Differenze tra le versioni di "Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox"

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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
 
== Esercizi ==
Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio <math>R\ </math> ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge
=== 1. Forza elettrica e gravitazionale ===
:<math>\rho=\rho_o(a-r/R)\qquad 0\le r\le R\ </math>
Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica <math>F_e\ </math> tra un
[[w:Protone|protone]] ed un [[w:Elettrone|elettrone]] e l'attrazione gravitazionale <math>F_g\ </math>.
 
<span class="noprint">[[#1. Forza elettrica e gravitazionale_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 2. Quattro cariche eguali ===
Quattro cariche eguali <math>Q\ </math> sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato <math>l\ </math> (piano <math>xy\ </math>). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza <math>l\ </math> (cioè
sull'asse <math>z\ </math> nel punto <math>(0,0,l)\ </math> se l'origine è al centro del quadrato).
 
(dati del problema <math>Q=6\ \mu C</math>, <math>l=1\ m</math>)
 
 
<span class="noprint">[[#2. Quattro_cariche_eguali_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===3. Tre cariche eguali ===
[[Immagine:triangolo_equilatero_con_assi.png|200px|right]]
Tre cariche eguali <math>q\ </math> praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato <math>l\ </math>. Quale carica <math>q_o\ </math> va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?
 
(dati del problema <math>q=0.1\ \mu C</math>)
 
 
<span class="noprint">[[#3. Tre_cariche_eguali_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===4. Due sbarrette perpendicolari ===
[[Immagine:Due_sbarrette_perpendicolari.png|200px|right]]
 
Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe <math>l\ </math>, sono
disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta <math>d\ </math> la distanza del
punto <math>P\ </math> dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna
sbarretta è distribuita uniformemente una carica <math>q\ </math>.
Determinare l'intensita' del campo elettrico in <math>P\ </math>.
 
(dati del problema <math>l=1\ m</math>, <math>q=5\ nC</math>, <math>d=0.1\ m</math>)
 
<span class="noprint">[[#4. Due_sbarrette_perpendicolari_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
===5. Dipoli differenza di potenziale ===
Determinare: a) la carica per unità di lunghezza ; b) l'espressione del campo elettrico per <math>r<R\ </math> e in particolare ad <math>R/2\ </math>; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di <math>a\ </math> fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?
Un dipolo: due cariche <math>q\ </math> di segno opposto nel vuoto, sono poste
ad una distanza <math>d\ </math>. Determinare la differenza di potenziale
(rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a
distanza <math>3d\ </math>, la cui congiungente con il centro delle cariche forma
un angolo di <math>\theta\ </math> con la congiungente delle cariche stesse.
 
(dati del problema <math>\rho_oq=25\ \mu C/m^3nC</math>, <math>Rd=103\ cm</math>, <math>a\theta=0.9 20^o\ </math> )
 
<span class="noprint">[[#265. Nuvola cilindrica infinitamente lunga_2Dipoli_differenza_di_potenziale_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
===6. Un disco uniformemente carico ===
Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un
disco di raggio <math>R\ </math> posto nel vuoto su cui
è distribuita uniformente una carica <math>Q\ </math>.
 
(dati <math>Q=1\ \mu C</math>, <math>R=10\ cm</math>).
 
<span class="noprint">[[#6. Un disco uniformemente carico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===7. Otto cariche eguali ===
Otto cariche eguali <math>Q\ </math> sono disposte sui vertici di un cubo di lato
<math>a\ </math>. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del
cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo.
Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle
coordinate a distanza <math>\alpha a\ </math> dall'origine, confrontando tale
valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una
carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per <math>\alpha\ </math> generico.
 
(dati del problema: <math>a=1\ cm</math>, <math>Q=1\ nC</math>, <math>\alpha=3\ </math> )
 
<div class="noprint">
<quiz display=simple>
{
|type="()"}
+ <math>E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}</math>
- <math>E_e\approx \frac {3q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^3}</math>
- <math>E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^3}</math>
- <math>E_e\approx \frac {3q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}</math>
</quiz>
</div>
 
 
<span class="noprint">[[#7. Otto_cariche_eguali_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
===8. Quattro cariche di segno opposto ===
Sui vertici di un quadrato di lato <math>l\ </math> sono disposte delle cariche eguali in modulo <math>Q\ </math>, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.
 
(dati del problema <math>Q=6\ mC</math>, <math>l=1\ m</math>)
 
<span class="noprint">[[#8. Quattro_cariche_di_segno_opposto_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===9. Un dipolo ===
Un dipolo: due cariche <math>q\ </math> di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una
distanza <math>d\ </math>.
Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una
distanza <math>2d\ </math> dal loro centro, in un punto la cui
congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di <math>\theta=45^o\ </math> con
la congiungente delle cariche stesse.
 
 
<span class="noprint">[[#9. Un_dipolo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===10. Una spira circolare carica ===
[[Immagine:Spira_carica.png|200px|right]]
Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio <math>R\ </math> posta nel vuoto in cui
è distribuita uniformente una carica <math>Q\ </math>. Discutere i casi limite: <math>x\rightarrow 0\ </math> e <math>x \gg R\ </math>
 
(dati <math>Q=1\ \mu C</math>, <math>R=10\ cm</math>).
 
 
<span class="noprint">[[#10. Una_spira_circolare_carica_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===11. Un semplice quadripolo ===
[[Immagine:A_simple_quadrupole.png|300px|right]]
 
Sui vertici di un quadrato di lato <math>l\ </math> sono disposte delle cariche eguali in modulo <math>q\ </math>, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.
 
Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle <math>x\ </math>, ed in particolare calcolarne il valore
per <math>x=0,l,10l\ </math> .
 
(dati del problema <math>q=4\ \mu C\ </math>, <math>l=10\ cm\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#11. Un_semplice_quadripolo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===12. Una sbarretta sottile isolante ===
Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza <math>l\ </math>. Su di essa
è distribuita uniformente una carica <math>q\ </math>. Assunto un riferimento
cartesiano con asse <math>x\ </math> coincidente con la direzione della sbarretta e
origine nel suo centro. Trovare per quali <math>d\ </math> sono di pari intensità
i campi elettrici in (d,0) e (0,d)
a meno dell'1\%.
(dati del problema <math>l=1\ m</math>, <math>q=5\ nC</math>)
 
<span class="noprint">[[#12. Una sbarretta sottile isolante_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===13. Tre particelle cariche ===
[[Immagine:Trecaricheallineate.png|250px|right]]
Tre particelle cariche sono poste come in figura,
separate da una distanza <math>d\ </math>. Le cariche <math>q_1\ </math> e <math>q_2\ </math> sono
tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica <math>q_3\ </math>
soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio.
Si determini il valore di <math>q_1\ </math> e la forza elettrica che agisce sulla carica <math>1\ </math>.
 
