Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria: differenze tra le versioni

{{Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali}}

== Struttura della memoria dal punto di vista operativo ==

 

 

:::::<math>S_0=0\quad S_1=1......S_9=9</math>

 

 

* D₄ assumerà lo stato corrispondente al numero delle unità

! Stato !! S₀ !! S₁ !! S₂ !! S₃ !! S₄ !! S₅ !! S₆ !! S₇ !! S₈ !! S₉

|-

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|}

 

Vediamo ora come si può arrivare a dire che la base '''2''' è la più conveniente nel senso che a parità di numero di informazioni da memorizzare è necessario il minor numero di stati.

 

 

:::::<math>\N=b^{n}=cost\qquad b\cdot n=min </math>

 

 

:::::::<math>n db+b\lg b\ dn=0</math>

:::::<math>\frac{\partial (b\cdot n)}{\partial b}db+\frac{\partial (b\cdot n)}{\partial n}dn=0\qquad n db+b dn=0</math>

 

 

 

 

{| class="wikitable"

! Disp. !! S₀ !! S₁ !! S₂ !! S₃ !! S₄ !! S₅ !! S₆ !! S₇ !! S₈ !! S₉

|-

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|}

 

! ..... !! D₁ !! D₂ !! D₃ !! D₄ !! D₅ !! D₆ !! D₇ !! D₈ !! D₉ !! D₁₀

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|}

 

 

Visto che la base 2 è migliore, vediamo come sono organizzati i dispositivi atti a memorizzare un numero in tale base.

 

 

I dispositivi vengono raggruppati (fisicamente) in insiemi, l'insieme delle informazioni binarie in essi contenute viene chiamato voce.

 

 

== Sistemi di numerazione ==

{{vedi pedia|Sistemi di numerazione}}

 

Consideriamo il numero:

 

* la posizione di una cifra indica la potenza di cui essa è coefficiente nel calcolo della somma

 

non è necessario scrivere gli eventuali zeri a sinistra dell'ultima cifra non nulla.

 

Il numero '''10''', in funzione delle cui potenze si esprime il numero '''N''', viene detto la base del sistema e sono necessari 10 simboli distinti 0, 1, 2, 3....9 per scrivere un numero.

 

:::::::<math>X_b=x_n x_{n-1}....x_0 </math>

::::::::<math>X_b=\sum_{k=0}^{k=n} x_kb^k</math>

 

 

 

 

 

Sarà allora

::<math>X'=X_{b'}=(x_n)_{b'}(b^n)_{b'}</math>

 

 

Questo numero può essere rappresentato in decimale al modo seguente:

e quindi il numero che si scrive X₈=3017 in ottale diventa X₁₀=1551 in decimale.

 

 

 

:::::<math>X_b=x-_n x_{n-1} ...x_{-1} x_{-2}.....x_{-m}....</math>

:::::::::<math>N_2=\sum_{i=1}^{i=n}x_i2^i</math>

 

 

Esempio:

:::::<math>N_10=2^3+2^1+2^0,2{-1}+2^{-2}=11,75</math>

 

 

:::::::::::<math>2^m>10^n</math>

 

cioè

:::::::::::<math>m>3,32\cdot n</math>.

 

::::::::<math>S:\qquad 110000001</math>

 

{| class="wikitable"

::::::<math>C_{2^n}(X)=2^n-X</math>

 

 

::::::<math>C_{2^5}X=100000-11001=111</math>

 

 

::::::<math>C_1(X)=2^n-X-1</math>

 

 

:::::::<math>C_1(X)=1000000-11001=110</math>

 

 

:::::::<math>C_{2^n}(X)=C_1(X)+1</math>

 

 

Siano '''A''' e '''B''' due numeri tali che:

 

b) per '''A-B ≤0''' si ha:

:::::::<math>A-B=2^n-|A-B|=|A-B|_{2^n}</math>

 

Esempio:

 

:::<math>A-B=\quad 111-</math>

::::::<math>\underline {....10}</math>

=== Moltiplicazione e divisione in binario ===

[[File:Example of moltiplication.png|right]]

 

{{clear}}

[[File:Example of division.png|right]]

 

 

{{clear}}

::::::<math>N_8=\qquad ..1\qquad ...3\qquad ....5</math>

 

 

=== Primo metodo ===

''Numeri interi''. Consideriamo un numero N; lo si può scrivere mediante due basi '''b₁''' e '''b₂''' ottenendo per '''N''' due espressioni che chiameremo '''N_b1''' e '''N_b2'''. Si avrà allora:

 

Infatti:

:::::<math>N=y_m b_2^m+y_{m-1}b_2^{m-1}+...+y_1b_2+y_0</math>

quindi:

 

::::::<math>N=N_1 b_2+y_0\qquad \qquad (0\le y_0\le b_2)</math>

 

 

Si vede quindi che si ottengono le cifre successive di '''N₂''' considerando i resti successivi così ottenuti:

<math>N=N_1 b_2+y_0\quad N_1= N_2 b_2+y_1\quad N_2= N_3 b_2+y_2....N_m=N_{m+1} b_2+y_m</math>

 

 

Esempio: convertire '''N_10=3412''' in base '''8'''.

 

:::::::::<math>N_8=6524</math>

Notiamo che il metodo di conversione tra due basi '''b₁''' e '''b₂''' sopra esposto è in teoria applicabile nei due sensi (b₁→b₂ e b₂→b₁). In pratica volendo passare dalla base '''b₁''' alla base '''b₂''', è necessario eseguire le operazioni di divisione nella base '''b₁'''. Quindi quando i calcoli sono fatti a mano non si ricorrerà a questo metodo che per convertire un numero decimale in un'altra base, come nell'esempio visto. Lo stesso discorso non vale nel caso in cui l'operazione di conversione sia meccanizzata mediante un sistema automatico.

 

Cioè la cifra che in ('''N×b₂''') appare a sinistra della virgola è la prima cifra cercata: y_-1. Possiamo ora considerare il numero ottenuto conservando solo le cifre a destra della virgola ed applicare lo stesso procedimento: cioè lo si moltiplica per '''b₂''' e la cifra che risulta a sinistra della virgola sarà '''y_-2''', ecc.

 

 

Come per la conversione di numeri interi, si può notare che il metodo qui visto per i numeri frazionari comporta delle moltiplicazioni nel sistema di partenza a base '''b₁'''. Quindi, per i calcoli a mano, questo metodo si utilizza solamente per le conversioni a partire dal sistema decimale verso una generica base '''b'''.

::::::<math>parte.intera\qquad 0+\qquad 0,00000\cdot 2</math>

 

 

 

=== Secondo metodo ===

::::::<math>N_{b_1}=x_n x_{n-1}....x_0, x_{-1} x_{-2}....x_{-k}</math>

 

 

::::::::<math>(c)\qquad N_{b_2}=\sum_{-inf.}^n (x_i)_{b_2}\cdot (b_1^i)_{b_2}</math>.

In questo caso notiamo che il passaggio dalla base b₁ alla base b₂ implica che la somma (c) sia effettuata nel sistema di base b₂, e quindi questo metodo è quello usato quando è necessario convertire un numero da una base generica a quella decimale nei calcoli fatti a mano.

 

 

::::::<math>N_{10}=1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=</math>