Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Sistema di Hilbert: differenze tra le versioni

\Delta_i, & \text{altrimenti.}

\end{cases}</math>

Sia <math>\Delta = \bigcup_i \Delta_i</math>. Osserviamo innanzitutto che <math>\Gamma \subseteq \Delta</math>, per costruzione. Osserviamo inoltre che <math>\Delta</math> è massimale, cioè, per ogni formula <math>A</math>, <math>A</math> o la sua negazione appartengono a <math>\Delta</math>. Infatti, siccome l'enumerazione delle formule è completa, per costruzione dei <math>\Delta_i</math>, presa una qualunque <math>A</math>, esisterà un <math>i</math> per cui <math>A=A_i</math>, quindi <math>A \in \Delta_i \subseteq \Delta</math> oppure <math>\neg A \in \Delta_i \subseteq \Delta</math>. Osserviamo anche che ciascun <math>\Delta_i</math> è finitamente soddisfacibile (per induzione: <math>\Delta_0=\Gamma</math> è finitamente soddisfacibile; il passo induttivo è giustificato dal lemma 2). Quindi, <math>\Delta</math> è finitamente soddisfacibile, in quanto ogni sottoinsieme finito di <math>\Delta</math> è contenuto in qualche <math>\Delta_i</math>.

 

 

Abbiamo quindi mostrato che <math>\mathcal{M_V}</math> è un modello per <math>\Delta</math>; siccome <math>\Gamma \subseteq \Delta</math>, abbiamo che <math>\mathcal{M_V} \models \Gamma</math>, ovvero <math>\Gamma</math> è soddisfacibile.

== Consistenza ==

Introduciamo ora la nozione di ''consistenza''.