(dati del problema <math>q_2=1\ nC</math>, <math>q_3=2\ nC</math>, <math>d=1\ cm</math>)
 
<span class="noprint">[[#13. Tre particelle cariche_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
===14. Anello carico ===
Su un anello di raggio <math>R\ </math> è distribuita uniformemente la carica <math>q\ </math>.
Una particella di carica <math>-q\ </math> viene posta con velocità nulla a distanza <math>R\ </math> dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine
(immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).
 
(dati del problema <math>q=10^{-6}\ C</math>, <math>R=10\ cm</math>, <math>m=1\ g</math> )
 
 
<span class="noprint">[[#14._Anello_carico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===15. Due dipoli ===
Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza <math>z\ </math>. a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90<sup>o</sup> e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?
 
(dati del problema <math>|p|=10^{-10}\ Cm\ </math>, <math>z=1\ cm\ </math>)
 
 
<span class="noprint">[[#15. Due dipoli_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===16. Piano con foro ===
[[Immagine:piano_con_foro.png|350px|right]]
Una particella dotata di carica <math>q\ </math> e massa <math>m\ </math> si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme <math>\sigma\ </math> in cui è praticato un foro circolare di raggio <math>R\ </math> e centro <math>C\ </math>.
 
1) Si calcoli l'altezza <math>h_o\ </math> rispetto a <math>C\ </math> del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.
 
2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza <math>h_o/2\ </math> rispetto a <math>C\ </math>, osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?
 
(Dati del problema: <math>q=1\ nC</math>, <math>m=1\ mg</math>, <math>\sigma=1\ \mu C/m^2</math>, <math>R=1 \ m</math>. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)
 
<span class="noprint">[[#16. Piano_con_foro_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===17. Due sbarre allineate ===
[[Immagine:Sbarre_orizzontali.png|400px|right]]
Due sbarrette sottili di lunghezza <math>l\ </math> sono cariche uniformemente con una carica <math> -q\ </math> e <math>q\ </math> come mostrato in figura.
Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle <math>x\ </math> con i loro centri distanti <math>a\ </math>.
 
Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto <math>10a\ </math> (sull'asse delle <math>x\ </math>). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo
equivalente).
 
(Dati del problema <math>l=5\ cm\ </math>, <math>q=10\ nC\ </math>, <math>a=20\ cm\ </math>)
 
 
<span class="noprint">[[#17. Due_sbarre_allineate_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===18. Anello con distribuzione dipolare ===
Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio <math>R\ </math>, ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:
 
<math>\lambda=A\sin \theta\ </math>
 
dove <math>\theta\ </math> è l'angolo con l'asse delle <math>x\ </math> per cui la carica è positiva per <math>y>0\ </math> e negativa per <math>y<0\ </math>. Determinare 1) la carica totale di mezzo anello per <math>y>0\ </math>; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse <math>z\ </math> ed in particolare per <math>z=R\ </math>; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .
 
(dati del problema <math>R=1\ cm\ </math>, <math>A=10^{-9}\ C/m\ </math>)
 
 
<span class="noprint">[[#18. Anello con distribuzione dipolare_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===19. Piano tagliato ===
[[Immagine:pianotagliato.png|350px|right]]
Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme <math>\sigma\ </math> ha uno stretto taglio di dimensioni <math>d\ </math>. Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da <math>D\ </math> (<math>d\ll D\ </math>).
 
<span class="noprint">[[#19. Piano_tagliato_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===20. Goccia d'olio ===
Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Q<sub>o</sub> e sulla sua superficie un campo elettrico pari a E<sub>o</sub>. Determinare a) il raggio R<sub>o</sub> della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).
 
(dati del problema <math>Q_o=1\ nC</math>, <math>E_o=10^6\ V/m</math>)
 
 
<span class="noprint">[[#20. Goccia d'olio_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===21. Tre cariche sui vertici di un quadrato ===
[[Immagine:Tre cariche.png|250px|right]]
Su tre vertici di un quadrato di lato <math>a\ </math> sono fissate rispettivamente due cariche positive <math>q\ </math> ed una negativa <math>-2q\ </math> come mostrato in figura. Sul quarto spigolo <math>P_1\ </math> viene posta una carica <math>q_1\ </math>, di massa <math>m_1\ </math> con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica <math>q_1\ </math> nel punto <math>P_1\ </math> e b) la velocità con cui arriva nel punto <math>P_2\ </math> (sulla continuazione della diagonale del quadrato).
 
(Dati del problema: <math>q=1\ nC\ </math>, <math>a=1\ mm\ </math>, <math>q_1=1\ pC\ </math>, <math>m_1=10^{-10}\ kg\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#21. Tre cariche sui vertici di un quadrato_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
 
===22. Due cariche sui vertici di un triangolo===
 
Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza <math>l\ </math>. Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme <math>Q_1\ </math>, mentre all'estremità opposta è posta una carica <math>Q_2\ </math> di valore variabile pari a <math>Q_2=\alpha Q_1\ </math>. Determinare sul vertice <math>P\ </math> opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di <math>\alpha\ </math> per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.
 
(Dati del problema: <math>Q_1=1\ \mu C\ </math>, <math>l=1\ m\ </math>, <math>-1\le \alpha \le 1\ </math>)
 
<span class="noprint">[[#22. Due cariche sui vertici di un triangolo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===23. Semisfera===
 
Determinare il campo elettrico al centro di una semisfera di materiale isolante con pareti sottili e forma semisferica raggio <math>R\ </math> e carica <math>Q\ </math>.
 
<span class="noprint">[[#23. Semisfera_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
===24. Carica e dipolo===
 
Una carica <math>q=100\ pC\ </math> è posta nell'origine delle coordinate ed ad una distanza <math>d=1\ cm\ </math> vi è un dipolo elettrico,
con momento <math>|p|=2\times 10^{-14}\ Cm\ </math>, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) .
Assunto come asse delle <math>x\ </math> la congiungente la carica ed il dipolo;
determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo sia trascurabili rispetto a <math>d=1\ cm\ </math>;
b) il campo elettrico generato nel punto <math>x=2d/3\ </math>; c) la differenza di potenziale tra <math>x=0.2d\ </math> e <math>x=0.8d\ </math>.
 
