Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni

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(<math>\Rightarrow</math>) Se non esiste una proposizione <math>A</math> tale che <math>\Gamma \vdash A</math> e <math>\Gamma \vdash \neg A</math>, allora si ha che <math>\Gamma \nvdash A</math> oppure <math>\Gamma \nvdash \neg A</math> per ogni proposizione <math>A</math>, dunque esiste una proposizione <math> B</math> tale che <math>\Gamma \nvdash B</math>.
 
(<math>\Leftarrow</math>) Viceversa,Scriviamo supponiamola chetesi in forma contrappositiva: se esistaesiste una proposizione <math>A</math> tale che <math>\Gamma \vdash A</math> e <math>\Gamma \vdash \neg A</math>, e cheallora non esistaesiste una formula <math> B</math> tale che <math>\Gamma \nvdash B</math>, che equivale a dire <math>\Gamma \vdash B</math> per ogni formula <math> B</math>.

Se si dimostra che <math>A, \neg A \vdash B</math> per ogni formula <math> B</math>, allora, per taglio sulle premesse, si ha che <math>\Gamma \vdash B</math>.
 
Per il teorema di deduzione, abbiamo che <math>\vdash A \to (\neg A \to B)</math>. Dunque, <math>A, \neg A \vdash B</math> sse <math>\vdash A \to (\neg A \to B)</math>.