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Elettrotecnica/Grandezze alternate sinusoidali: differenze tra le versioni

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=== Grandezze alternate sinusoidali ===
Dobbiamo ora occuparci dello studio di circuiti elettrici sottoposti a tensioni alternative.<br />
È necessario pertanto premettere in breve alcune semplici nozioni nei confronti delle grandezze periocicheperiodiche, periodiche e algternativealternative sinusoidali, limitandoci, per le consuete ragioni, alle sole principali definizioni.<br />
siSi derfinisce funzione periodica una funzione che assume lo stesso valore per valori dellsdella variabile che stanno tra loro in [[:w:progressione aritmetica|progressione aritmetica]]. Se la variabile è il tempo, ed è questo il caso che ci interessa, si indica con nome di ''periodo'' l'intervallo di tempo che intercorre tra due istanti nei quali la funzione e tutte le sue derivate assumono gli stessi valori<br />
Il rapporto tra qualsiasi numero intero di periodi e il tempo necessarioanecessario che questi periodi si verifichino o, che è lo stesso, l'inverso del periodo, prende il nome di ''[[:w:frequenza|frequenza'']]. Essa si misura, pertanto, in periodi o cicli al secondo.<br />
Si denomina valore efficace di una grandezza periodicala quantità:<br />
{{equazione|id=1|eq=<math>\ A = \sqrt {{1 \over T}\int_{0}^{T}a^2\ dt}</math>}}<br />
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Sinusoidale è una particolare funzione alternativa analiticamente esprimibile con una relazione del tipo<br />
{{equazione|id=3|eq=<math>\ a = A_m\ \sin[\omega\ t]</math>}}<br />
ove con ''a'' si indica il ''[[:w:valore istantaneo|valore istantaneo]]''
della funzione e con ''A_m'' il suo valore massimo.<br />
Dalla periodicità delle funzioni sinusoidali deriva immediatamente:<br />
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{{equazione|id=5|eq=<math>\ \omega = {2\ \pi \over T} = 2\ \pi\ f</math>}}<br />
''ω'' assume il nome di pulsazione. rappresenta il numero di periodi che si verificano in ''2 π'' secondi.<br />
La rappresentazione analitica ora data di una funzione sinisoidalesinusoidale presuppone che al tempo ''t=0'' la funzione medesima abbia valore nullo. Il che non è, evidentemente, che un caso particolare e la questione assume particolare interesse quando debbono prendersi in considerazione due funzioni sinusoidali che non seguono le stesse vicissitudini in funzione della scelta arbitraria dell'istante iniziale.<br />
Nella sua forma più generale la rappresentazione analitica di una funzione sinusoidale è, pertanto:<br />
{{equazione|id=6|eq=<math>\ a = A_m\ \sin[\omega](t\pm \theta) = A_m\ \sin[\omega\ t]\pm\ \phi</math>}}<br />
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Il valore efficace di una funzione sinusoidale risulta invece:<br />
{{equazione|id=8|eq=<math>\ \sqrt {{1 \over T}\int_{0}^{T}a^2dt}={A_m \over \sqrt 2}</math>}}<br />
Vari sono i modi in cui le funzioni sinusoidali possoneopossono essere rappresentate e, conseguentemente, vari i metodi adottabili per il loro calcolo.<br />
Ricordiamo, qui, solo che una funzione sinusoidale può sempre rappresentarsi con un vettore ruotante e che, qualora tutte le grandezze sinusoidali che interessano un medesimo problema abbiamo la medesima pulsazione, può prescindersi dal comune fattore ''ω t'' e rappresentare le varie funzioni con vettori fissi complanari le cui relazioni angolari rappresentano relazioni di fase tra le varie grandezze.<br />
A loro volta i vettori possono rappresentarsi analiticamente, e come tali essere portati in calcolo, vuoi per il tramite delle loro proiezioni, vuoi per il tramite,nelle rappresentazioni polari, del loro modulo e del loro argomento.<br />
Inoltre una funzione sinusoidale può essere rappresentata da un numero complesso: si pensi infatti al ''[[:w:piano di Gauss|piano di Gauss]]'' in cui ogni pupunto è rappresentabile con un numero complesso; d'altronde è chiaro che ogni punto di tale piano può essere visto come estremo di un vettore avente l'origine nell'origine degli assi coordinati, vettore che, per quanto si è detto, può essere chiamato a rappresentare una grandezza sinusoidale.<br />
{{Avanzamento|100%|10 aprile 2011}}
nto è rappresentabile con un numero complesso; d'altronde è chiaro che ogni punto di tale piano può essere visto come estremo di un vettore avente l'origine nell'origine degli assi coordinati, vettore che, per quanto si è detto, può essere chiamato a rappresentare una grandezza sinusoidale.<br />
Accettata la rappresentazione a mezzo di numeri complessi ne deriva la possibilità di una doppia rappresentazione analitica delle funzioni sinusoidali ai fini della esecuzione delle operazioni fondamentali: la rappresentazione trigonometrica e quella esponenziale.<br />
Al metodo che fa uso dei numeri complessi si dà il nome di metodo simbolico ad indicare che, per tal via, ci si distacca totalmente dal significato fisico delle questioni considerate.<br />
E' questa anzi una delle ragioni che determina, in alcuni paesi, una notevole avversione a questo metodo che pure ha il pregio di una particolare semplicità ed eleganza.<br />
Tutti i metodi citati possono, comunque, ed anzi debbono, essere indifferentemente applicati alla risoluzione matematica di problemi riguardanti le grandezze sinusoidali, non essendo raro il caso in cui alcune parti di uno stesso problema siano di più rapida ed immedfiata risoluzione con uno particolare dei metodi indicati.<br />
Vediamo ora come sia possibile realizzare fisicamente una ''f.e.m.'' ad andamento sinusoidalersinusoidale nel tempo.<br />
Si abbia un campo magnetico uniforme ed in esso si disponga una spirale piana disposta come in figura
 