<span class="noprint">[[#24. Carica e dipolo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
== Soluzioni ==
 
=== 1. Forza elettrica e gravitazionale ===
===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga===
<span class="noprint">[[#71. SbarraForza sospesaelettrica e gravitazionale|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere
espressa come:
 
<math>F_g=G\ \frac{m_{p\ }m_e}{r^2}\ </math>
 
Con <math>m_p\ </math> abbiamo indicato la massa del protone,
 
<math>m_p=1.672623\cdot 10^{-27}\ kg</math>
 
<math>G=6.7\cdot 10^{-11}\ Nm^2/kg^2</math>
 
mentre con <math>m_e\ </math> indichiamo la massa dell'elettrone,
 
<math>m_e=9.109389\cdot 10^{-31}\ kg\ </math>
 
L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:
 
<math>F_e=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\ \frac{e^2}{r^2}\
</math>
 
Con <math>e\ </math> abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica
dell'elettrone,
 
<math>e=1.60217733\cdot 10^{-19}\ C</math>
 
Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro
rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:
 
 
<math>R =\frac{F_e}{F_g}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\ \frac{e^2}{G\
m_pm_e}=
\frac{9\cdot 10^9\cdot \left( 1.6\cdot 10^{-19}\right) ^2}{6.7\cdot
10^{-11}\cdot \left( 1.67\cdot 10^{-27}\right) \cdot \left( 9.1\cdot
10^{-31}\right) }\approx 2\cdot 10^{39}</math>
===2. Quattro cariche eguali ===
<span class="noprint">[[#2. Quattro_cariche_eguali|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La distanza di ogni carica dal punto dato vale:
 
<math>r=\sqrt{l^2/2+l^2}=l\sqrt {3/2}</math>
 
Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:
 
<math>|E|=
\frac {Q}{4\pi \varepsilon _or^2}
=\frac {Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}=3.6\cdot 10^4\ V/m</math>
 
La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:
 
<math>E_a=|E|\frac lr=
\frac {Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}\frac lr=
\frac {Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}\sqrt {\frac 23}\ </math>
 
Quindi sommando i 4 contributi:
 
<math>|E_t|=\frac {4Q}{6\pi \varepsilon _ol^2}\sqrt {\frac 23}=1.17\cdot 10^5\ V/m</math>
 
===3. Tre cariche eguali ===
<span class="noprint">[[#3. Tre_cariche_eguali|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.
 
Se definiamo <math>1\ </math> e <math>2\ </math> le cariche in basso e <math>3\ </math> quella in alto disponendole come in figura. Detto <math>l\ </math> il lato del triangolo:
 
<math>|F_{13}|=|F_{23}|=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}\ </math>
 
Le componenti delle due forze nella direzione <math>x\ </math> si annullano a
vicenda per cui rimane solo la componente lungo <math>y\ </math> se definisco
<math>\theta\ </math> l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del
triangolo. Tale angolo vale <math>30^o\ </math>. Quindi la componente lungo
l'asse <math>y\ </math> di tali forze valgono:
:<math>F_{13y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}\cos \theta\ </math>
Quindi la forza totale vale:
 
:<math>F_{ty}=2\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}\cos \theta=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q^2}{l^2}{\sqrt 3}\ </math>
avendo sostituito a <math>\cos 30^o\ </math> il suo valore <math>\sqrt 3/2\ </math>.
 
La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto <math>l/2\ </math> e angolo tra ipotenusa e cateto di <math>30^o\ </math>. Quindi:
:<math>r\cos 30^o=\frac l2\qquad \rightarrow r=l/{\sqrt 3} \ </math>
Quindi la forza dovuta dalla carica al centro:
:<math>F_{0y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_oq}{r^2}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_oq}{(l/{\sqrt 3})^2}\ </math>
 
 
Affinché la forza totale sia nulla:
 
<math>\frac {qq_o}{4\pi \epsilon_o (l/\sqrt 3)^2}+\frac {q^2\sqrt 3}{4\pi \epsilon_o l^2}=0\ </math>
 
quindi:
 
<math>q_o=-q \frac{\sqrt 3}{3}=-58\ nC</math>
 
===4. Due sbarrette perpendicolari ===
<span class="noprint">[[#4. Due_sbarrette_perpendicolari|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Detto:
 
<math>\lambda =\frac ql\ </math>
 
Il campo generato dalla prima barretta vale:
 
<math>
E_x=-\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \int_d^{d+l}\frac {\lambda dx}{x^2}=-\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac ql\left[ \frac 1d -\frac 1{d+l}\right]=-\frac
q{4\pi \varepsilon_o d(d+l)}\ </math>
 
Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:
 
<math>E_y=-\frac q{4\pi \varepsilon_o d(d+l)}\ </math>
 
Quindi l'intensità del campo vale:
<math>
|E|=\frac {q\sqrt 2}{4\pi \varepsilon_o d(d+l)}=578\ V/m</math>
 
===5. Dipoli differenza di potenziale ===
<span class="noprint">[[#5. Dipoli_differenza_di_potenziale|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle <math>x\ </math> coincidente
con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:
 
<math>x_1=3d\cos \theta=0.085\ m</math>
 
<math>y_1=3d\sin \theta=0.031\ m</math>
 
Quindi il punto dista dalla carica positiva:
 
<math>d_1=\sqrt{(x_1-d/2)^2+y_1^2}=0.076\ m
</math>
 
e da quella negativa:
 
<math>d_2=\sqrt{(x_1+d/2)^2+y_1^2}=0.104\ m</math>
 
Il potenziale esatto vale:
 
<math>V_e=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\left( \frac 1{d_1}-\frac 1{d_2}\right)=160\ V</math>
 
Mentre quello approssimato vale:
 
<math>V_a=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {qd3d\cos \theta}{(3d)^3}=156\ V</math>
 
===6. Un disco uniformemente carico ===
<span class="noprint">[[#6. Un disco uniformemente carico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La densità di carica superficiale vale:
:<math>\sigma=\frac Q{\pi R^2}\ </math>
Seguendo la falsariga dell'esercizio [[#10._Una_spira_circolare_carica|sulla spira carica]]
in cui una spira di raggio <math>r\ </math> e con carica <math>Q\ </math> distribuita
uniformemente sull'anello <math>\lambda =Q/2\pi r\ </math>, generava un campo su un punto generico dell'asse:
:<math>E_x=\frac {\lambda R}{2 \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}=
\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}</math>
Se consideriamo i differenziali equivalenti:
<math>dE_x\ </math> invece di <math>E_x\ </math>
e <math>dQ=\sigma 2\pi rdr=(Q2rdr)/(R^2)\ </math> invece di <math>Q\ </math>.
Si ha che:
:<math>dE_x=\frac {Q2rdr }{4\pi R^2\varepsilon_o }
\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}\ </math>
Quindi:
:<math>E_x=
\frac {Q x}{4\pi R^2\varepsilon_o }\int_0^R\frac {2rdr}{(x^2+r^2)^{3/2}}=
\frac {Q x}{4\pi R^2\varepsilon_o }\left[\frac {-2}{(r^2+x^2)^{1/2}}\right]_0^R=
\frac {Q }{2\pi R^2\varepsilon_o }\left[\frac x{|x|}-\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\right]\ </math>
[[Immagine:Campo di un disco uniformemente carico.png|400px|right]]
Se <math>x\ll R\ </math> il termine <math>\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\ </math> è trascurabile e quindi:
:<math>E_x\approx \frac {2Q }{4\pi R^2\varepsilon_o }=\frac {\sigma}{2 \varepsilon_o }\ </math>
Mentre se <math>x\gg R\ </math> si può approssimare <math>E_x\ </math> facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:
:<math> \left[1-\frac {x}{(R^2+x^2)^{1/2}}\right]\approx \frac {R^2}{2x^2}\ </math>
 
quindi quando <math>x\gg R</math> si ha che lungo l'asse il campo vale:
:<math>E_x=\frac Q{4\pi x^2\varepsilon_o }</math>
come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.
 
