Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni
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::<math>F \in \Delta</math> sse <math>\Delta \vdash F</math>. Se <math>F \in \Delta</math> allora <math>\Delta \vdash F</math> è la proprietà di inclusione.
:Ci rimane quindi da dimostrare che se <math>\Delta \vdash F</math> allora <math>F \in \Delta</math>.
:Sia <math>\Delta \vdash F</math>, e supponiamo per assurdo che <math>F \not\in \Delta</math>. Poiché l'enumerazione <math>A_0,A_1,A_2...</math> comprende tutte le formule, <math>F</math> sarà un <math>A_i</math>. Per ipotesi, <math>F=A_i \not\in \Delta</math>, dunque <math>F=A_i \not\in \Delta_{i+1}</math> e quindi, per costruzione, <math>\Delta_i, F \vdash B</math>. Per costruzione, <math>\Delta_i \subset \Delta</math> e, per ipotesi, <math>\Delta \vdash F</math>. Dunque, per taglio sulle premesse, abbiamo che <math>\Delta \vdash B</math>, contraddizione con il punto 2.
:5. Dimostriamo ora che l'insieme <math>\Delta</math> è massimale, ovvero, per ogni formula <math>F</math>
:<math>F \in \Delta</math> oppure <math>\neg F \in \Delta</math>.
:Sia <math>F \not\in \Delta</math>, e supponiamo per assurdo che <math>\neg F \not\in \Delta</math>. Allora, per qualche <math>i</math> e <math>j</math>: <math>\Delta_i, F \vdash B</math> e <math>\Delta_j, \neg F \vdash B</math>.
:<!-- Dobbiamo ora mostrare che {\displaystyle \Delta } è soddisfacibile. Per far questo, costruiamo un modello per esso. Definiamo il modello {\displaystyle {\mathcal {M_{V}}}} come:
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== Regole derivate ==
Le seguenti sono regole derivate dal MP e gli schemi di assioma, per permettere di utilizzare agevolmente il sistema di Hilbert. È possibile dimostrare ognuna di esse attraverso il teorema di completezza.
==== Modus Tollens ====
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