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Se ''B'' è la induzione magnetica nel campo, risulta:<br />
{{equazione|id=8|eq=<math>\ \Phi = B\ S\ \cos\alpha</math>}}<br />
il flusso che in queste considedrazioniconsiderazioni si concatena con la spira ''AB'' che racchiude la superficie ''S''.<br />
Potremo scrivere anche:<br />
{{equazione|id=9|eq=<math>\ \Phi = \Phi_m\ cos\alpha</math>}}<br />
avendo indicato con ''Φ<sub>m'' il flusso massimo<br />
{{equazione|id=10|eq=<math>\ \Phi_m = B\ S</math>}}<br />
Il flusso che si concatena con la spira varia quindi in funzione dell'angolo ''α'', così che, se si imptrimeimprime alla spira una rotazione intorno all'asse ''O'' con velocità angolare costante ed uguale ad ''ω'', risulta<br />
{{equazione|id=11|eq=<math>\ \alpha = \omega\ t</math>}}<br />
e quindi<br />
{{equazione|id=12|eq=<math>\ \Phi = \Phi_m\ \cos \omega t</math>}}<br />
La variaqzionevariazione del flusso concatenato induce allora nella spira ''AB'' una ''f.e.m.'' data da<br />
{{equazione|id=13|eq=<math>\ e = -{d\Phi \over dt} = \omega\Phi_m\sin\omega t= E_m\sin\omega t</math>}}<br />
avendo posto<br />
{{equazione|id=14|eq=<math>\ E_m = \omega\ \Phi_m</math>}}<br />
che è, appunto, di tipo sinusoidale.<br />
Accennato così, brevemente, alle definizioni caratteristiche delle ''f.e.m.'' sinusoidali, alla loro rappresentazione ed ai sonseguenticonseguenti metodi di calcolo, alla possibilità fisica di generare ternsioni siffatte, affrontiamo, ora, lo studio del comportamento di circuiti tipici sottoposti a ''f.e.m.'' di tale tipo.<br />
 
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