===7. Otto cariche eguali ===
<span class="noprint">[[#7. Otto_cariche_eguali|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:
 
<math>d_1=\sqrt{(a\alpha -a/2)^2+a^2/2}=0.0255\ m</math>
 
L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti
è quella lungo l'asse delle <math>x\ </math> quindi essendo il coseno
dell'angolo formato con l'asse delle <math>x\ </math>:
 
<math>\cos \theta_1=\frac {\alpha a-a/2}{\sqrt{(a\alpha
-a/2)^2+a^2/2}}=0.962</math>
 
Analogamente per le cariche lontane:
 
<math>d_2=\sqrt{(a\alpha +a/2)^2+a^2/2}=0.035\ m</math>
 
<math>
\cos \theta_2=\frac {\alpha a+a/2}{\sqrt{(a\alpha
+a/2)^2+a^2/2}}=0.98</math>
 
Quindi il valore del campo esatto, nella sola
direzione <math>x\ </math>, vale:
<math>E_e=\frac q{\pi \varepsilon_o }\left( \frac {\cos \theta_1}{d_1^2}+\frac {\cos
\theta_2}{d_2^2} \right)=7.89\cdot 10^4\ V/m</math>
 
Mentre quello approssimato vale:
 
<math>E_a=\frac {2q}{\pi \varepsilon_o(\alpha a)^2}=8\cdot 10^4\ V/m</math>
 
La formula generale vale:
<math>
E_e=\frac {q}{\pi \varepsilon_o a^2}\left\{ \frac {\alpha-1/2}{[(\alpha
-1/2)^2+1/4]^{3/2}}+\frac {\alpha+1/2}{[(\alpha +1/2)^2+1/4]^{3/2}}
\right\}</math>
 
che per <math>\alpha\ </math> grande diventa:
 
<math>E_e\approx \frac {2q}{\pi \varepsilon_o (\alpha a)^2}</math>
 
===8. Quattro cariche di segno opposto ===
<span class="noprint">[[#8. Quattro_cariche_di_segno_opposto|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:
:<math>|F_1|=\frac {Q^2}{4\pi \varepsilon_o l^2}=3.27\ 10^5\ N</math>
Quindi in totale, essendo a <math>90^o\ </math> una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:
:<math>|F_a|=\frac {Q^2}{4\pi \varepsilon_ol^2}\sqrt{2}=4.57\ 10^5\ N</math>
La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:
:<math>|F_r|=\frac {Q^2}{4\pi \varepsilon_o l^22}=1.62\ 10^5\ N</math>
Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:
:<math>|F_t|=|F_a|-|F_r|=2.96\ 10^5\ N</math>
 
===9. Un dipolo ===
<span class="noprint">[[#9. Un_dipolo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro
congiungente come asse delle <math>x\ </math>, mentre la perpendicolare sul piano è
l'asse delle <math>y\ </math>:
<math>-q\ </math> è in <math>(-d/2,0,0)\ </math>, <math>+q\ </math> è in <math>(d/2,0,0)\ </math>, mentre il punto
è in (<math>\sqrt 2 d,\sqrt 2d,0\ </math>). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:
:<math>|r_-|=\sqrt{2d^2+(d\sqrt{2}+d/2)^2}=d\sqrt{2+2+1/4+\sqrt{2}}=2.4d\ </math>
Mentre da quella positiva:
:<math>|r_+|=\sqrt{2d^2+(d\sqrt{2}-d/2)^2}=d\sqrt{2+2+1/4-\sqrt{2}}=1.7d\ </math>
Il campo esatto per le componenti x vale:
:<math>E_{x+}=\frac q{4\pi \varepsilon_o}\frac {d\sqrt{2}-d/2}{(1.7d)^3}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac q{d^2}0.19\ </math>
:<math>E_{x-}=-\frac q{4\pi \varepsilon_o}\frac {d\sqrt{2}+d/2}{(2.4d)^3}=-\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac q{d^2}0.14\ </math>
:<math>E_{x}=E_{x+}+E_{x-}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac q{d^2}0.049\ </math>
 
Il campo approssimato per le componenti y vale:
:<math>E_{y+}=\frac q{4\pi \varepsilon_o}\frac {d\sqrt{2}}{(1.7d)^3}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac q{d^2}0.29\ </math>
:<math>E_{y-}=-\frac q{4\pi \varepsilon_o}\frac {d\sqrt{2}}{(2.4d)^3}=-\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac q{d^2}0.1\ </math>
:<math>E_{y}=E_{y+}+E_{y-}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac q{d^2}0.191\ </math>
<math>|E_e|=\sqrt{E_{x}^2+E_{y}^2}=0.19753\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac q{d^2}</math>
 
Mentre quello approssimato:
:<math>p=(qd,0,0)\ </math>
:<math>r=(\sqrt 2 d,\sqrt 2d,0)\ </math>
Quindi:
:<math>\vec p\cdot \vec r=\sqrt 2qd^2\ </math>
Essendo:
:<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o r^5}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]\ </math>
:<math>E_x=\frac 1{4\pi \epsilon_o2^5d^5}\left[3\sqrt 2qd^2\sqrt 2 d-4d^2qd\right]=\frac q{4\pi \epsilon_od^2}0.0625\ </math>
:<math>E_y=\frac 1{4\pi \epsilon_od^5}\left[3\sqrt 2qd^2\sqrt 2 d\right]=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q}{d^2}0.187\ </math>
per cui:
:<math>|E_a|=\sqrt{E_{x}^2+E_{y}^2}=0.19764\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac q{d^2}\ </math>
Quindi il rapporto vale:
:<math>\frac {|E_e|}{|E_a|}=0.9994\ </math>
Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.
 
