Analisi matematica I/Numeri reali: differenze tra le versioni
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===Insiemi limitati===
Sia <math>(A,\leq)</math> un insieme ordinato e <math>A'\subseteq A</math> un sottoinsieme non vuoto. Allora <math>a\in A</math> si dice '''maggiorante''' di <math>A'</math> se
<div style="text-align:center"><math>a\geq b,\ \forall b\in A'</math></
Analogamente si dice che <math>a \in A</math> è '''minorante''' di <math>A</math> se
<div style="text-align:center"><math>a \leq b,\ \forall b \in A'</math></
Se <math>a</math> è maggiorante (minorante) ed è anche appartenete ad <math>A'</math>, allora si dice che <math>a</math> è il '''massimo''' ('''minimo''') di <math>A'</math>. Si indicano rispettivamente con
<div style="text-align:center"><math>\max A\ \ \ \ \ \min A</math></
Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.
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Siccome <math>m'</math> è un elemento di <math>A</math>, per la (*) si ha <math>m \geq m'</math>. D'altra parte, siccome anche <math>m\in A</math>, per la (**) abbiamo <math>m'\geq m\in A</math>.<br />
Allora altro non può essere che
<div style="text-align:center"><math>m=m'</math>.</
===Estremo superiore e inferiore===
Si dice '''estremo superiore''' il più piccolo dei maggioranti ed '''estremo inferiore''' il più grande dei minoranti. In altri termini:
<div style="text-align:center"><math>\sup A = \min \{x \geq a,\ \forall a\in A\} </math><br /><math>\inf A = \max \{ x \leq a,\ \forall a\in A\}</math></
Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).
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=====Dimostrazione=====
<math>A</math> è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in <math>\mathbb{I}</math> l'insieme dei minoranti di <math>A</math>
<div style="text-align:center"><math>M=\{m \leq a,\ \forall a \in A\}</math>.</
{{cassetto|titolo=Esercizio: L'insieme dei numeri razionali non è completo|testo=
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Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che <math>\mathbb{Q}</math> è completo; dunque forniamo un controesempio.<br />Consideriamo
<div style="text-align:center"><math>R=\{x\in \mathbb{Q}\ :\ x>0,\ x^2<2\}</math></
<math>R</math> non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che <math>2^2 = 4 > 2 \Rightarrow 2 > x,\forall x\in R</math>). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un <math>m\in \mathbb{Q}</math> il minore di tutti i maggioranti di <math>R</math>.
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