Analisi matematica I/Teoremi sulle successioni: differenze tra le versioni
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Siano <math>(a_n),\ (b_n),\ (c_n)</math> successioni tali che
<div style="text-align:center"><math>a_n\leq c_n \leq b_n,\ \ \forall n\in \mathbb{N}</math></
Supponiamo inoltre che <math>(a_n)</math> e <math>(b_n)</math> convergano a <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>. Allora anche<br />
<div style="text-align:center"><math>\lim_{n \to \infty} c_n = \lambda</math></
}}
Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di <math>c_n</math> rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" <math>\lambda</math>, cioè un qualcosa di tipo <div style="text-align:center">
<math>\begin{matrix} a_n & & c_n & & b_n \\ \downarrow & & & & \downarrow \\ \lambda & \Rightarrow & \downarrow & \Leftarrow & \lambda\\ & & \lambda & &\end{matrix} </math></
=====Dimostrazione=====
Per ipotesi <math>(a_n)</math> e <math>(b_n)</math> convergono a <math>\lambda</math>, dunque
<div style="text-align:center"><math>\forall \varepsilon >0\ \exists m' \in \mathbb{N}\ :\ \lambda - \varepsilon < a_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m' </math><br /><math>\forall \varepsilon >0\ \exists m'' \in \mathbb{N}\ :\ \lambda - \varepsilon < b_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m'' </math></
Se <math>n > \max \{m',m''\}</math>, si ha che <math>\lambda - \varepsilon < a_n \leq b_n < \lambda +\varepsilon</math>, ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i <math>c_n</math> e vale per tutti gli <math>n \in \mathbb{N}</math>. <br />
Dunque <math>\lambda - \varepsilon < a_n \leq c_n \leq b_n < \lambda +\varepsilon</math> e posto <math>m= \max \{m',m''\}</math> si ha
<div style="text-align:center"><math>\forall \varepsilon >0\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ \lambda - \varepsilon < c_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m </math></
e dunque converge. {{endproof}}
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Prendiamo in esame una generica successione <math>\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}</math> e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che <math>a_n\to A\in\mathbb{R}</math> quando <math>n\to +\infty</math>, o scritto in modo più formale:
<div style="text-align:center"><math>\forall \varepsilon>0</math>, <math>\exist N(\varepsilon)\in\mathbb{N}</math> tale che <math>\forall n>N</math> si ha <math>|a_n-A|<\varepsilon</math></
Detto questo:
<div style="text-align:center"><math>|a_n|=|a_n-A+A|\leq|a_n-A|+|A|</math> (''disuguaglianza triangolare'')</
Per ipotesi possiamo trovare <math>N\in\mathbb{R}</math> tale che <math>|a_n-A|<\varepsilon, \forall n>N</math> pertanto:
<div style="text-align:center"><math>|a_n|<\varepsilon+|A|, \forall n>N</math></
possiamo concludere che <div style="text-align:center"><math>|a_n|<M\,\!</math> dove <math>M:=\max\{|a_1|,|a_2|,...,|a_N|,\varepsilon+|A|\}</math></
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==Successioni di Cauchy==
Sia <math>(a_n)</math> una successione reale. <math>(a_n)</math> si dice che è una '''successione di Cauchy''' se
<div style="text-align:center"><math>\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon,\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>p</math></
In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.
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=====Dimostrazione=====
Sia <math>(a_n)</math> convergente a <math>\lambda</math>. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:
<div style="text-align:center"><math>\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n - \lambda|<\varepsilon,\ \forall n\in \mathbb{N}, n>p</math> '''(*)''' </
Ora un trucchetto: se è vera la ''(*)'', allora varrà anche se al posto di <math>\varepsilon</math> prendo <math>\frac{\varepsilon}{2}</math>, tanto <math>\varepsilon</math> è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora
<div style="text-align:center"><math>\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n - \lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall n\in \mathbb{N}, n>p</math> '''(**)'''</
Dunque
<div style="text-align:center"><math>|a_n-a_m|\leq |a_n - \lambda|+|\lambda -a_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math></
ed infine
<div style="text-align:center"><math>|a_n-a_m| < \varepsilon</math></
====Teorema (completezza sequenziale di <math>\mathbb{R}</math>)====
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Fissiamo ora un numero <math>k \in \mathbb{R}</math> e otteniamo <math>|a_n-a_m|<k,\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>p</math>. Allora
<div style="text-align:center"><math>|a_n| \leq |a_n-a_{p+1}|+|a_{p+1}|< k + |a_{p+1}|</math></
e dunque, per ogni <math>n</math> si ha che
<div style="text-align:center"><math>|a_n| \leq \max \{|a_1|,\dots,|a_p|,k+|a_{p+1}|\}</math></
dunque <math>(a_n)</math> è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di <math>(a_n)</math> <math>(a_{k_n})</math> convergente a <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>. Dunque <math>\forall \varepsilon >0 \exists p_1 \ :\ |a_{k_n}-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall n\in \mathbb{N},n>p_1</math>.
Poniamo poi <math>P=\max \{p,p_1\}</math> e se <math>n>P</math> (e dunque <math>k_n > P</math> perché <math>k_n \geq P</math>) abbiamo
<div style="text-align:center"><math>|a_n-\lambda|\leq |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon</math></
Dunque <math>(a_n)</math> converge a <math>\lambda</math>. {{endproof}}
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