Analisi matematica I/Funzioni circolari: differenze tra le versioni

Notiamo che per ogni punto di <math>U</math> esiste un solo <math>\alpha \in U^+</math> tale che <math>\alpha^2=u</math>. Infatti se così non fosse, avremmo che <math>u^2-\alpha^2=0</math> e di conseguenza <math>(u-\alpha)(u+\alpha)=0</math>, che implica <math>u=\alpha</math> o <math>u=-\alpha</math>. Ma per ipotesi <math>\alpha \in U^+</math> e dunque non è possibile che anche <math>-\alpha \in U^+</math> e dunque non può essere <math>u=-\alpha</math> e così l'unicità è dimostrata.<br />

Ponendo (sempre considerandoci in <math>U^+</math>

si ha infatti:

:<math>\left(\frac{1+u}{\left|1+u\right|}\right)^2= \frac{\left(1+2u+u^2\right)^2}{\left(\sqrt{\Re ^2(1+u) + \Im ^2 (1+u)}\right)^2 }= \frac{1+2(a+ib)+a^2+2aib -b^2}{\left(\sqrt{(1+a)^2 + b^2}\right)^2} </math>. Ora, ricordando che <math>a^2+b^2=1</math> perché <math>\cos^2 x + \sin^2 x = 1</math> e sostituendo al numeratore <math>b^2</math> con <math>a^2 -1 </math>, abbiamo

 

Definiamo un'altra successione estremamente importante: la successione "lunghezza dell'arco" da <math>1</math> a <math>u</math> come

cioè, la lunghezza dell'arco trovato per ogni <math>n \in \mathbb{N}</math> applicato alla successione <math>\alpha</math> comporta che il segmento disti <math>|\alpha (n)-1|</math> e dunque, siccome sono <math>2^n</math>, la lunghezza dell'intero arco fino ad <math>u</math> è data da <math>2^n |\alpha (n)-1|</math>. La figura sotto chiarisce meglio la situazione ad esempio, nel caso di <math>n=2</math>.

 

 

Inoltre, <math>L(uv)=L(u)+L(v)</math>. La dimostrazione la omettiamo per brevità, ma vi invitiamo a darci un'occhiata sul libro di testo che avete. Osserviamo solo che

Infatti, nel caso <math>u\neq -1</math>, visto che <math>u \in U\setminus U^+</math>, <math>-u \in U^+</math> e dunque

:<math>L(u)=L((-1)(-u))=L(-1)+L(-u)=\pi + L(-u)</math>.

 

Per ogni <math>t \in [0,2\pi[</math> poniamo

 

Essendo <math>e^{it} \in U</math>, possiamo porre

 

====Formula di Eulero====