Logica matematica/Insiemi: differenze tra le versioni

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Per esempio, se scriviamo <math>A=\{x \in \N|x>3\ e\ x<5\}</math>, la frase "<math>x>3\ e\ x<5</math>" è un enunciato vero-funzionale che stabilisce una proprietà degli elementi <math>x</math> che appartengono ad <math>A</math>; in questo caso, il solo numero <math>4</math>. Quindi, la definizione intensionale di <math>A</math> sta per l'enunciato<blockquote><math>x \in A</math> sse <math>x \in \N\ e\ x>3\ e\ x<5</math></blockquote>che risulta dalla combinazione di più enunciati elementari: <math>x \in A</math>, <math>x \in \N</math>, <math>x>3</math>, <math>x<5</math>.
 
Ci limitiamo qui ad introdurre dei concetti di base delle operazioni vero-funzionali utilizzate nella definizione di insiemi, e rimandiamo alla logica proposizionale per un'introduzione formale agli enunciati e alla loro costruzione tramite ''connettivi logici''. Sono operazioni vero-funzionali <math>non,\ e,\ oppure,\ se...alloraimplica,\ sse</math>.
 
{{Definizione|Se <math>A</math> non menziona operazioni vero-funzionali, allora è un enunciato elementare (anche detto ''atomo''), ed è verificato in base al contesto.}}
 
Dati due enunciati <math>A</math> e <math>B</math> e le operazioni vero-funzionali <math>non,\ e,\ oppure,\ se...allora,\ sse</math>, un enunciato è verificato in accordo alle seguenti regole:
 
# <math>non(A)</math> è verificato sse <math>A</math> non è verificato.
# <math>(A\ e\ B)</math> è verificato sse sono verificati entrambi <math>A</math> e <math>B</math>.
# <math>(A\ oppure\ B)</math> è verificato sse è verificato <math>A</math>, oppure è verificato <math>B</math>.
# <math>(A\ implica\ B)</math>è verificato sse non è verificato <math>A</math>, oppure è verificato <math>B</math>.
# <math>(A\ sse\ B)</math> è verificato sse entrambi <math>A</math> e <math>B</math> sono verificati, oppure entrambi <math>A</math> e <math>B</math> non sono verificati.
 
Dalle precedenti definizioni, si può evincere che un enunciato <math>A</math> può essere una proprietà, come <math>Cane(x)</math>, <math>Padre(Geppetto,Pinocchio)</math>, oppure può risultare dalla combinazione di altri enunciati, tramite le operazioni vero-funzionali, in accordo alle precedenti regole. In genere, si usano le parentesi per stabilire la precedenza delle operazioni; talvolta, in contesti in cui la precedenza degli operatori non dà adito ad ambiguità, le parentesi sono omesse, ad esempio <math>nonA</math>.
 
Per il simbolo <math>=</math> valgono le seguenti proprietà, dove <math>A</math>, <math>B</math> e <math>C</math> possono essere entità, insiemi oppure enunciati:
 
# <math>A=A</math> (Riflessività);
# <math>A=B</math> sse <math>B=A</math> (Simmetricità);
# se <math>A=B</math> e <math>B=C</math> allora <math>A=C</math> (Transitività).
 
{{Avanzamento|25%|31 dicembre 2015}}