Logica matematica/Incompletezza/Teoremi di incompletezza di Gödel: differenze tra le versioni
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== Secondo Teorema di incompletezza ==
=== Predicato di dimostrabilità ===
Supponiamo che <math>Teor_S</math> sia il predicato che descrive la proprietà "essere un teorema", in relazione ad una formula (e dunque un gödeliano). Detto formalmente,<blockquote><math>\text{Teor}_S(n) \equiv \exists m\text{Dim}_S(m,n) </math></blockquote>ovvero, il predicato è vero sse esiste un <math>m</math> tale per cui esso è il gödeliano che rappresenta una dimostrazione della formula rappresentata da <math>n </math>.
==== Proprietà ====
Per ogni formula <math>\alpha</math>, sia <math>\overline\alpha=\text{g}(\alpha)</math>.
Il predicato unario <math>\text{Teor}_S</math>, per essere considerato valido, deve (o '''<u>dovrebbe</u>''') godere delle seguenti proprietà.
Date due formule <math>\alpha,\ \beta</math>:<blockquote>'''T1.''' Se <math>\vdash_S \alpha </math>, allora <math>\vdash_S \text{Teor}_S(\overline{\alpha}) </math>;</blockquote><blockquote>'''T2.''' <math>\vdash_S \text{Teor}_S(\overline{\alpha}) \to \text{Teor}_S(\overline{\text{Teor}_S(\overline{\alpha})}) </math>;</blockquote><blockquote>'''T3.'''<math>\vdash_S \text{Teor}_S(\overline{\alpha}) \and \text{Teor}_S(\overline{\alpha \to \beta}) \to \text{Teor}_S(\overline{\text{Teor}_S(\overline{\beta})}) </math>;</blockquote><blockquote>'''T4.''' Se <math>\vdash_S \text{Teor}_S(\overline{\alpha}) </math>, allora <math>\vdash_S \alpha </math>.</blockquote>{{avanzamento|50%}}
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