Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte): differenze tra le versioni
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===Valore assoluto===
Sia <math>x \in \mathbb{R}</math>. Si definisce il '''valore assoluto''' (o modulo) di <math>x</math> il numero reale denotato con <math>|x|</math> tale che
<div style="text-align:center"><math>|x|=\max \{x,-x\}</math>.</
====Proposizione (proprietà del valore assoluto)====
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===Parte intera===
Sia <math>x \in \mathbb{R}</math>. Si definisce il '''parte intera''' di <math>x\,</math> il numero intero, denotato con <math>[x]\,</math>, tale che:
<div style="text-align:center"><math>[x]=\max\{a \in \mathbb{Z} | a\leq x\} </math>.</
===Mantissa===
Sia <math>x \in \mathbb{R}</math> e <math>[x]\,</math> ''parte intera'' di <math>x\,</math>. Si definisce il '''mantissa''' di <math>x\,</math> il numero reale, denotato con <math>(x)\,</math>, tale che:
<div style="text-align:center"><math>(x)= x - [x] \,</math></
===Induzione matematica e insiemi induttivi===
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====Insieme dei numeri naturali====
<div style="text-align:center"><math>\mathbb{N}=\{x \in \mathbb{R}\ :\ x \in I,\forall I \in \mathcal{I}\} </math></
In altre parole, <math>\mathbb{N}</math> è il più piccolo degli insiemi induttivi.
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{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
<math>\mathbb{R}</math> è archimedeo, cioè
<div style="text-align:center"><math>\forall x>0,y \in \mathbb{R}\exists n\in \mathbb{N}\ :\ nx>y</math></
}}
=====Dimostrazione=====
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====Teorema (densità dei razionali nei reali)====
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
<div style="text-align:center">Siano <math>x,y \in \mathbb{R}\ </math> e sia <math>x<y</math>, allora <math>\exists z \in \mathbb{Q}\ :\ x<z<y</math></
}}
=====Dimostrazione=====
Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che <math>x<y</math> da cui si evince facilmente che <math>y-x>0</math>. Poniamo, per alleggerire le notazioni, <math>t=y-x</math>. Poiché <math>\mathbb{R}</math> è archimedeo allora esisterà un <math>n\in\mathbb{N}</math> tale che <div style="text-align:center"><math>nt>1\,\!</math> e quindi <math>t>\frac{1}{n}</math></
Osserviamo ora che <math>y</math> può essere riespresso come <div style="text-align:center"><math>y=x+t>x+\frac{1}{n}\geq\frac{[nx]}{n}+\frac{1}{n}=\frac{m}{n}</math></
<div style="text-align:center"><math>x<\frac{m}{n}<y</math></
con <math>m,n \in\mathbb{Z}</math> e di conseguenza <math>\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}</math>.
{{endproof}}
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