Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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===3. Tre cariche eguali ===

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[[Immagine:Due_sbarrette_perpendicolari.png|200px|right]]

 

(dati del problema <math>l=1\ m</math>, <math>q=5\ nC</math>, <math>d=0.1\ m</math>)

 

Un dipolo: due cariche <math>q\ </math> di segno opposto nel vuoto, sono poste

ad una distanza <math>d\ </math>. Determinare la differenza di potenziale

(dati del problema <math>q=5\ nC</math>, <math>d=3\ cm</math>, <math>\theta= 20^o\ </math> )

 

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un

disco di raggio <math>R\ </math> posto nel vuoto su cui

(dati <math>Q=1\ \mu C</math>, <math>R=10\ cm</math>).

 

 

Otto cariche eguali <math>Q\ </math> sono disposte sui vertici di un cubo di lato

<math>a\ </math>. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del

 

 

Sui vertici di un quadrato di lato <math>l\ </math> sono disposte delle cariche eguali in modulo <math>Q\ </math>, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.

 

(dati del problema <math>Q=6\ mC</math>, <math>l=1\ m</math>)

 

 

Un dipolo: due cariche <math>q\ </math> di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una

distanza <math>d\ </math>.

 

 

 

[[Immagine:Spira_carica.png|200px|right]]

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio <math>R\ </math> posta nel vuoto in cui

 

 

 

[[Immagine:A_simple_quadrupole.png|300px|right]]

 

(dati del problema <math>q=4\ \mu C\ </math>, <math>l=10\ cm\ </math>)

 

 

Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza <math>l\ </math>. Su di essa

è distribuita uniformente una carica <math>q\ </math>. Assunto un riferimento

(dati del problema <math>l=1\ m</math>, <math>q=5\ nC</math>)

 

 

 

Su un anello di raggio <math>R\ </math> è distribuita uniformemente la carica <math>q\ </math>.

Una particella di carica <math>-q\ </math> viene posta con velocità nulla a distanza <math>R\ </math> dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine

 

 

 

Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza <math>z\ </math>. a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90^o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?

 

 

 

 

[[Immagine:piano_con_foro.png|350px|right]]

Una particella dotata di carica <math>q\ </math> e massa <math>m\ </math> si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme <math>\sigma\ </math> in cui è praticato un foro circolare di raggio <math>R\ </math> e centro <math>C\ </math>.

(Dati del problema: <math>q=1\ nC</math>, <math>m=1\ mg</math>, <math>\sigma=1\ \mu C/m^2</math>, <math>R=1 \ m</math>. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)

 

 

[[Immagine:Sbarre_orizzontali.png|400px|right]]

Due sbarrette sottili di lunghezza <math>l\ </math> sono cariche uniformemente con una carica <math> -q\ </math> e <math>q\ </math> come mostrato in figura.

 

 

 

Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio <math>R\ </math>, ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:

 

 

 

 

[[Immagine:pianotagliato.png|350px|right]]

Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme <math>\sigma\ </math> ha uno stretto taglio di dimensioni <math>d\ </math>. Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da <math>D\ </math> (<math>d\ll D\ </math>).

 

 

Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Q_o e sulla sua superficie un campo elettrico pari a E_o. Determinare a) il raggio R_o della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).

 

 

 

 

[[Immagine:Tre cariche.png|250px|right]]

Su tre vertici di un quadrato di lato <math>a\ </math> sono fissate rispettivamente due cariche positive <math>q\ </math> ed una negativa <math>-2q\ </math> come mostrato in figura. Sul quarto spigolo <math>P_1\ </math> viene posta una carica <math>q_1\ </math>, di massa <math>m_1\ </math> con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica <math>q_1\ </math> nel punto <math>P_1\ </math> e b) la velocità con cui arriva nel punto <math>P_2\ </math> (sulla continuazione della diagonale del quadrato).

(Dati del problema: <math>q=1\ nC\ </math>, <math>a=1\ mm\ </math>, <math>q_1=1\ pC\ </math>, <math>m_1=10^{-10}\ kg\ </math>)

 

 

 

 

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza <math>l\ </math>. Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme <math>Q_1\ </math>, mentre all'estremità opposta è posta una carica <math>Q_2\ </math> di valore variabile pari a <math>Q_2=\alpha Q_1\ </math>. Determinare sul vertice <math>P\ </math> opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di <math>\alpha\ </math> per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.

(Dati del problema: <math>Q_1=1\ \mu C\ </math>, <math>l=1\ m\ </math>, <math>-1\le \alpha \le 1\ </math>)

 

 

===23. Semisfera===

L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere

espressa come:

Con <math>m_p\ </math> abbiamo indicato la massa del protone,

mentre con <math>m_e\ </math> indichiamo la massa dell'elettrone,

L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:

</math>

 

Con <math>e\ </math> abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica

dell'elettrone,

 

Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro

rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:

m_pm_e}=

\frac{9\cdot 10^9\cdot \left( 1.6\cdot 10^{-19}\right) ^2}{6.7\cdot

10^{-11}\cdot \left( 1.67\cdot 10^{-27}\right) \cdot \left( 9.1\cdot

10^{-31}\right) }\approx 2\cdot 10^{39}</math>

 

 

 

===3. Tre cariche eguali ===

<math>q_o=-q \frac{\sqrt 3}{3}=-58\ nC</math>

 

 

Detto:

 

 

Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle <math>x\ </math> coincidente

 

 

La densità di carica superficiale vale:

come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.

 

 

La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:

<math>E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}</math>

 

 

Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:

 

 

Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro

Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.

 

 

La densità di carica vale:

Nella figura viene graficato il valore della funzione <math>E_x\ </math> e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica <math>Q\ </math>

 

 

Solo la componente <math>y\ </math> del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti

A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.

 

 

a) Detto :

<math>d\geq 6.14\ m</math>

 

 

 

 

La densità di carica vale:

<math>v=\sqrt {\frac {2E_c}m}=7.2\ m/s\ </math>

 

 

Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse <math>z\ </math> diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:

<math>|M|=\frac {p^2}{2\pi \varepsilon_o z^3}=1.8\cdot 10^{-4}\ Nm\ </math>

 

 

Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come <math>z\ </math>, l'asse verticale:

 

 

 

Detto:

 

 

 

La carica per <math>y>0\ </math> è quella che si ha se <math>0\le \theta \le \pi\ </math>:

Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando <math>E_y\ </math> a grande distanza sull'asse.

 

 

Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità <math>\sigma\ </math> ed una striscia carica con densità <math>-\sigma\ </math>. Per quanto riguarda il piano, assunto come <math>z\ </math>, l'asse verticale: