Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni
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:1. Per costruzione, <math>A \in \Delta</math>.
:2. <math>\Delta \nvdash B</math>. Per dimostrare ciò, osserviamo innanzitutto che <math>B</math> non è un teorema; infatti, se lo fosse, avremmo <math>\vdash B</math> e, per monotonia, <math>A \vdash B</math>; quindi, per il teorema di deduzione, <math>\vdash A \to B</math>, contraddicendo l'ipotesi. Supponiamo dunque che <math>B</math> non sia un teorema, e che <math>\Delta \vdash B</math>; esiste quindi una derivazione <math>B_1,...,B_n=B</math> in <math>\Delta</math>, con qualche <math>B_j \in \Delta</math>. L'insieme di tali <math>B_j</math> è finito, quindi esiste un <math>\Delta_i</math> che li include tutti. Dunque <math>\Delta_i \vdash B</math>, contraddizione. Siccome c'è una proposizione che non deriva da <math>\Delta</math>, <math>\Delta</math> è consistente.
:3. <math>B \not\in \Delta</math>, per la proprietà di inclusione di <math>\vdash</math>.
:4. <math>\Delta</math> è deduttivamente chiuso, cioè, per ogni formula <math>F</math>
::<math>F \in \Delta</math> sse <math>\Delta \vdash F</math>. Se <math>F \in \Delta</math> allora <math>\Delta \vdash F</math> è la proprietà di inclusione.
:
:<!-- Dobbiamo ora mostrare che {\displaystyle \Delta } è soddisfacibile. Per far questo, costruiamo un modello per esso. Definiamo il modello {\displaystyle {\mathcal {M_{V}}}} come:
{\displaystyle {\mathcal {M_{V}}}={\mathcal {P}}}
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