===10. Una spira circolare carica ===
<span class="noprint">[[#10. Una_spira_circolare_carica|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La densità di carica vale:
:<math>\lambda=\frac Q{2\pi R}\ </math>
Assunta come origine il centro della spira e asse delle <math>x\ </math> l'asse della spira.
Il campo elettrico generato dal generico elemento <math>\vec {dl}\ </math> di circonferenza vale in modulo:
:<math>|dE|=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda dl}{r^2}\ </math>
Dove:
:<math>r^2=R^2+x^2\ </math>
Interessa calcolare solo la componente <math>dE_x\ </math> di <math>\vec {dE}\ </math>. Infatti per ogni elemento <math>\vec {dl}\ </math> esiste una altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse <math>x\ </math> uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.
:<math>dE_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda dl}{r^2}\cos \vartheta\ </math>
Detto <math>\vartheta\ </math> l'angolo formato dalla congiungente l'elementino <math>dl\ </math> con il punto sull'asse e l'asse delle <math>x\ </math>.
Integrando su <math>dl\ </math> lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato <math>x\ </math>, sia <math>R\ </math>, che <math>\vartheta\ </math> sono costanti:
:<math>
E_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda }{r^2}\cos \vartheta\int dl=\frac {2\pi R}{4\pi \varepsilon_o}\frac {\lambda }{r^2}\cos \vartheta</math>
Geometricamente è facile mostrare che:
:<math>\cos \vartheta=\frac x{\sqrt {R^2+x^2}}\ </math>
[[Immagine:Campoanellocarico.png|550px|right]]
Quindi:
:<math>E_x=\frac {\lambda R}{2 \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+R^2)^{3/2}}\ </math>
Essendo:
:<math>\lambda=\frac Q{2\pi R}\ </math>
:<math>
E_x=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+R^2)^{3/2}}\ </math>
 
Tale campo vale per <math>x=0\ </math>:
:<math>E_x(x=0)=0\ </math>
Inoltre:
:<math>E_x(x \gg R)=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o}\frac {1}{x^2}</math>
Nella figura viene graficato il valore della funzione <math>E_x\ </math> e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica <math>Q\ </math>
 
===11. Un semplice quadripolo ===
<span class="noprint">[[#11. Un_semplice_quadripolo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Solo la componente <math>y\ </math> del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti
(rispetto un punto sull'asse delle <math>x\ </math> positivo) generano un campo:
 
:<math>E_{1y}=-\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon_o \left[ (x+l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}\ </math>
 
mentre le più vicine:
 
:<math>E_{1y}=+\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon_o\left[ (x-l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}\ </math>
 
Quindi in totale:
 
:<math>E_y=\frac {ql}{4\pi \varepsilon_o} \left\{ \frac 1{\left[(x-l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}- \frac 1{\left[(x+l/2)^2 +(l/2)^2\right]^{3/2}}\right\}\ </math>
Ovviamente tale funzione vale <math>0\ </math> per <math>x=0\ </math>, mentre per gli altri due casi:
 
:<math>E_y(x=l)=9.3\ MV/m\ </math>
 
:<math>E_y(x=10l)=1.08\ kV/m\ </math>
 
A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.
 
===12. Una sbarretta sottile isolante ===
<span class="noprint">[[#12. Una sbarretta sottile isolante|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a) Detto :
 
:<math>\lambda =\frac ql\ </math>
 
Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:
 
 
<math>E_x =\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\int_{-l/2}^{l/2}\frac{\lambda dx}{\left(
d-x\right) ^2}=\frac \lambda {4\pi \varepsilon _o}\left[ \frac
1{d-l/2}-\frac 1{d+l/2}\right] =\frac{\lambda l}{4\pi \varepsilon
_o(d^2-l^2/4)}</math>
 
Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo
diretto secondo l'asse delle y, per cui:
 
 
<math>E_y =\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\int_{-l/2}^{l/2}\frac{\lambda dx}{\left(
x^2+d^2\right) }\frac d{\sqrt{x^2+d^2}}=\frac{\lambda d}{4\pi \varepsilon _o}
\left[ \frac x{d^2\sqrt{x^2+d^2}}\right] _{-l/2}^{l/2}=\frac{\lambda l}{4\pi
\varepsilon _od\sqrt{l^2/4+d^2}}</math>
 
Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo
sia inferiore al valore in (d,0).
 
A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:
 
<math>\frac{\lambda l}{4\pi \varepsilon _od^2}\ </math>
 
Quindi imponendo che:
 
<math>\frac q{4\pi \varepsilon _o(d^2-l^2/4)} =1.01\frac q{4\pi \varepsilon
_od\sqrt{l^2/4+d^2}}\ </math>
 
<math>\frac 1{d^2-l^2/4} =\frac{1.01}{d\sqrt{l^2/4+d^2}}\ </math>
 
Segue che la condizione viene realizzata se:
 
<math>d\geq 6.14\ m</math>
 
===13. Tre particelle cariche ===
<span class="noprint">[[#13. Tre particelle cariche|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore.
Perché la forza elettrica che agisce sulla carica <math>3\ </math> sia nulla occorre che:
 
:<math>F_{13}+F_{23}=0\ </math>
 
Quindi essendo:
 
:<math>F_{13}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_1q_3}{(2d)^2}\ </math>
 
:<math>F_{23}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_2q_3}{(d)^2}\ </math>
 
Occorre che:
 
:<math> \frac {q_1}{(2d)^2}=-\frac {q_2}{d^2}\ </math>
 
:<math>q_1=-4q_2=-4\ nC\ </math>
 
La forza elettrica che agisce sulla carica <math>1</math> vale (diretta da sinistra a destra):
 
:<math>F_{31}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_1q_3}{(2d)^2}=0.18\ mN\ </math>
 
Mentre quella dovuta alla carica <math>2\ </math> vale (diretta da sinistra a destra):
 
:<math>F_{21}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_1q_2}{d^2}=0.36\ mN\ </math>
 
In totale quindi:
 
:<math>F_1=F_{31}+F_{21}=0.54\ mN</math>
 
===14. Anello carico ===
<span class="noprint">[[#14. Anello_carico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La densità di carica vale:
 
<math>\lambda=\frac Q{2\pi R}\ </math>
 
Assunta come origine il centro della spira ed asse delle <math>x\ </math> l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza <math>x\ </math> dal centro della spira vale:
 
<math>V(x)=\frac 1{4\pi \varepsilon _o} \int_0^{2\pi R} \frac {\lambda dl}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o} \frac q{\sqrt{R^2+x^2}}\ </math>
 
Quindi:
 
<math>V(0)=\frac q{4\pi \varepsilon _oR}\ </math>
 
<math>V(R)=\frac q{4\pi \varepsilon _oR\sqrt{2}}\ </math>
 
Quindi:
 
<math>E_c=-q\left[ V(R)-V(0)\right] =\frac{q^2}{4\pi \varepsilon _oR}\left[
1-\frac 1{\sqrt{2}}\right]=0.026\ J</math>
 
<math>v=\sqrt {\frac {2E_c}m}=7.2\ m/s\ </math>
 
===15. Due dipoli ===
<span class="noprint">[[#15. Due_dipoli|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse <math>z\ </math> diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:
 
<math>E_z=\frac p{2\pi \varepsilon_o z^3}\ </math>
 
Quindi la derivata:
 
<math>\frac {\partial E_z}{\partial z}=-\frac {3p}{2\pi \varepsilon_o z^4}\ </math>
 
<math>F_z=p \frac {\partial E_z}{\partial z} = -\frac {3p^2}{2\pi \varepsilon_o z^4}=0.054\ N</math>
 
Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.
 
Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:
 
<math>|M|=\frac {p^2}{2\pi \varepsilon_o z^3}=1.8\cdot 10^{-4}\ Nm\ </math>
 
===16. Piano con foro ===
<span class="noprint">[[#16 Piano_con_foro|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come <math>z\ </math>, l'asse verticale:
 
<math>E_z=\frac {\sigma }{2 \epsilon_0}\ </math>
 
Mentre, per quanto riguarda un disco di carica <math>-\sigma\ </math>:
 
<math>E_z=-\frac {\sigma }{2 \epsilon_0}\left[1-\frac z{\sqrt{R^2+z^2}}\right]\ </math>
 
Quindi in totale:
 
<math>E_z=\frac {\sigma z }{2 \epsilon_0\sqrt{R^2+z^2}} \ </math>
 
La condizione di equilibrio è:
 
<math>qE_z-mg=0\ </math>
 
Da cui si ricava:
 
<math>h_o=\frac R{\sqrt{(q\sigma /2\epsilon_0mg)^2-1}}\approx 17.6\ cm</math>
 
la differenza di potenziale tra <math>0\ </math> e <math>h_o/2\ </math> vale:
 
<math>V(h_0/2)-V(0)= -\int_0^{h_0/2}E(z)dz=-\frac {\sigma}{2 \epsilon_0}\left[\sqrt{z^2+R^2}\right]_0^{h_0/2}=\frac {\sigma}{2 \epsilon_0}\left( R-\sqrt{(h_0/2)^2+R^2} \right)\ </math>
 
Agendo solo forze conservative si ha:
 
<math>\frac 12 mv^2=q[V(h_0/2)-V(0)]+mg\frac {h_o}2\ </math>
 
Quindi:
 
<math>v=\sqrt{\frac 2m}\sqrt {q[V(h_0/2)-V(0)]+ mgh_o/2}=1.12\ m/s</math>
 
 
===17. Due sbarre allineate ===
<span class="noprint">[[#17. Due_sbarre_allineate|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Detto:
:<math>\lambda =\frac ql\ </math>
Se chiamiamo <math>r\ </math> la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle <math>x\ </math> al centro vale:
Quindi genera al centro in totale:
:<math>E_x(x=0)=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}\frac { dr}{r^2}=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[-\frac 1r \right]_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}=-\frac {\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\left[\frac {1}{a-l}-\frac {1}{a+l}\right]\ </math>
Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:
:<math>E_{xt}(x=0)=-\frac {\lambda}{\pi \epsilon_0 }\left[\frac 1{a-l}-\frac 1{a+l}\right]=-19\ kV/m\ </math>
In un punto generico dell'asse delle x per <math>x>a/2+l/2\ </math>: La prima sbarretta genera un campo:
:<math>E_x^-(x)=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}\frac { dr}{(x-r)^2}\ </math>
Facendo un cambiamento di variabile:
:<math>E_x^-(x)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}\frac {dy}{y^2}=
\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[-\frac 1y \right]_{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}=\ </math>
:<math>E_x^-(10a)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[\frac 1{10a+a/2+l/2}-\frac 1{10a+a/2+l/2}\right]=-19.18\ V/m\ </math>
Analogamente per l'altra sbarretta:
:<math>E_x^+(x)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{a/2-l/2}^{a/2+l/2}\frac { dr}{(x-r)^2}\ </math>
Facendo un cambiamento di variabile:
:<math>E_x^+(x)=-\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \int_{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}\frac {dy}{y^2}=
\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[\frac 1y \right]_{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}=\ </math>
:<math>E_x^+(10a)=\frac 1{4\pi \epsilon_0} \lambda \left[\frac 1{10a-a/2-l/2}-\frac 1{10a-a/2+l/2}-\right]=24.91\ V/m\ </math>
In totale quindi:
:<math>E_{xt}(x=10a)=E_x^-(10a)+E_x^+(10a)=4.52\ V/m\ </math>
Mentre il dipolo equivalente vale:
:<math>p=qa\ </math>
Quindi il campo generato vale:
:<math>E_x\approx \frac {qa}{2\pi \epsilon_0 (10a)^3}=4.49\ V/m\ </math>
Praticamente eguale al valore approssimato.
 
 
===18. Anello con distribuzione dipolare ===
<span class="noprint">[[#18. Anello con distribuzione dipolare|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La carica per <math>y>0\ </math> è quella che si ha se <math>0\le \theta \le \pi\ </math>:
 
<math>q^+=\int_0^{\pi} \lambda dl\ </math>
 
Ma <math>dl=Rd\theta \ </math> e <math>\lambda=A\sin \theta\ </math> quindi:
 
<math>q^+=RA\int_0^{\pi} \sin \theta d\theta=RA\left[ -\cos \theta \right]_0^{\pi}=2RA=20\ pC\ </math>
 
Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:
 
<math>|dE|=\frac {\lambda dl}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)}=\frac {AR\sin \theta d\theta}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)}\ </math>
 
<math>dE_z=|dE|\frac z{(R^2+z^2)^{1/2}}=\frac {ARz}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\sin \theta d\theta\ </math>
 
<math>E_z=\int_0^{2\pi}dE_z=\frac {ARz}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin \theta d\theta=0\ </math>
 
<math>dE_x=|dE|\frac R{(R^2+z^2)^{1/2}}\cos \theta d\theta\ </math>
 
<math>E_x=\frac {AR^2}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin \theta \cos \theta d\theta=0\ </math>
 
<math>dE_y=-|dE|\frac R{(R^2+z^2)^{3/2}}\sin \theta d\theta\ </math>
 
<math>E_y=-\frac {AR^2}{4\pi \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin^2 \theta d\theta=
-\frac {AR^2}{4 \varepsilon_o(R^2+z^2)^{3/2}}\ </math>
 
Quindi nel caso di <math>z=R\ </math>:
 
<math>E_y=-\frac {A}{4\varepsilon_o R2^{3/2}}\approx 1000\ V/m\ </math>
 
mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle <math>x\ </math>, che distano <math>2R\sin \theta\ </math> con una carica <math>dq=RA\sin \theta d\theta\ </math>:
 
<math>dp_y=RA\sin \theta d\theta 2R\sin \theta= 2R^2A \sin^2 \theta d\theta\ </math>
 
Ed integrare su metà della circonferenza:
 
<math>p_y=2R^2A\int_0^{\pi}\sin^2 \theta d\theta=R^2A\pi=3.14\cdot 10^{-13}\ Cm\ </math>
 
Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:
 
<math>\int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta=\frac {\pi}2\ </math>
 
Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando <math>E_y\ </math> a grande distanza sull'asse.
 
