Algebra vettoriale: differenze tra le versioni

Siano x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> , le componenti del vettore posizione <math>\vec{\mathcal{r}}</math> rispetto ad un sistema di riferimento di vettori ortogonali unitari <math>\vec{\mathcal{e_1}},\vec{\mathcal{e_2}},\vec{\mathcal{e_3}}</math>. Se si fa ruotare questo sistema, mantenendo fissa l'origine, si ottiene un nuovo sistema ortogonale. Si denoti il nuovo sistema con <math>\vec{\mathcal{e'_1}},\vec{\mathcal{e'_2}},\vec{\mathcal{e'_3}}</math>. Riguardo a questo sistema indicizzato '''x<sub>1</sub>''', '''x'<sub>2</sub>''Si ha ', '''x'<sub>3</sub>''' siano le componenti le componenti del vettore posizione. Allora si ha<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \vec{\mathcal{r}}=\sum_{x=1}^3 x_i\vec{\mathcal{e_i}}=\sum_{j=1}^3 x_j\vec{\mathcal{e_j}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (26)</math>.<br>
 
Si voglia ora esprimere le componenti '''x'<sub>j</sup></sub>''' in termini delle componenti '''x<sub>i</sub>''' e viceversa. Per le componenti '''x'<sub>j</sup></sub>''' in cui '''j''' può essere 1, 2 e 3, si ha:<br>
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \vec{\mathcal{r}}=\vec{\mathcal{e'_j}}\cdot\vec{\mathcal{r}}=\sum_{i=1}^3 (\vec{\mathcal{e'_j}}\cdot\vec{\mathcal{e_i}})x_i=\sum_{i=1}^3(\vec{\mathcal{e_i}}\cdot\vec{\mathcal{e'_j}})x_i </math>
 
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{i=1}^3(\vec{\mathcal{e_i}}\cdot\vec{\mathcal{e'_j}})x_i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (27)</math>