono considerati positivi nella direzione in cui '''q<sub>1</sub>''','''q<sub>2</sub>''','''q<sub>3</sub>''' aumentano spostandoci dal punto '''P'''. Lungo gli assi coordinati così formati delineiamo tre vettori unitari '''e<sub>1</sub>''' , '''e<sub>2</sub>''', '''e<sub>3</sub>'''. Questo sistema di [[w:vettore unitario|vettori unitari]] nel punto '''P''' può servire da sistema di riferimento per tutte le quantità vettoriali associate al punto '''P'''. Dovrebbe rapidamente venire notato che in un sistema di coordinate curvilinee che gli assi e il sistema di riferimento di vettori unitari non sono, in generale, di direzioni fisse nello spazio. Le loro direzioni variano da punto a punto. Si dovrà avere a mente questo aspetto delle coordinate curvilinee.
 
== coordinateCoordinate curvilinee ortogonali ==
[[File:Cylindrical coordinatios.png|right|]]
 
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{\mathcal{A}}=A_r\vec{\mathcal{e_r}}+A_\Theta\vec{\mathcal{e_\Theta}}+A_\Phi\vec{\mathcal{e_\Phi}}:(A_r, A_\Theta, A_\Phi)</math>
 
== prodottoProdotto di vettori in termini delle loro componenti ==
 
Ora esprimeremo in forma Cartesiana i vari prodotti che abbiamo precedentemente considerato. A questo fine scegliamo un sistema destrorso ortogonale di vettori unitari. Si denotino i vettori unitari con <math>\vec{\mathcal{e_1}}</math>,
Con ciò si conclude l'algebra vettoriale.
 
== trasformazioneTrasformazione delle componenti di un vettore sotto rotazione di un sistema di coordinate rettangolari ==
[[File:Rotation of a coordinate system.png|right|rotazione di un sistema diriferimento]]<br>
Si è visto che un ve ttore può venire descritto analiticamente tramite un insieme dinumeri che, in un qualche modo, sono correlati a un sistema di riferimento scelto di vettori unitari. Tali tre numeri devono ubbidire a certe specifiche regole, poiché non tutti gli insiemi di tre numeri costituiscono un vettore. Una di tali regole, per esempio, è la relazione con cui le componenti di un vettore si trasformano ruotando un sistema di coordinate rettangolari.<br>