Logica matematica/Incompletezza/Teoremi di incompletezza di Gödel: differenze tra le versioni

Un sistema formale <math>S</math> è ω-coerente sse non esiste una formula <math>\alpha[x] \in \mathcal{F}</math> tale per cui <math>\vdash_S \exists x\alpha[x]</math> e, per ogni <math>nc \in \ND</math>, <math>\vdash_S \neg\alpha[\overline{nc}/x]</math>.

Se <math>S</math> fosse incoerente, allora, per definizione, dimostrerebbe qualsiasi formula, pertanto varrebbe, per ogni formula <math>\alpha[x] \in \mathcal{F}</math>, <math>\vdash_S \exists x\alpha[x]</math> e, per ogni <math>nc \in \ND</math>, <math>\vdash_S \neg\alpha[\overline{nc}/x]</math>. Quindi, se <math>S</math> è incoerente, allora è anche ω-incoerente, dunque, per contrapposizione, la tesi è dimostrata.