Logica matematica/Incompletezza/Teoremi di incompletezza di Gödel: differenze tra le versioni
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\text{g}('y'),\overline q))</math>, dunque <math>\vdash_S \neg\gamma</math>. Perciò, se <math>\gamma</math> è dimostrabile, allora <math>S</math> è incoerente.
# Supponiamo che <math>S</math> sia ω-coerente, ma che, per assurdo, valga <math>\vdash_S \neg\gamma</math>, allora abbiamo che <math>\vdash_S \exists x
\text{Dim}_S(x,\text{g}('\gamma'))</math>. Essendo <math>S</math> ω-coerente, per il [[Logica matematica/Incompletezza/Teoremi di incompletezza di Gödel#Lemma di coerenza|lemma di coerenza]] esso è anche coerente, dunque, per il punto 1, vale <math>\nvdash_S \gamma</math>, cioè <math>\nvdash_S \neg\exists x
\text{Dim}_S(x,\text{g}('\gamma'))</math>. Quindi, essendo <math>Dim_S</math> rappresentabile in <math>S</math>, abbiamo che, per ogni <math>n</math>, <math>\vdash_S \neg\text{Dim}_S(\overline{n},\text{g}('\gamma'))</math>. Dunque, valendo sia <math>\vdash_S \exists x
\text{Dim}_S(x,\text{g}('\gamma'))</math> che <math>\vdash_S \neg\text{Dim}_S(\overline{n},\text{g}('\gamma'))</math> per ogni <math>n</math>, segue che <math>S</math> è ω-incoerente, contraddicendo l'ipotesi iniziale.
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