===19. Piano tagliato ===
<span class="noprint">[[#19. Piano_tagliato|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità <math>\sigma\ </math> ed una striscia carica con densità <math>-\sigma\ </math>. Per quanto riguarda il piano, assunto come <math>z\ </math>, l'asse verticale:
:<math>E_z=\frac {\sigma }{2 \varepsilon_o}\ </math>
Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza <math>d\ </math> e densità di carica <math>-\sigma\ </math>, è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza <math>\sqrt{x^2+D^2}\ </math>, per ciascuno dei quali:
:<math>|dE|=\frac {\sigma dx}{2\pi \varepsilon_o\sqrt{x^2+D^2}}\ </math>
La componente lungo l'asse delle <math>z\ </math> di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:
:<math>dE_z=\frac {\sigma Ddx}{2\pi \varepsilon_o(x^2+D^2)}\ </math>
:<math>E_z=\frac {\sigma D}{2\pi \varepsilon_o}\int_{-d/2}^{d/2}\frac {dx}{x^2+D^2}=\frac {2\sigma D}{2\pi \varepsilon_o D}\arctan (d/2D)\ </math>
Se <math>d\ll D\ </math> si ha che <math>\arctan (d/2D)\approx d/2D\ </math> e quindi:
:<math>E_z\approx \frac {\sigma d}{\pi \varepsilon_o 2D}\ </math>
Quindi in totale:
<math>E_z\approx \frac {\sigma }{2\varepsilon_o}[1-d/(\pi D)]\ </math>
 
 
===20. Goccia d'olio ===
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Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio <math>r</math>, avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:
 
<math>E(r)=\frac {Q_r}{4\pi \varepsilon_o r^2}</math>
 
con Q<sub>r</sub> pari alla carica contenuta all'interno della sfera.
 
a)
 
Quindi, sulla superficie della goccia, vale:
 
<math>E_0=\frac {Q_o}{4\pi \varepsilon_oR_o^2}</math>
 
<math>R_0=\sqrt{\frac {Q_o}{4\pi \varepsilon_oE_0}}=0.003\ m</math>
 
b)
 
Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto
 
<math>\rho = \frac {Q_r}{v_r} = \frac {Q_o}{v_o}</math>
 
per ogni r > 0, indicando con v<sub>r</sub> il volume della sfera di raggio r e con v<sub>o</sub> il volume della goccia d'olio.
 
<math>Q_r = \frac {Q_ov_r}{v_o} = \frac {Q_or^3}{R_o^3}</math>
 
La differenza di potenziale vale:
 
<math>\Delta V=-\int_0^{R_o}E(r)dr = -\int_0^{R_o}\frac{Q_r}{\varepsilon_o 4 \pi r^2}dr=\int_0^{R_o}\frac {Q_o r}{4\pi \varepsilon_o R_o^3}dr=-\frac {Q_o}{8\pi \varepsilon_oR_o}=-1.5\ kV</math>
 
c)
 
Quindi la densità di carica vale:
 
<math>\rho=8.85\cdot 10^{-3}\ C/m^3</math>
 
Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con <math>0<r<R_0\ </math>, il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:
 
<math>V(r)=Q(r)/(4\pi \varepsilon_or)\ </math>
 
con <math>Q(r)=\rho 4/3\pi r^3\ </math>, quindi:
 
<math>V(r)=\rho r^2/(3 \varepsilon_o)\ </math>
 
Se aggiungiamo una carica <math>dq\ </math>:
 
<math>dq=\rho 4\pi r^2 dr\ </math>
 
L'energia necessaria sarà:
 
<math>dU=dqV(r)=\frac {\rho^2 4 \pi r^4}{3 \varepsilon_o}dr\ </math>
 
<math>U_0=\int_0^{R_0}\frac {\rho^2 4 \pi r^4}{3 \varepsilon_o}dr=\frac {\rho^2 4 \pi R_0^5}{15 \varepsilon_o}=
\frac {3Q_0^2}{20\pi \varepsilon_o R_0}=1.8\cdot 10^{-6}\ J</math>
 
Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:
 
<math>2 R_1^3=R_0^3</math>
 
<math>R_1=R_0/\sqrt[3]2=0.0021\ m</math>
 
<math>U_f=2\frac {3(Q_0/2)^2}{20\pi \varepsilon_o R_1}=\frac {3(Q_0)^2}{40\pi \varepsilon_o R_1}=1.3\cdot 10^{-6}\ J</math>
 
===21. Tre cariche sui vertici di un quadrato ===
<span class="noprint">[[#21. Tre cariche sui vertici di un quadrato|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
Il campo elettrico generato nel punto <math>P_1\ </math> dalla carica <math>-2q\ </math> è diretto secondo la diagonale e vale:
 
<math>E_{1d}=\frac {-2q}{4\pi \varepsilon_o a^22}\ </math>
La carica di un tratto lungo <math>\ell\ </math> è pari a:
 
:<math>Q=\ell \int_0^R\rho_o(a-r/R)2\pi r dr=2\pi \ell \rho_o \left[\frac {ar^2}2-\frac {r^3}{3R}\right]_0^R=2\pi \ell R^2 \rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)\ </math>
quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:
Quindi la carica per unità di lunghezza vale:
 
:<math>\lambda=2\pi R^2\rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)=14.7\ nC/m \ </math>
<math>|E_2|=\frac {q}{4\pi \varepsilon_o a^2}\ </math>
 
Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale
(opposta a quella della carica <math>-2q\ </math>)
 
<math>E_{2d}=\frac {2q}{4\pi \varepsilon_o a^2\sqrt 2}\ </math>
 
Quindi in totale:
 
<math>E_d=\frac {q}{4\pi \varepsilon_o a^2}(\sqrt 2-1)=3.7\cdot 10^6\ V/m\ </math>
 
Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:
 
<math>a_1=\frac {qq_1}{4\pi \varepsilon_o a^2 m_1}(\sqrt 2-1)=3.7\cdot 10^4\ m/s^2\ </math>
 
b)
Il potenziale nel punto <math>P_1\ </math> (rispetto all'infinito) vale :
 
<math>V_1=\frac {-2q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt 2a}+\frac {2q}{4\pi \varepsilon_o a}=
\frac {q}{2\pi \varepsilon_o a}\left(1-\frac 1{\sqrt{2}}\right)\ </math>
 
(il primo termine dovuto alla cariche <math>q\ </math>, l'altro dovuto alla carica <math>-2q\ </math>)
Il potenziale nel punto <math>P_2\ </math> (rispetto all'infinito) vale :
 
<math>V_2=\frac {-2q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt 22a}+\frac {2q}{4\pi \varepsilon_o \sqrt 5 a}=
\frac {q}{2\pi \varepsilon_o a}\left(\frac 1{\sqrt 5}-\frac 1{2\sqrt 2}\right)\ </math>
 
