Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni
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\end{cases}</math></blockquote>Per ogni <math>i \in \N</math>, l'esistenza di <math>\Delta_i</math> è giustificata dal lemma 2 e, per costruzione, ogni <math>\Delta_i</math>è consistente.
Sia <math>\Delta = \bigcup_i \Delta_i</math>. Osserviamo che
# <math>\Gamma \subseteq \Delta</math>, per costruzione.
# <math>\Delta</math> è massimale, cioè, per ogni formula <math>F</math>, <math>F</math> o la sua negazione appartengono a <math>\Delta</math>. Infatti, siccome l'enumerazione delle formule è completa, per costruzione dei <math>\Delta_i</math>, presa una qualunque <math>F</math>, esisterà un <math>i</math> per cui <math>F=A_i</math>, quindi <math>F \in \Delta_i \subseteq \Delta</math> oppure <math>\neg F \in \Delta_i \subseteq \Delta</math>.
# Ciascun <math>\Delta_i</math> è consistente (per induzione: <math>\Delta_0=\Gamma</math> è consistente; il passo induttivo è giustificato dal lemma 2).
# <math>\Delta</math> è consistente. Supponiamo per assurdo che non lo sia. Allora esiste una formula <math>F</math>tale che <math>\Delta \vdash F</math> e <math>\Delta \vdash \neg F</math>. Quindi, per compattezza, esistono due insiemi finiti <math>\Delta_i, \Delta_j \subseteq \Delta</math> tali che <math>\Delta_i \vdash F</math> e <math>\Delta_j \vdash \neg F</math>. Per costruzione, abbiamo che <math>\Delta_i \subseteq \Delta_j</math> oppure <math>\Delta_j \subseteq \Delta_i</math>. Se <math>\Delta_i \subseteq \Delta_j</math>, per monotonia si ha che <math>\Delta_j \vdash F</math>, dunque <math>\Delta_j</math> è inconsistente, contraddizione con il punto 3. Viceversa, se <math>\Delta_j \subseteq \Delta_i</math>, per monotonia si ha che <math>\Delta_i \vdash \neg F</math>, dunque <math>\Delta_i</math> è inconsistente, contraddizione con il punto 3.
== Regole derivate ==
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