Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni
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La verifica che ''a'', ''b'' e ''c'' sono tautologie è banale.
Verifichiamo che MP è chiuso rispetto alla conseguenza logica. Supponiamo per assurdo che <math>\Gamma \models A</math> e <math>\Gamma \models A \to B</math>, ma <math>\Gamma \nvDash B</math>. Se <math>\Gamma \nvDash B</math>, allora esiste un modello <math>\mathcal{M_V}</math> tale che <math>\mathcal{M_V} \vDash \Gamma</math> e <math>\mathcal{M_V} \nvDash B</math>; ma <math>A</math> è soddisfatta da <math>\Gamma</math>, perciò è verificata in <math>\mathcal{M_V}</math>. Pertanto, <math>\mathcal{M_V} \models A</math> e <math>\mathcal{M_V} \nvDash B</math> e, per definizione di implicazione, <math>\mathcal{M_V} \nvDash A \to B</math>. Dunque,
Per quanto riguarda la SU, sia <math>F[p]</math> una tautologia. Allora, <math>\vDash F[p]</math> per qualunque assegnazione booleana alle lettere proposizionali di <math>F[p]</math>, in particolare a <math>p</math>; dunque, per qualunque proposizione <math>X</math> possiamo porre <math>I_\mathcal{V}(p)=I_\mathcal{V}(X)</math>. Per il teorema del rimpiazzamento, <math>I_\mathcal{V}(F[p/p])=I_\mathcal{V}(F[X/p])</math>, da cui segue <math>\vDash F[X/p]</math>.
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