Quindi la differenza di potenziale tra <math>V_1\ </math> e <math>V_2\ </math>
 
vale:
 
<math>\Delta V=V_1-V_2=\frac {q}{2\pi \varepsilon_o a}\left(1-\frac 1{\sqrt{2}}-\frac 1{\sqrt 5}+\frac 1{2\sqrt 2}\right)=3580\ V\ </math>
 
Quindi:
 
<math>\frac 12m_1v_2^2=q_1\Delta V\ </math>
 
<math>v_1=8.5\ m/s\ </math>
 
===22. Due cariche sui vertici di un triangolo===
<span class="noprint">[[#22. Due cariche sui vertici di un triangolo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:
:<math>E_{x1}=E_{y1}=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2\sqrt{2}}\ </math>
mentre quello generato dalla carica 2:
:<math>E_{x2}=-E_{y2}=\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o l^2\sqrt{2}}=\frac {\alpha Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2\sqrt{2}}\ </math>
Quindi in totale
:<math>E_x=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{2}l^2}(1-\alpha)\ </math>
:<math>E_y=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o \sqrt{2}l^2}(1+\alpha)\ </math>
 
a) <math>E_x\ </math> è massimo quando <math>\alpha =-1\ </math> e vale:
:<math>E_x=\frac {Q_1}{2\sqrt 2 \pi \varepsilon_o l^2}=12.7\ kV/m\ </math>
mentre <math>E_y=0\ </math>.
 
b) <math>E_y\ </math> è massimo quando <math>\alpha =1\ </math> e vale
:<math>E_y=\frac {Q_1}{2\sqrt 2 \pi \varepsilon_o l^2}=12.7\ kV/m\ </math>
mentre <math>E_x=0\ </math>.
 
c) Il modulo del campo elettrico vale:
:<math>|E|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2}\sqrt {1+\alpha^2}\ </math>
che è minima quando <math>\alpha=0\ </math> e vale:
:<math>|E|=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o l^2}=9\ kV/m\ </math>
 
===23. Semisfera===
<span class="noprint">[[#23. Semisfera|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La densità di carica è:
:<math>\sigma=\frac Q{2\pi R^2}</math>
Definendo con <math>\theta\ </math> l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico
anello ha un raggio <math>r=R\sin \theta\ </math> e dista dal centro della semisfera <math>x=R\cos \theta\ </math>.
Quindi il generico anello ha una carica:
:<math>dq=\sigma 2\pi r R d\theta=\sigma 2\pi R^2 \sin \theta d\theta\ </math>
Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#10._Una_spira_circolare_carica_2|anello carico]] genera su un punto a distanza <math>x\ </math> un campo:
:<math>dE_x=\frac {dq}{4\pi \varepsilon_o}\frac {x }{(x^2+r^2)^{3/2}}\ </math>
Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo:
:<math>dE_x=\frac {\sigma 2\pi R^2 \sin \theta d\theta}{4\pi \varepsilon_o}\frac {R\cos \theta }{R^3(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)^{3/2}}=
\frac {\sigma \sin \theta\cos \theta d\theta}{2 \varepsilon_o}\ </math>
Quindi:
:<math>E_x=\frac {\sigma }{2 \varepsilon_o}\int_0^{\pi/2}\sin \theta\cos \theta d\theta=\frac {\sigma }{2 \varepsilon_o}\int_0^1\sin \theta d\sin \theta=\frac {\sigma }{2 \varepsilon_o}\left[\frac {\sin^2 \theta}2\right]_0^1=\frac {\sigma }{4 \varepsilon_o}=\frac Q{8\pi \varepsilon_o R^2} \ </math>
 
===24. Carica e dipolo===
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a)
 
Un dipolo, posto nel punto di coordinate <math>d\ </math>, genera lungo il suo asse un campo pari:
:<math>E_x=\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {p}{(d-x)^{3}}\ </math>
In particolare per <math>x=0\ </math> (dove è la carica <math>q\ </math>):
:<math>E_x=\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {p}{(d)^{3}}=360\ V/m\ </math>
Quindi la forza attrattiva sulla carica <math>q\ </math> vale:
:<math>F=qE_x=\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {pq}{(d)^{3}}=121\ nN\ </math>
 
b)
 
Il campo generato lungo l'asse delle x per <math>x\le 0\ </math> vale:
:<math>E_{xt}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\frac {q}{x^2}+\frac 1{2\pi \varepsilon _o}\frac {p}{(d-x)^{3}}\ </math>
 
Quindi se <math>x=2/3d=6.7\ mm\ </math>:
Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza <math>\ell\ </math> (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria):
:<math>2\pi r \ell E_r=\frac E_{\ellxt}{=3\varepsilon_o}cdot \int_010^r4\rho_o(a-r' V/R)2\pi r' dr'm\ </math>
:<math> E_r= \frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\int_0^r(a-r'/R) r' dr'=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\left[\frac {ar'^2}2-\frac {r'^3}{3R}\right]_0^r=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o }\left( \frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\right)\ </math>
:<math>E_r(r=R/2)=3201\ V/m\ </math>
 
c)
 
La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:
La funzione:
:<math>f(r)DV_q=-\frac q{ar4\pi \varepsilon _o}\int_{0.2d}^{0.8d}2-\frac 1{rx^2}{3R}dx=\qquadfrac 0q{4\le rpi \levarepsilon R_o}\left[\frac </math>1x\right]_{0.8d}^{0.2d}=
337\ V\ </math>
è crescente per <math>r\ll R\ </math>, mentre per <math>r\approx R\ </math> è decrescente. La sua derivata è nulla per:
La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:
:<math>r_x=\frac {3aR}4=6.75\ cm\ </math>
:<math>DV_p=-\frac p{2\pi \varepsilon _o}\int_{0.2d}^{0.8d}\frac 1{(d-x)^3}dx\ </math>
Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse:
:Facendo un cambio di variabile <math>E_{max}y=3432\ V/md-x\ </math>:
:<math>DV_p=\frac p{2\pi \varepsilon _o}\int_{0.8d}^{0.2d}\frac 1{y^3}dy=\frac p{2\pi \varepsilon _o}\left[-\frac 1{2y^2}\right]_{0.8d}^{0.2d}=
42\ V\ </math>
Quindi in totale:
:<math>DV=DV_q+DV_p=379\ V\ </math>
 
d)
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Elettrostatica]]
Se $a=1.7\ </math> il valore di
{{Avanzamento|100%}}
:<math>r_x=\frac {3aR}4\approx 13\ cm\ </math>
è al di fuori della definizione di <math>f(r)\ </math>, quindi la funzione <math>f(r)\ </math> è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione <math>r=R\ </math> e vale:
:<math>E_{max}=11676\ V/m\ </math>