Logica matematica/Incompletezza/Teoremi di incompletezza di Gödel: differenze tra le versioni
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Essendo <math>S</math> in grado di rappresentare funzioni ricorsive, esso può esprimere la relazione <math>Dim_S</math> e le funzioni <math>sost</math> e <math>g</math> all'interno del suo linguaggio <math>\mathcal{L}</math>, che conterrà i simboli di predicato e di funzione <math>\text{Dim}_S</math>, <math>\text{sost}</math> e <math>\text {g}</math>.
Consideriamo la formula <math>\gamma(y)</math> di <math>S</math>, contenente libera la variabile <math>y</math>:
:<math>\gamma(y)\equiv \neg\exists x \text{Dim}_S(x,\text{sost}(y,\text{g}(y),y))</math>
<math>\gamma(y)</math> afferma che non esiste una dimostrazione in <math>S</math> per la formula ottenuta dalla formula di gödeliano <math>y</math>, sostituendo (all'interno di essa) le occorrenze libere della variabile il cui gödeliano è <math>g(y)</math> (cioè <math>y</math>) con il gödeliano della formula stessa, cioè <math>y</math>. In breve, essa afferma che la formula ottenuta da tale sostituzione non è dimostrabile. Supponiamo ora che <math>q</math> sia il gödeliano di <math>\gamma(y)</math>, cioè: <math>q=g(\gamma(y))</math>.
Eseguiamo la seguente sostituzione su <math>\gamma(y)</math>: sostituiamo la variabile <math>y</math> con il numerale di <math>q</math>. Otteniamo così la formula chiusa <math>\gamma</math>:
:<math>\gamma\equiv \neg\exists x \text{Dim}_S(x,\text{sost}(\overline q,
\text{g}(y),\overline q))</math>
\text{g}(y),\overline q))</math></blockquote><math>\gamma</math> afferma che non esiste una dimostrazione in <math>S</math> per la formula ottenuta dalla formula di gödeliano <math>q</math>, sostituendo (all'interno di essa) le occorrenze libere della variabile <math>y</math> con il gödeliano della formula stessa, cioè <math>q</math>. In pratica, <math>\gamma</math> afferma che la formula che si ottiene tramite tale sostituzione non è dimostrabile, ma tale formula è esattamente <math>\gamma</math>, dato che <math>\gamma \equiv \gamma(y)[\overline{q}/y]</math>, quindi abbiamo che <math>g(\gamma)=sost(q,▼
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g(y),q)</math>. Dunque, <math>\gamma</math> afferma di non essere un teorema, cioè, è l'aritmetizzazione dell'enunciato metamatematico che afferma l'indimostrabilità di <math>\gamma</math>.
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