Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni

Vediamo alcuni esempi: l'insieme <math> \mathopen{[}0,2\mathclose{[}</math> ammette un estremo superiore che è 2. In questo caso l'estremo superiore non appartiene all'insieme, ma può accadere che invece vi appartenga, come nel caso dell'insieme <math>\mathopen{[}2\pi,4\mathclose{]}</math> in cui l'estremo superiore è appunto 4. L'estremo superiore può anche essere infinito, come nel caso di <math>\{x \in \mathbb{R} \mid x>1\}</math>.

 

 

C'è dunque un sottoinsieme dei razionali che non ammette estremo superiore, e questo distingue in maniera netta i numeri reali dalle frazioni. Se infatti si considera l'insieme <math>S=\{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2\leq 2 \} </math>, esso non possiede estremo superiore nei razionali, mentre lo possiede nei reali, ed è <math>\sqrt{2}</math> che ovviamente non appartiene ai razionali.