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Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni

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== Esempi di dimostrazioni ==
 
Dimostriamo che <math> \Phiphi \to \Phiphi </math>.
 
1.# <math>
(\Phiphi \to ((\Psipsi \to \Phiphi) \to \Phiphi)) \to ((\Phiphi \to (\Psipsi \to \Phiphi)) \to (\Phiphi \to \Phiphi))
</math>: SU nello schema ''b'' con <math>\Phiphi</math> al posto di <math>A</math>, <math>C</math> e <math>\Psipsi \to \Phiphi</math> al posto di <math>B</math>;
2.# <math>▼
 
\Phiphi \to ((\Psipsi \to \Phiphi)\to \Phiphi)▼
▲2. <math>
</math>: SU in ''a'' con <math>\Phiphi</math> al posto di <math>A</math> e <math>\Psipsi \to \Phiphi</math> al posto di <math>B</math>;▼
▲\Phi \to ((\Psi \to \Phi)\to \Phi)
3.# <math>▼
▲</math>: SU in ''a'' con <math>\Phi</math> al posto di <math>A</math> e <math>\Psi \to \Phi</math> al posto di <math>B</math>;
(\Phiphi \to (\Psipsi \to \Phiphi)) \to (\Phiphi \to \Phiphi) ▼
 
▲3. <math>
▲(\Phi \to (\Psi \to \Phi)) \to (\Phi \to \Phi)
</math>: MP tra 1 e 2;
4.# <math>▼
 
(\Phiphi \to (\Psipsi \to \Phiphi))▼
▲4. <math>
</math>: SU in ''a'' con <math>\Phiphi</math> al posto di <math>A</math> e <math>\Psipsi</math> al posto di <math>B</math>;▼
▲(\Phi \to (\Psi \to \Phi))
5.# <math>▼
▲</math>: SU in ''a'' con <math>\Phi</math> al posto di <math>A</math> e <math>\Psi</math> al posto di <math>B</math>;
\Phiphi \to \Phiphi▼
 
▲5. <math>
▲\Phi \to \Phi
</math>: MP tra 3 e 4.
 
Dimostriamo che <math> \Phiphi \to \Psipsi, \Psipsi \to \Omegaomega \vdash \Phiphi \to \Omegaomega </math>.▼
 
4.# <math>\Psi \to \Omegaphi</math>: ipotesi;▼
▲Dimostriamo che <math> \Phi \to \Psi, \Psi \to \Omega \vdash \Phi \to \Omega </math>.
3.# <math>\Psiphi \to \psi</math>: MP tra 1 e 2ipotesi;▼
 
1.# <math>\Phipsi</math>: ipotesiMP tra 1 e 2;
# <math>\psi \to \omega</math>: ipotesi;
 
2.# <math>\Phi \to \Psiomega</math>: ipotesi;MP tra 3 e 4.
 
▲3. <math>\Psi</math>: MP tra 1 e 2;
 
▲4. <math>\Psi \to \Omega</math>: ipotesi;
 
5. <math>\Omega</math>: MP tra 3 e 4;
 
così abbiamo dimostrato che
 
Così abbiamo dimostrato che <math> \Phiphi, \Phiphi \to \Psipsi, \Psipsi \to \Omegaomega \vdash \Omegaomega </math>.
 
Applicando il teorema di deduzione (se <math> \Phiphi \vdash \Omegaomega</math> allora <math> \vdash \Phiphi \to \Omegaomega</math>), otteniamo il risultato voluto, eliminando <math> \Phiphi</math> dalle ipotesi che abbiamo utilizzato.
 
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