Algebra vettoriale: differenze tra le versioni

 
Siano x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> , le componenti del vettore posizione <math>\vec{\mathcal{r}}</math> rispetto ad un sistema di riferimento di vettori ortogonali unitari <math>\vec{\mathcal{e_1}},\vec{\mathcal{e_2}},\vec{\mathcal{e_3}}</math>. Se si fa ruotare questo sistema, mantenendo fissa l'origine, si ottiene un nuovo sistema ortogonale. Si denoti il nuovo sistema con <math>\vec{\mathcal{e'_1}},\vec{\mathcal{e'_2}},\vec{\mathcal{e'_3}}</math>. Riguardo a questo sistema indicizzato '''x<sub>1</sub>''', '''x'<sub>2</sub>''Si ha ', '''x'<sub>3</sub>''' siano le componenti le componenti del vettore posizione. Allora si ha<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \vec{\mathcal{r}}=\sum_{x=1}^3 x_i\vec{\mathcal{e_i}}=\sum_{j=1}^3 x_j\vec{\mathcal{e_j}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (26)</math>.<br>
 
Consideriamo prima la espressione nel sistema con apice. Otteniamo, usando l'equazione (31), <br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{j=1}^3 a'_ja'_j=\sum_{j=1}^3 (\sum_{i=1}^3 \alpha_{ij}a_i)(\sum_{k=1}^3 \alpha_{ij} a_k)</math><br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{k}\sum_{i} (\sum_{j} \alpha_{ij}\alpha_{kj}) a_ia_k</math>